对变换群的认识整合论文.doc

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1、对变换群的认识1 引言1.1 问题的提出1.2 研究的现状2.变换群的发展及利用2.1变换群的诞生背景对于变换群的诞生，是从群中经过运算所得到的。对此，要讲变换群的诞生背景，首先来看看群的诞生背景。群在现代数学以及科学中所具有的突出地位，是得对群的发明机制就行了解并作一些探讨是十分必要的。这方面的工作具有重要的方法论意义。为此,我们来讨论群的历史就显得更加重要。群的最初萌芽就是伴随着猜测的提出与论证而生发出来的。1771年，Lagrange向柏林科学院提交了“关于代数方程解法的思考”的长篇论文。在这篇论文中，Lagrange得出了一种可以推出2、3、4次方程根式解的一般性方法。对5次以下代数方

2、程那些个人色彩弄好的解法做出了统一的解释。在这里，Lagrange第一次发明了“排列”的理论，这实际上就是现代意义下“置换”的概念和方法。Lagrange的工作是非凡的。但是，当他用他的一般性方程推导5次方程的根式解时，遭到了失败。这一失败“原因可能在于还存在尚未被认识的现象。但5次以上代数方程根式解的存在值得怀疑。也许它根本就不存在。真正有意义的是排列的理论，对它应当做更深入的研究”。 Lagrange试图否定5次以上代数方程一般根式解的存在性，这是一个经过深思熟虑之后做出的、具有相当科学性的猜测。这一猜测虽然与正在研究的问题关系密切，但并不是从已有的数学事实中直接引申出来的，而是为揭示某种

3、真理所存在的某种联系的思维中所做的想象。由于他选择了一条特殊的思考路线，发现了表面上没有什么联系的问题之间所隐涵的关系并试图了解这类关系真正的、却又是隐蔽着的特性。这一高超的见识，把置换的概念和方法一下子推到了代数研究的最前沿，在此后的六、七十年代中，潜心与论证Lagrange猜测的研究者们都是沿着这条途径开掘下去的。Lagrange的猜测、论证和他独创的方法，成为群的概念的重要源泉。在以后的研究者们又经过了对猜测的论证。Ruffini于1798年写在一篇题为“方程的一般理论”的论文中，给出了“高于4次的代数方程不存在根式解法”的证明。在这些证明中Ruffini主要是继承运用了Lagrange

4、的置换的方法，并有所发展。关于置换理论的若干基本概念已在他的工作中出现，尤其是可迁群和非可迁群的概念，他已经辨识清楚了。但是Ruffini的证明本身是有缺陷的，在他的证明中有这样的结论：根式解中的根式都可表为已知方程根的有理函数。然而这正是在Ruffini的结论中需加以证明的一个核心命题。到1824年，Abel成功的证明了这个问题。并在此基础上详细论证了“5次代数方程不存在根式解”，使得Lagrange的猜测得到确认。随着Lagrange猜测的提出和Abel对这一猜测所做的论证，代数学的研究不断深入，置换由一种潜在的作用逐渐发展为代数学研究的主题。群的萌芽不断生长，群的概念由朦胧而变得逐渐清晰

5、，即将作为高次代数方程根式解问题所基于的基本结构进入数学领域。到1831年, Galois提出了现代意义下群的概念。并第一次使用了群这一术语，他用方程根的某种置换群的结构, 描述了用根式构造代数方程根式解的一般原理。给出了高次代数方程根式解问题充分圆满的答案。特别地， Galois在他的工作中提出了许多群论中最基本的概念，像子群，正规子群、单群等等。为建立现代数学以致于建立整个现代数学做出了划时代的贡献。Galois发明群就是运用了直觉归纳的方法，他的头脑始终保持着一种开放性，在思想的自由驰骋中，Galois绕开前辈已经走过的路，寻求和探索先前尚未被发现的蹊径。在以往的研究中已经发现， 通过系

6、数表出方程根的问题，不仅要研究对称的表达式，还要研究不对称的表达式，对这类表达式的研究意义更为深刻。Galois通过发明群，把代数学引进了一个新领域。但当时的群概念尚处在粗糙和原始的状态，也没有关于“结合性”、“可消去性(逆元)”的具体刻画。群要获得一般性的形式，还必须补充论据和进行完整的逻辑加工与整理。对于Galois的群，最有意义的是置换可以“合成”。而在其它领域内，不是置换的元素也能进行同置换的合成一样的运算并满足相似的性质。Cayley最先注意到它们之间这种在运算上的共性。1854年， 他把“合成” 抽象为一种一般的函数符号，使之脱离诸如“置换的合成”的这样的具体状态, 成为一个一般化

7、的概念。Cagleg所定义的这个“合成”是满足结合性不满足交换性的。这在通往一般抽象群的方向上跨出了第一步。随着对抽象群概念认识过程的步步深入，Dick和Weber于1884年确立了现代意义下群的公理系统。从Galios最初发明群，到现代意义下群的公理系统的产生，是一个逐渐强化的抽象过程。首先是把“合成”从各具体对象，如置换，几何手段，旋转，数的运算中分离出来。然后，通过对“合成”最初观察到的现实性的某些层次做出一定程度的舍弃，提炼出“合成”的若干基本性质： 结合性、可消去性等等。最后用精心洗炼过的语言做出简单和优美的表述。群作为现代数学最基本的结构，最后是在纯粹的思维领域内用抽象化方法得到的

8、。群的发明，基本上经历了猜测的提出与论证，直觉归纳，抽象化等几个环节，它伴随着对代数方程根式解间题延绵不断的探讨而逐渐蕴育生成。当Galois从根本上结束对古典代数方程式论的研究时, 群也随之诞生。今天的群已经成为二十世纪数学发展的主题了，对群论的形成和发展完善作进一步方法论意义下的探讨， 将具有更大的意义。对于群的历史的了解，有利于对变换群的了解。变换群只不过是群更加具体的一种运算形式而已。2.2变换群至今的发展历程 本次针对变换群的发展历程的研究，在专业研究文献和相关历史研究文献的基础上，以变换群的概念演变和理论发展作为主线，以时间作为轴线，对变换群的初始形成以及发展和系统化等方面进行了研

9、究和分析，从而勾勒出变换群至今发展的历史脉络，主要研究结果如下： 首先，变换群是现代数学中的重要概念之一，它的产生与发展，是现代数学抽象概念发展的一个缩影根据群概念的历史，认为其思想的演变与发展，经历了置换观念的产生、 抽象基础的确立、抽象定义的形成、数学结构的构建4个阶段，并对现代数学发展具有极大的推动作用。而变换群的概念就是在这样的基础之上慢慢演变形成的，它的发展依赖于群的概念以及解决数学世界中的现实问题的需要。 2.2.1. 变换群概念的初始形成时期： 非欧几何与群概念的诞生，是19世纪乃至整个数学史上重要的大事，它使人们重新认识了数学与客观世界的关系，发现自欧几里得以来长期被认可的空间

10、观念与算术理论，并非物质世界的惟一描述，现实世界的数学描述可以是丰富多彩的；此外，还认识到数学发展的动力并不惟一来自自然界，数学可以从自身获得发展动力这对19世纪的人来说，确实是一个从未有过的革命性观念转变，从对数学本质的理解上说，数学概念与物质世界关系形式上的分离，在某种意义上是近两个世纪数学蓬勃发展的必要前提这种“分离”，使数学家获得了“自由”从而使数学步入一个“自由”创造时期而这促使19世纪出现了非欧几何、群以及变换群等全新的数学概念 2.2.2 变换群思想的演变与发展时期： 随后出现的各种稀奇古怪的数学“自由”创造物，迫使人们认识到数学“人为性”的一面，并直接冲击着人们固有的空间观、数

11、量观，以及整个数学观越来越多脱离直观、远离现实的“任意”对象的出现，也不断引起数学家的担心：数学源泉是否会因此干枯，滥用“自由”是否会使数学学科走向死亡但数学自由创造、形式化、抽象化的趋势，并未因为这种担心而受到遏制，相反，以更快的速度朝着自己应有的发展方向，走向新的未来变换群的概念也随着这样的思想慢慢发生转变，并且得到了一定得发展，而数学由此进入现代发展时期 2.2.3 变换群的研究方法以及现今的定义：任何一个重要的数学概念与方法的产生，都不会是某个数学家一时突然的发明，总会有一定的历史背景与相应的知识积累，往往都是许多数学家经过几十年、甚至成百上千年的努力，才逐步提炼发展而成变换群，就概念

12、的提出归功于伽罗瓦(Galois，18111832，法国)，但其思想的产生与发展，与其他重要数学概念一样，历经了曲折与艰难，更由于其思想的超前而不能被当时数学家所认识因此，考察变换群概念发展的历史，认识变换群的研究方法在数学发展中的作用，具有一定现实意义对于变换群，凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道变换群的重要性： 2.2.3.1 集合A的变换和表示形式、变换群的定义1.集合的变换和表示形式 定义1 设是一个非空集合，若是到的任一子映射那就称是的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若，现将改

13、写为.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果都是的变换，那么也显然是的变换，并且这时要注意：应该是（而过去是写成：在合成的表示形式上，要习惯这种改变.例1 设，现取出的几个变换（即）（即）（即）（即）可以看出是的全部变换其中和是双射并且是恒等变换习惯上记（或）利用例可以换算一下它们的合成（乘积）：；即这表明同理知利用是恒等变换则（这是因为并且又有 定义设是一个非空集合，而是的恒等映射，那么，对的任一个变换，都有2.变换群的定义设是一个非空集合，而的一些变换能否形成一个群呢？就以例1做比方。令：为的全部变换组成的集合。对于映射通常的乘积，能成为群吗？能容易知道，肯定是一个motroid,那

14、么“逆元”问题能解决吗？ 事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但我们会发现： 而 这说明即不能成为群。（同理可知，也没有逆元）上面的所以不能成为群，主要是和不是双射（ 它们没有逆元）因此，我们有定理1 设是的一些变换作成的集合，并且，若能成为群.那么只能包含的双射。定理2 设为非空集合，由的全部一一变换（双射）必定能够构成的一个变换群.2.2.3.2 变换群的研究方法-凯莱定理凯莱定理：任何一个群都能同某个变换群同构.【证明】 设 是任意一个群,，利用,我们规定的一个变换,其中 ,这种变换是一个一一变换,事实上: 那么 是满射. 若 且 是单射.综合上述知.我们得到由中元素确定的的

15、变换集合其中每个这种变换都为一一变换.其次作,其中现须证是同构映射. 是满射: 则 ， 是的原象是满射. 是单射: 如果 那么 有 ， 由消去律知 是单射 保运算:由于.我们有: 这说明 保运算于是知，而是群必是群.2.3变换群与其他学科的联系在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建

16、模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用关于变换群与其他学科的联系，但是尽管如此，我也只能简单的从以下方面浅谈一下，对于变换群我们都知道的甚少，但是经过我们对变换群长期的收集资料以及其他同学的帮助，这才使得我们有了一些简单的收获，现在我将一一对变换群在其他学科中的应用或联系作一下汇报： 2.3.1变换群与数学在数学中变换群起到了至关重要的角色，在很多数学问题中都有应用到变换群的知识，就比如说随处都可见黎景辉于1990年2月在北京大学出版社出行的二阶矩阵群的表示与自首形式。在甘肃科学技术情报研究所出版的共轭变换和变换群发、世界图书出版公司出版的微分几何中的变换群、变换群与曲线模空

17、间、变换群与李代数等等，其实变换群在数学中的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群，他的元素都具有明确的具体意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群。就比如说在二阶矩阵群的表示与自守形式书中说到利用变换群可以解决在代数数域上的22矩阵群在无限维的Hilbert空间上的表示与自守形式,Eisenstein级数的解析延拓和函数方程,以及公式的证明等等。2.3.2变换群与几何1872年克莱因任爱尔朗根大学哲学部教授时，发表了“关于近代几何研究的比较观察”的论文，在这篇论文中，克莱因把几何定义为在某种变化群下，研究图形的不变性与不变量的学科。在几何里面最有用、要紧的

18、是对称性。空间对一个平面是反射对称，平面对于直线是成所谓轴对称。变换、变换群、变换几何是研究初等几何变换的理论基础。在几何中，把平面变到自身的映射称作变换。在初等几何中，主要研究点集G到其自身的一一变换。容易验证合同变换具有以下性质： 合同变换的逆变换还是合同变换；合同变换的积仍是合同变换； 在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为角，三角形仍变为三角形，且对应角相等，因而对应的三角形全等。合同变换的主要形式为直线反射（轴对称）、平移、旋转（包括中心对称）。一个对称图形的反射变换和次中心对称变换统称为对称变换。一个对称图形的所有对称变换组成的集合，关于对称变换的乘

19、积构成可换群，称为对称群。准确到同构，八阶群只有五种，事实上，当群的阶数等于一个素数n1的两倍时，它只能是循环群或正n边形对称群。通过对抽象代数的学习使我们已经认识到正方形的对称变换可以作成一个8阶的群，也找到了它的一个正规子群，左陪集和右陪集。现在的问题是能否构造一个和这个群同构的群，把几何问题转化为非几何问题，比如利用矩阵等来加以解决，总之，在几何中运用变换群来帮助解决几何问题，使几何得到了空前的又一次飞越。2.3.3变换群与物理变换群不仅只是在几何学中有较宽广的发展空间，而且在物理学中也有着重要的地位，就比如说著名学者郁庆长在中国期刊中发表的束流光学中的变换群理论中讨论到带电粒子束在束流

20、光学系统中运动时发射相图与粒子分布函数的变换，研究了这些变换组成的各种群束传输群（BT群）、相图保持群（CP群）与分布保持群等。束流光学的基本问题问题通常课归结为求一个变换的本征相图与求能保持一个发射相图形状不变的变换这样两类问题。在束流光学中传统的数学工具是微分方程和线性代数，在处理线性问题时这些工具是得心应手的，但是在研究非线性问题时却遇到了一些困难，近年来人们对非线性力学的兴趣日益增加。特别是由于超导加速器与强流束装置的发展，非线性束流光学的研究变得更为重要，人们开始利用其它的数学工具来探索这方面的问题，其中Dragt提出的Lie代数方法和Berz提出的微分代数方法取得了引人注目的成就并

21、运用于超大型对撞机的设计。1950年 Birkhoff提出了用代数方法来减少偏微分方程中自变量数目的方法,1951年 Michal给出在赋范线性空间(normedlinear sPaces)在连续变换群下的一般不变理论,1952年Morgan对BirM.H的工作进行了推广,并对任意偏微分方程组利用单参数变换群时,建立了获得自变量和因变量的绝对不变量的一些定理以后,对于力学特别是流体力学中的某些偏微分方程在寻求相似性解时得到了应用。60年代以后,首先由 Lie应 用于偏微分方程中的无限小变换群在力学中也得到了应用. 我们在E33中曾给出了两个自变量和一个因变量的偏微分方程应用无限小变换群时的例子

22、,他们用两个自变量和两个因变量的非线性偏微分方程组在充限小变换群下的应用. 无限小变换群对于自变量为J,y,因变量为V的非线性偏微分方程组,从而在物理学中解决了当时人们的很多难题，以致物理学的发展得到了空前的飞越。在几代物理的发展中群论极重要的作用，特别是在近代的物理学中，对物理的发展起着极其重要的地位。2.3.4变换群与化学俗话说:数理化是一家。既然是“一家“，那么他们一定有着必然的联系。而变换群作为数学的一部分，那么与化学也应有着些许联系和应用。比如：研究强激光场中三原子分子的线性熵，其主要采用动力学李代数方法研究直线型三原子分子在含时激光场中的演化性质。而激光场中分子的演化特性的理论研究

23、是目前分子动力学领域的一个热门课题。且分子动力学是结合了物理、数学和化学综合技术的一门新兴边缘学科。分子熵的理论研究发展迅速,出现了包括李代数理论在内的多种方法。李代数是挪威数学家Marius Sophus Lie在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念,它与变换群的研究密切相关。2.3.5变换群与经济学变换群不仅只在物理化学方面有重要地位，在经济学方面也含有较高的分量，在2003年内蒙古自治区科技信息研究所发表的内蒙古科技与经济一书中曾谈到Lie变换群理论在微分方程中的应用很广泛 ,延拓是Lie变换群很重要的特征。延拓可将作用于自变量和因变量空间上的单参数 Lie变换群转化到作用于其

24、延拓空间上 ,在延拓空间中 ,不仅自变量和因变量 ,而且因变量对自变量的各阶导数都看成空间变元。将Lie变换群延拓便于微分方程降阶 ,并可用于进一步研究微分方程的不变性。本文将热传导方程允许的一个单参数 Lie变换群的无穷小形式作了二阶延拓 ,并给出了作用于空间上的 Lie群的无穷小形式。单参数 Lie变换群的二阶延拓热传导方程 ut=uxx允许为一个单参数 Lie变换群，由此知作用于空间上无穷小生成元，相继在这方面解决了遇到的不少难题。目前变换群对于其他学科的联系以及应用就如此之多，我相信随着科技的发展。它们之间的联系和应用还会继续或者增加。不仅如此，或许变换群对于现在还无联系和应用的学科以

25、后也会有着重要作用。由于时间紧迫以及我们对于知识的理解程度问题，只能将变换群与其他学科的联系和应用了解到这里。我知道我们可能存在着许多问题以及对知识理解的错误，不过以后的我们会一直努力的。2.4变换群在现阶段的应用变换群的作用可大可小，小到人际交往，大到科技的发展；由此可见，它所涉及的范围是多么的广泛。接下来只是简要的介绍变换群的部分应用。2.4.1以变换群思想观数学高考试题在1872年，克莱因在爱尔兰根大学的就职演说中提出，每种几何学就是研究相应的变换群下不变性质和不变量的科学。因此，按照群论原则，一种变换群对应一门几何学：研究在等距变换和相似变换下图形的不变形和不变量形成了欧式几何学；研究

26、在仿射变换下图形的不变形和不变量形成了仿射几何学；研究在射影变换下图形的不变形和不变量形成了射影几何学。变换群思想的精髓在于把握变换中的不变性质与不变量。在还没有学“变换群”时，感觉是一个很陌生的知识，但是在学习过程中，慢慢的觉得它是一个很熟悉的知识点。其实在我们以前所做的高考试题中就已经用到了变换群的思想。在中学数学中，变换的应用不胜枚举：数形结合、坐标转换、三角恒等变换等等，以变换群思想解题即利用变换群中的不变性与不变量，将问题转化为更易解决的问题，其中抓住不变性与不变量对问题进行转化时解题的捷径。现在就列举几个变换群思想在高考题中的应用的问题。函数问题：函数图像的平移、关于定直线对称、绕

27、某定点旋转都体现了变换群的思想。这些变换属于等距变换，即只改变图形位置不改变图像的形状，任意两点间的距离以及任意两相交线段间的夹角。解析几何问题：平面解析几何问题是通过坐标系用代数方法来确定平面图形的几何性质，这些几何性质的代数表达式与坐标系的选取无关，它们都是坐标变换下的不变量，因为坐标系的平移和旋转变换与点的平移和旋转变换，只不过是同一个代数变换式的不同的几何解释而已。利用向量的代数几何“二重性”，将数学问题进行几何形式与代数形式间的转化，其中显然蕴含着变换群的思想。立体几何中的翻折问题：立体几何问题中经常涉及平面图形按照某种要求翻折，转化为空间图形。这种图形变换属于翻折变换。作翻折变换的

28、半平面内的元素保持原有性质和位置关系，利用变换群思想解决立体几何问题就是把握其中的不变性和不变量，并将这些条件归结在翻折后的立体几何图形中，将问题转化为一个条件和求解明朗化的立体几何问题。坐标系变换问题：在一些几何问题中，特别是圆锥曲线问题的求解过程中，利用极坐标通常能使运算过程大大简化。直角坐标系与极坐标系间的变化蕴含着变换群的思想：虽然选取坐标系不同，但图形的几何性质与几何量与坐标的选取无关。可以选取或变换适当坐标系，提高解题效率。2.4.2 Gayley定理Gayley定理：任何一个群G都同构于G上（作为集合）全变换群的一个子群。Gayley定理说明任何群G都同构于G上的某个变换群。我们

29、在直接研究群G性质不方便的时候，可以变换一下，我们可以去研究与其同构的变换群，因为两个同构的群具有完全一样的运算性质，并且其代数结构也完全一样。例如：证明具有给定阶n的互不同构的有限群只有有限个。证明：Gayley定理断言,有限群G同构于G上的变换群，设G的阶为n，则G同 构与的子群，而的子群只有有限个故只有有限个不同构的n阶群。2.4.3对称变换群利用对称变换群的原理对计算机断层扫描(CT)重建中的滤波反投影算法(FBP)进行了优化，降低了算法中反投影部分的计算复杂度，从而得到一个快速重建算法。由于反投影的计算在FBP算法中耗时最多，所以新算法明显加快了图像重建的速度，通过与已有算法的比较，

30、新算法在同等条件下重建速度可以提高一倍以上。2.4.4 人际交往人们的口中总是念叨着这样一句话：朋友多了路好走。其实不要小看这人们随口说出的话，其实其中蕴含着一定数学知识。在我们做一道题百思不得其解的时候，只要我们变换一下方法，我们去问一下同学，那不是得到解决了吗！在请人帮忙时，因为和别人不熟，可能事情进展的不顺利，可能会吃很多的闭门羹；如果这时有熟人可以在中间帮你一把，可能问题就迎刃而解了。通过上面介绍几个变换群的应用，它们都具有这样的共同点：复杂问题简单化。它可以把棘手问题转化到相对简单的方面。我总结了一下变换群的思想主要依靠了：不变性，变换。不变性：是实施变换的前提。变换：是措施。在得到

31、不变的结论以后，再实施变换。所以变换对不变性是有着依存关系的。2.5分析变换群的前景 对变换群未来应用的预测 变换群是一个陌生的数学名词，但经过前面从诞生、发展到与各个学科的联系的介绍，我相信对变换群有了一个大体的了解。变换群的应用很广泛，在不同的领域有着不同的应用，比如在物理中带电粒子束在束流光学系统中运动时发射相图与粒子分布函数的变换等。当然，变换群绝不会停留在现在的应用而不向前发展，通过对变换群在现在的几个方面的应用，分析它将在这些领域的进一步发展和预测它的发展轨迹。 变换群在现代几何学的应用前景分析 根据高等教育出版社出版的现代几何学：方法与应用（第五版第一卷和第二卷）关于变换群的介绍

32、，我对变换群在几何学中的应用有了一个初步的认识，下面我根据自己的理解做一下简单的介绍：欧式空间的最简单的变换群假设在n维空间中有两个区域：区域A，其坐标为,和区域B，坐标为,.另外假设区域B中每个点被指定了区域A中一个对应的点，使=(,),i=1,n.如果坐标可以反过来通过,表示,，即=(,),j=1,n,那么就说给出了从区域B到A上的一个变换。若给定一个区域A， （1）对A中的任意三个元素g,h,f满足：(f。g)。h=f。（g。h）;（2）对A中任意的元素g，存在元1A，使得1。g=g。1=g（群A的单位元）；（3）对A中任意的元素g, g。（ ）=1,。则称所给的区域A上的所有变换构成一

33、个群，称为变换群。 该变换群经过平移、伸缩和平移连同伸缩的一系列运动后，得到了其他的群，下面就简单的介绍两个在变换群的基础上演变出来的群。（1）仿射群 ：由线性变换群与平移组合而成。这个群的每个变换有偶对（A，f）决定，其中A为非奇异矩阵，f为平面向量。仿射变换的形式为=a+b+,=c+d+ 或者 x=Az+f,其中 =ad-bc0,仿射群中的乘法规则是（A,f）。（B,h）=（AB,f+Ah）.（2）n维旋转群：以O（n）记n维欧式空间的保持坐标原点不动的运动群，O（n）中的每一个元由n阶正交矩阵A给出：x=Az,A=1,detA=1.则我们把当detA=1的变换构成子群SO（n），我们把这

34、个子群叫做n维旋转群。 在初步了解变换群在欧式空间的应用后，我们虽然知道变换群现在的应用的范围已经较宽了，但是它的发展永远不会停止脚步。在通过对大量资料的查询及分析，我们预测变换群未来将在以下几个方面在欧式空间的进一步发展：（1）将会从上面所讲的n维空间的两个区域进一步发展，发展到n个区域，即在n维空间中找出n个区域，,，在n个区域来讨论他们之间的变换；（2）从平面变换的平移、伸缩和平移连同伸缩上升到；空间中的平移、伸缩，再加上旋转；（3）未来会在平面的线性变换的基础上，继续发展，会在大家的共同努力下发展成在平面的非线性的变换，同时也将在这基础上继续研究各种由变换群延伸出来的各种群。二、变换群

35、与李代数通过前面的考察，我们知道每个线性变换群都关联了矩阵李代数，那我们下面来看一下李代数的定义： 在向量空间V中给出了一个反称的双线性算子,，如果它满足雅可比恒等式a,b,c+b,c,a+c,a,b=0,则称其为李代数。对任意的aV我们引进算子ad a,这是个线性映射ad a:VV;令ad a(b)=a,b,雅可比恒等式表明映射ad a就像在代数中所说的那样，是李代数V的“导子”（即满足莱布尼茨公式）ad a(b,c)=ad a(b),c+b,ad a(c).群的单位元处的切空间就是这个李代数的空间，下面我们来了解一下最重要的矩阵群和它们在单位元的切空间：（1）特殊线性群SL（n,R）为行列

36、式为1的n阶实矩阵群，在单位的切空间sl（n,R）为其迹等于零的矩阵空间。（2）旋转群SO(n,R)为行列式为1的实的正交矩阵的群：A=1，detA=1,ASO(n,R).那么so(n,R)为反称矩阵的代数=-X,Xso(n,R).(3)伪正交群SO(p,q);(4)酉群U(n);(5)特殊酉群SU(n)；（6）伪酉群U(p,q)；（7）群SU（p,q）. 现在设G为（1）-（7）的变换群中的一个，在群G的单位元处的切空间及其上赋予了矩阵的换位子运算，则称其为群G的李代数。线性向量场在通常的换位子下组成了有限维李代数，它同构于所有n阶矩阵的李代数，那我们首先看一下线性向量场的定义：设X=()为

37、n阶实矩阵。我们在空间中构造一个向量场：令在点x的值等于(x)=-Xx,则称该向量场为线性向量场。设X为一个固定的n阶矩阵，它对应于矩阵空的线性变换AAX.我们以中的线性向量场。向量场在点A上的值等于(A)=AX.则称群G上形如的向量场为群G上的左不变向量场其中Xg为这个群的李代数中元。 以上内容就是关于变换群在李代数中的应用，我们看到李代数其实就是建立在变换群的基础上发展而来的，由此我们应该看到变换群的重要性，既然它这么重要，那数学家们会不在此基础上继续发展吗？在通过自己变换群与李代数的理解和查阅相关资料，我对它的发展前景进行了预测，主要从以下几个方面进行：（1）在定义李代数时，我们给出了一

38、个反称的双线性算子,那我们可不可以给定一个.来定义出李代数呢？又能引出哪些李代数性质呢？这些都是我们未来会解决的问题；（2）既然有了变换群上的左不变向量场，那有没有变换群上的右不变向量场呢？ 变换群在几何中的应用很广，但是不可能做到面面俱到，还有很多地方需要进一步的发展，也还需要更广的应用，上面根据我的理解对未来发展的预测只是一小部分，还有很多方面会在未来数学家们的努力下继续完善与发展。 变换群在常微分方程中的应用前景分析 “常微分方程”是数学的基础课，而能求解常微分方程又是“常微分方程”的基础技能，所以求解常微分方程就成了一个非常重要的部分。利用原来学过的方法可以求解一些简单的常微分方程，但

39、遇到难点的就不能运用那些方法求解出来，是学生老师一直头疼的一件事情，现在我们介绍一种能轻松地解决常微分方程的方法变换群理论。 设动力体系为 (1)它满足初值条件t= 0，x1(0)=x,y1(0)=y 的解为 （2）把它看成是将(x,y)平面变到它自己（把点(x,y)变为点(x1，y1)）的一个依赖于参数t 的变换。假设t可以连续地取一切实数值，则有无限多个变换，它们构成一个连续群，称为由(1)式所确定的变换群。设方程 (5) 在变换群(2)之下不变(从而它的积分曲线族也不变),则有 (6)这里 (7)由(6)可得，F应满足方程 (8)F总是(8)的解，换言之,由(1)消去dt所得的方程在群(

40、2)之下总是不变的。 利用(8)，对已给的 、，亦即已给的群 (2)，可以决定最一般的F（x,y），使方程(5)在群(2)之下不变。当 、F一起满足(8)时，若令 则 (8)便可改写为 (9)这表示是方程dy-F(x,y)dx=0即（5）的一个积分因子，亦即dy-F(x,y)dx=0是全微分方程（李的定理）, 从而使求解问题化为求积分。 特别，在平移群x1=x+t，y1=y（此时=1，=0,由(8)可解出F=(y)之下为不变的方程(5)取 的形式，其通解x=(y)+C在此群之下不变是明显的。 在均匀放大群x1=kx,y1=ky(令k=et即见=x,=y)之下为不变的方程(5)是齐次方程这一事实

41、由齐次方程通解具有形式 也可清楚地看出。又由(9)知此时上述齐次方程有积分因子 这和初等常微分方程中所得到的结论是完全一致的。 以上内容就是运用变换群的只是去解常微分方程的步骤，看似复杂，其实它的实质很简单，虽然很完美，但是每件事情都有着它的发展空间，那就我的理解，谈谈我的看法：（1）如果方程中有多个变量，那能不能用变换群的方法求解？怎么求？在未来，数学家们会继续研究，以找到解决的办法；（2）假如在做变换的时候，由平面的变换到了空间的变换，又会怎么求解？等等一系列在此基础上提出的疑问与不断的思索，这些问题都会在数学家们的努力之下成功的突破。 对变换群未来应用的预测 变换群是一个陌生的数学名词，

42、但经过前面从诞生、发展到与各个学科的联系的介绍，我相信对变换群有了一个大体的了解。变换群的应用很广泛，在不同的领域有着不同的应用，比如在物理中带电粒子束在束流光学系统中运动时发射相图与粒子分布函数的变换等。当然，变换群绝不会停留在现在的应用而不向前发展，通过对变换群在现在的几个方面的应用，分析它将在这些领域的进一步发展和预测它的发展轨迹。 变换群在现代几何学的应用前景分析 根据高等教育出版社出版的现代几何学：方法与应用（第五版第一卷和第二卷）关于变换群的介绍，我对变换群在几何学中的应用有了一个初步的认识，下面我根据自己的理解做一下简单的介绍：一、 欧式空间的最简单的变换群假设在n维空间中有两个

43、区域：区域，其坐标,，,和区域，坐标为,.另外假设区域中每个点被指定了区域中一个对应的点，使=(,),i=1,n.如果坐标可以反过来通过,表示,，即=(,),j=1,n,那么就说给出了从区域到上的一个变换。若给定一个区域，（1）对中的任意三个元素g,h,f满足：(f。g)。h=f。（g。h）;（2）对中任意的元素g，存在元1，使得1。g=g。1=g（群的单位元）；（3）对中任意的元素g, g。（）=1,。则称所给的区域上的所有变换构成一个群，称为变换群。 该变换群经过平移、伸缩和平移连同伸缩的一系列运动后，得到了其他的群，下面就简单的介绍两个在变换群的基础上演变出来的群。（1）仿射群 ：由线性

44、变换群与平移组合而成。这个群的每个变换有偶对（A，）决定，其中A为非奇异矩阵，为平面向量。仿射变换的形式为=a+b+,=c+d+ 或者 x=Az+,其中 =ad-bc0,仿射群中的乘法规则是（A,）。（B，）=（AB,+A）.（2）n维旋转群：以O（n）记n维欧式空间的保持坐标原点不动的运动群，O（n）中的每一个元由n阶正交矩阵A给出：x=Az,A=1,detA=1.则我们把当detA=1的变换构成子群SO（n），我们把这个子群叫做n维旋转群。 在初步了解变换群在欧式空间的应用后，我们虽然知道变换群现在的应用的范围已经较宽了，但是它的发展永远不会停止脚步。在通过对大量资料的查询及分析，我们预测

45、变换群未来将在以下几个方面在欧式空间的进一步发展：（1）将会从上面所讲的n维空间的两个区域进一步发展，发展到n个区域，即在n维空间中找出n个区域,，,，在n个区域来讨论他们之间的变换；（2）从平面变换的平移、伸缩和平移连同伸缩上升到；空间中的平移、伸缩，再加上旋转；（3）未来会在平面的线性变换的基础上，继续发展，会在大家的共同努力下发展成在平面的非线性的变换，同时也将在这基础上继续研究各种由变换群延伸出来的各种群。二、变换群与李代数通过前面的考察，我们知道每个线性变换群都关联了矩阵李代数，那我们下面来看一下李代数的定义： 在向量空间V中给出了一个反称的双线性算子,，如果它满足雅可比恒等式a,b

46、,c+b,c,a+c,a,b=0,则称其为李代数。对任意的aV我们引进算子ad a,这是个线性映射ad a:VV;令ad a(b)=a,b,雅可比恒等式表明映射ad a就像在代数中所说的那样，是李代数V的“导子”（即满足莱布尼茨公式）ad a(b,c)=ad a(b),c+b,ad a(c).群的单位元处的切空间就是这个李代数的空间，下面我们来了解一下最重要的矩阵群和它们在单位元的切空间：（1）特殊线性群SL（n,R）为行列式为1的n阶实矩阵群，在单位的切空间sl（n,R）为其迹等于零的矩阵空间。（2）旋转群SO(n,R)为行列式为1的实的正交矩阵的群：A=1，detA=1,ASO(n,R).

47、那么so(n,R)为反称矩阵的代数=-X,Xso(n,R).(3)伪正交群SO(p,q);(4)酉群U(n);(5)特殊酉群SU(n)；（6）伪酉群U(p,q)；（7）群SU（p,q）. 现在设G为（1）-（7）的变换群中的一个，在群G的单位元处的切空间及其上赋予了矩阵的换位子运算，则称其为群G的李代数。线性向量场在通常的换位子下组成了有限维李代数，它同构于所有n阶矩阵的李代数，那我们首先看一下线性向量场的定义：设X=()为n阶实矩阵。我们在空间中构造一个向量场：令在点x的值等于(x)=-Xx,则称该向量场为线性向量场。设X为一个固定的n阶矩阵，它对应于矩阵空间的线性变换AAX.我们以中的线性向量场。向量场在点A上的值等于(A)=AX.则称群G上形如的向量场为群G上的左不变向量场，其中Xg为这个