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1、2012“深圳杯”全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设
2、置报名号的话）： 10038 所属学校（请填写完整的全名）： 西安交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 5 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012“深圳杯”全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：14基于改进的遗传算法的打孔机最优作业方案设计摘要本文的背景是印刷电路板过孔孔群的加工问题。通过建立单孔模型成功
3、将具有复杂加工要求的电路板加工路径规划问题转化为常见的循环旅行商问题（）和多旅行商问题（），我们研究了使用单钻头加工和多钻头加工时的加工路线优化问题。我们首先根据孔的加工要求和孔的类型对所给待加工孔群进行了重新定义，将孔的孔型和所需加工刀具都作为孔的特征，把需要多把刀加工的孔拆分为由孔型和加工刀具共同区分的多个孔，并使用逻辑值对孔是否已打进行标记，从而对孔进行扩展，使复杂孔群成为只需单一刀具一次加工的孔群，得到了单孔孔群模型。在单孔模型中，钻头在孔间的可达与否受加工刀序的控制，这在单孔孔群模型中成为孔间加工的关联问题，可以通过访问标记进行。单钻头对线路板加工时，使用单孔模型后，孔的相异性变得清
4、晰，孔与孔间的关系我们建立了权值计算函数模型，把单孔孔群看成了点间关联的寻找最优加工路径的问题成为具有访问顺序的。对孔扩展后单孔的规模为，属于大规模的最优路径问题单纯遗传算法的搜索效率较低，我们将模拟退火算法与遗传算法相结合，并在其选择的方式上进行了时间节约化的改进，使计算时间复杂度有所下降，有效提高了最优解的求解效率，在计算机上对所有点全部搜索，约为半个小时，表明其有较高的求解效率。多钻头打孔时的路径规划成为多旅行商的最优旅行线路问题，在对路径的规划上，对了第一问的遗传算法中的染色体产生形式和适应度函数进行修改，通过插入虚拟点的方法，使多钻头的影响变成单一路径求解，在相应的限制下找到最好的合
5、作路线。关键字：单孔孔群模型问题遗传算法模拟退火算法最优化1 问题重述现有一类给印刷电路板打过孔的打孔机，现在普遍采用单钻头作业。它的某种钻头，上面装有8种刀具a，b，c， , h，依次排列呈圆环状，并且8种刀具的顺序固定，不能调换。不同的刀具加工不同的孔型。作业时，不同刀具之间的转换（可顺时针也可逆时针）需要时间成本；打不同孔时，钻头的行进需要行进成本，过孔的打孔时间成本（这是由生产工艺决定，为了简化问题，这里假定对于同一孔型钻孔作业时间都是相同的）决定着打孔机的生产效能。现在提供有10种孔型所需加工刀具及加工次序。为了提高这类打孔机的生产效能，对于某种给定过孔中心坐标和孔型的印刷电路板，对
6、其过孔进行加工前需要对其作业的线路进行优化。问题一中要求在单钻头作业的情况下，根据提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，建立相应的数学模型，给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。问题二中，为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm（称为两钻头合作间距）。为使问题简化，可以将钻头看作质点。（1）针对问题一中提供的数据，建立模型，给出双钻头作业时的
7、最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？（2）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。2 符号说明表一：本文使用的主要符号及说明单孔编号数组工作时间目标时间适应度函数名线路板的平面区域刀具编号集合孔类型集合单孔孔群集合刀具编号孔型编号访问标记逻辑值孔间行进时间孔间换刀时间打孔钻头升降时间打所有孔钻头升降时间加工费用函数名3 基本假设1. 为了使求解问题的方便，模型中假定钻头在两孔之间的行进为直线运动，并且在整个打孔过程中，钻头的运动速度是相同的。2. 双钻头打孔时，同一时刻两钻头的合作间距有一定的要求，两钻头的间距与时间有关系，因此
8、钻头的打孔时间忽略不计。4 问题分析 本题要求根据提供的线路板的过孔的加工中心坐标规划出一个优化的加工方法，用以提高钻孔机的生产效能，在第一问中，对于单钻头的加工问题，求最优加工路线是TSP问题。而在这个问题中，有些类型的过孔需要不同刀具加工，并且有些孔型的加工刀具顺序固定，因此这样的过孔就会被重复经过，并且其中几类重复经过的顺序是固定的，我们把需重复经过的每点拆分为相当的仅打孔一次的多个点来看，这样被抽象化扩展的点便可以构成一个非静态有向图，把所有的点遍历一次时的两点可达与否与已经经过了的点相关联，因此我们定义点类时，添加了标记函数，用以了解几何上的此点是否已经过。遍历路径总长由遍历时动态函
9、数 (为一个点的排列序)计算，作为路径的总长，将在可行解的搜索中作为选择算子的参数。对于第一问的求解，由于所给的数据量较大，进行扩展后变得更大，要找出最优的加工路线，并计算出所用的加工费用，是NP-hard问题，为了在允许的时间内找出最优解，考虑使用改进后的遗传算法-模拟退火算法与遗传算法结合的现代优化算法，以使收敛速度更快，在算法中的适应度函数需要动态计算。 5 模型的建立与求解5.1 数据点的模型5.1.1扩展单孔模型问题中的电路板过孔分为A到J10种不同的类型，共有2124个孔，并且其中的C，D，E，F，G，I,J类孔都需要多种不同的刀具进行加工，这几类点中，除了D，F类，其他类的点都需
10、要固定的刀具加工顺序，因此我们将需要用不同的几种刀具加工的孔按不同刀具扩展成不同的新类型如下图：ACAC进行如上扩展后孔的规模变大，产生了新的不同的孔群结构，这样的新类孔被认为是只需单刀加工的孔。对于附件孔中心的几何位置点数据，需要进行扩展处理，并用枚举型对刀具（到）进行编号（1到8），对孔进行的重新分类后的结果如下刀号编号点类a1A Cb2B c3C E I Jd4D Ge5D If6E G Jg7F Gh8H 被扩展后的点有18类，在这18类孔中，几何位置相同的孔有相同的位置坐标，而属于不同的孔类型，因此需要重新对孔的数据结构进行定义，然后对孔进行编号，对扩展后的孔进行重新定义时。按照以下
11、规则进行：1） 使用了孔型和加工刀具两重特征将孔分类，本题中的电路板过孔孔型有10类，加工刀具有8种类型；2） 对于孔型相同的孔，单个孔的需要用孔中心位置坐标加以区别；3） 本题中有几类过孔需要用不同的刀具并以一定的刀具使用顺序重复加工，扩展后的的点在需要按照以下逻辑关系对孔的加工顺序进行限制只有孔的加工刀序是正确的，钻头才可移动到下一孔。定义1：仅使用一把刀就可加工完成的孔称为单孔。线路板的区域为不同刀具的枚举编号集合为不同孔型的编号集合为 对于每个点需要有访问标记量对点是否已被访问进行标记，初始状态下，所有的点置为，被访问之后置为。此时定义的新的孔群为在本题中经扩展后的孔群规模为=2814
12、。此孔群中的每一孔都只需一种刀具加工一次就可加工完成，因此此孔群是一个单孔孔群。5.1.2单孔间移动时间计算 打孔机在打孔时，打孔的效能受打孔的钻头在两孔和（和为单孔的编号）间的行进时间，两孔间的换刀时间和打孔钻头的升降时间的影响，在行进过程中，为使问题简化，钻头在两孔间的行进为直线运动，并且行进的速度是恒定的，于是钻头上的刀具排布如下图所示换刀时，可以顺时针转动换刀，也可逆时针换刀，设定相邻刀具转化的时间为恒定的，于是打孔机的升降时间由生产工艺所决定，打所有孔的钻头升降时间在打孔时钻头的行进与换刀可以同时进行，因此两单孔间的钻头工作时间为对于一条给定的路径，钻头总的工作时间为在工艺条件不变时
13、，打孔钻头升降总时间是固定的。因此打孔机的效能由工作时间决定，寻求最优路径满足目标即为求使工作时间取最小值，目标函数为的路径。设置动态函数表示加工过程中的行进或换刀时间，以此作为评价加工路线优劣的标准。设加工费用函数为则为钻头的单位距离行进成本，为换刀的单位时间成本。我们把孔群单孔作为一个图的节点，两点之间的工作时间作为点与点之间的边，即权重函数，因此此单孔群及其孔间关系可表示为一个图，图的含义为：为图的边的权重的集合即两单孔间的工作时间，为图的节点集合即孔的集合， 。由于两单孔之间是否可达不能预先确定，此图并不是一个静态的完全有向图，单纯静态图的邻接矩阵是确定的，在对图进行使用时可以认为是图
14、的常量参数，在图中寻找最短H路（或H圈）时对路径总权重的计算是在路径寻找完成之后直接调用常量参数计算。本文中所要讨论的孔群相关图的点是有顺序访问关联的，因此需要对孔群中的点间权重计算进行改进，改进的时候。5.1.3 改进的单孔间时间成本计算模型经扩展后的单孔孔群不能用一个静态的完全有向图来表达，它的邻接矩阵是动态的，每一个点的序列都对应有不同的邻接矩阵。因此邻接矩阵需要动态定义。对于节点的集合 有点，从（作为单孔的标号）接着访问的下一,此点的几何位置，特征区分量,（下面仅以特征区分量来区分几何位置相同的不同点）需要不同的刀打孔，设打孔的刀具顺序为，若，则从到是可达的，从到的权重为，若，此时需要
15、了解的另一点，若，从到的权重为，否则置为，需要更多种刀具加工的孔的用相同的方法可以得出相应权重计算函数。这样来计算两个孔之间的时间成本对点的操作是静态的，两点之间是否可达的信息全部包含在点的自身属性中。在这个图中找一条最优路为一个（Traveling Salesman Problem）问题，需要对图中的点进行遍历寻求最优解，这与问题一所要求的最优加工路线有相同的目标函数。因此题目一中的问题是一个TSP问题，我们对单孔孔群中的2084个孔依次进行编号为1,2，2814，则第一问的问题是求钻头从某一孔出发，打完所有的孔的一条加工路径使得加工时间最短，第二问的求两条加工路径，使得两个钻头利用两条加工
16、路径将所有的点加工完的时间最短。5.2 单钻头打孔的TSP模型5.2.1传统线路板孔群加工TSP模型表示一个线路板的过孔孔群，其中表示孔的集合，（为孔之间的权值）表示孔与孔之间的权重集合，其与孔群建构的图的邻接矩阵相对应。模型中，为从孔到孔有向边权重，它的值在未进行遍历之前是完全确定的。对于孔的数量不大时，使用中的模拟退火算法可以较快的找到最优解（或准最优解），数据量适中时可以使用中的遗传算法进行全局搜索找到比较满意的解，对于含有多次不同刀有固定顺序打同一几何位置的孔的线路板，两点之间是否可达与已经访问过的点有关，计算两点之间的权重时必须受制与已经访问了的点。5.2.3 改进的模拟退火算法与遗
17、传算法结合的TSP求解模型模拟退火算法和遗传算法都是能解决图中最优H路（或H圈的）的现代优化算法（TSP求解问题），他们各有优缺点，先对他们的算法思想描述如下：（1）模拟退火算法模拟退火算法来源于材料的统计力学的研究成果。对于解决一个寻求最小值的优化问题，为了使对可行解的搜索不致陷入局部最优的情况，需要使搜索具有概率性，将物理学中的模拟退火的思想运用在最优过程中，就使新解的接受具有了概率性，这样就可避免局部收敛的情况，使搜索具有全局能力。给定优化函数，其中，它表示优化问题的一个可行解，表示函数的定义域。表示的一个邻域集合，即下一个解的存在集合。 首先给定一个初始温度和一个可行初始解，并由生成下
18、一个解，是否接受该解的概率表示如下：也就是说，如果生成的解的函数值比前一解的函数值小，则接受作为下一解，否则以概率 接受 作为新解。 依次进行，对于某一温度和该优化问题的一个解，可以生成。接受作为下一个新解的概率为：这样在一定温度下依次转移寻求最优解，然后降低温度在次寻找最优解。在每个下，所得的新解依赖于前一解，和前面的0到k-1个可行解无关，因此是一个马儿可夫过程。使用马尔可夫过程对模拟退火过程进行分析，可知当温度下降的足够缓慢时，则全局最优解将以概率为1被找到。模拟退火算法在解决小规模的TSP问题，可由单一初始解逐步进行模拟退火转移得到最优解。本文中，所要考察的线路板过孔的扩展单孔规模有近
19、3000个，使用模拟退火算法解决时必然会出现局部收敛的问题，并且计算量也相当庞大。 （2）遗传算法遗传算法是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索寻优算法，它模拟自然界中的生物进化过程，运用于人工系统实行特定目标的优化，遗传算法的实质是通过对群体的搜索技术，根据适者生存的原则进行逐代优化，最后得到最优解或准最优解，它的实现需要做以下工作：产生初始种群；求每一个体的适应度；根据适应度依照适者生存的原则选择优良个体；选择出的优良个体进行两两杂交，按一定概率两两随机交叉其染色体和一定概率变异某些染色体后产生下一代群体，以此方法使群体逐代优化，直到满足进化的终止条件，它的具体实现方法如下：根据具体问
20、题确定求解的可行解域，确定一种编码具体问题的染色体方法，使问题的解可用编码表示。：寻找一个非负的适应度函数作为度量解的好坏的依据。：确定进化的群体规模，交叉概率，变异概率和进化终止条件。为方便计算，通常将每一代的群体规模M设为相同，群体的规模越大，找到全局最优解的概率就越大，然而由于计算机的运算能力有限，群体规模的增大会使运算的时间增加。遗传算法对于解决规模较大的搜索求最优问题能够综合考虑全局，使每一代种群都分布的均匀，但到了搜索后期，由于种群中个体的差异性减小，使它的搜索效率会变得比较低，收敛速度降低；同时，遗传算算法在对可行解的接受上不具有概率性，容易造成搜索的早熟。模拟退后算法的全局搜索
21、能力较弱，容易陷入局部最优的状况，而在个体的在个体差异较小时模拟退火算法具有较高的搜索效率，因此可以将两个算法相结合，各取其长，使搜索时即考虑全局性又可加快收敛速度，使遗传算法具有更好的爬山能力，因此我们结合了这两种算法的优点，采用下面所描述的模拟退火算法与遗传算法相结合的算法来对单钻头加工单孔的加工作业路径进行合理搜索，在全局范围内找到满意解。（3）模拟退火与遗传算法的结合算法结合前面的对模拟退火算法和遗传算法的描述，通过改变遗传算法中的选择算子的选择操作，使其对种群的选择优化过程按照模拟退火算法思想进行，使可行解能以较大概率向最优解收敛。具体按如下步骤实现：（a） 遗传算法的；（b） 遗传
22、算法的；（c） 随机产生一个在可行解域内的规模为M的初始种群；（d） 对初始种群中的每一个体使用模拟退后算法进行优化，得到第一批优良的父代A；（e） 使用随机交叉和变异的方法由父代A各产生一批子代B和子代C；（f） 根据适应度函数，从子代和父代中选择适应度最好的M个个体作为下一个父代；（g） 判断进化终止条件是否满足，不满足则循环执行步骤（d）到（g）直至满足循环终止条件。用以上算法对全部的单孔遍历路径进行搜索可以较快收敛速度找到全局最优解或准最优解。5.3 双钻头打孔组合模型的建立5.3.1 第二问的分析在现有工艺条件下，现代计算方法的不断改进和智能算法的引进对单钻头的加工路径的优化提高了生
23、产的效率，而加工时打孔的时间由于受生产工艺的限制并没有缩短，引入双钻头后，使用双钻头同时加工同一孔群的孔时，通过合理优化加工路线，在完成相同加工任务时，所用时间会减少很多。基于前面第一问的求解和单孔模型的结构特征，通过对单钻头的染色体表达和适应度函数计算的修改，对双钻头的路径进行约束限制，也可将第二问的双钻头加工路径问题转化为多旅行商的MTSP问题。5.3.2 约束限制关系双钻头进行打孔操作时，两钻头从各自的对刀点同步出发，打完一块电路板的所有单孔后钻头按照一定的路线回到各自的对刀点，在此过程中完成已加工电路板的取走与待加工电路板的放置。在单孔模型的基础上，两钻头合作间距需要满足一定距离限制即
24、在双钻头相互独立加工的任何时刻，其间距离有一下限以防止相互碰撞。双钻头在加工点的次序上还要满足在加工有加工刀序时需要满足时间上的限制如果加工一个需两种刀型加工点时两刀要在加工时间上要满足先后次序。而此时在抽象图中两顶点之间的权重将会随两刀加工次序的影响，因此该图部分顶点的权重本身受到遍历该图顶点的次序的影响。5.3.3在第一问的改进基础用模拟退火法求解MTSP问题在第一问的启发下，双钻头加工路径可以合并为一条路径,将两条路径合为一条路径则该路径顺序就对应遗传退火算法中的一个个体，该个体的适应度为合并双路径前路径长度中较大者。在进行路径计算时需要动态计算路径的长度，双钻头各自路径长度需要混合交叉
25、计算。该MTSP问题要满足多个限制条件，无法建立静态的权重邻接矩阵，导致无法像常规的MTSP问题那样直接运用模拟退火算法求解，由此我们建立了动态权重计算函数可以再路径的生成过程中计算任一条路径的总权重。我们在最后选择阶段将通过任意一条路径的时间函数判断两钻头在同一时刻是否满足距离约束条件 5.4 模型的求解5.4.1 单钻头打孔的最优路线求解使用单钻头TSP问题模型寻找最优加工路线，问题中要求通过合理的优化找到能使打孔机生产效能提高的孔群加工路径，我们以加工时间最少作为优化的目标函数。对问题一中所给的孔扩展后的单孔规模为N=2814，于是对模型中的参数作如下设定：种群大小最大进化代数,退火初始
26、温度初始温度设定与降温关系，需要根据单孔加工的动态函数确定，以此作为对路径变化的敏感度量。降温关系交叉概率=1，可以保证种群充分的进化变异概率=0.2，种群的变异概率较小（1）用十进制对染色体进行编码。用随机数列,01（）作为染色体，每一染色体都和种群中的一个个体相对应，编码的位置代表单孔，编码的数值代表单孔的加工顺序，即按升序排列时按编码的大小顺序打孔，编码按数值大小顺序排列的孔序用数组 保存，例如对于有4个孔的染色体编码为，则孔的加工顺序为（2）第一批优良父代的产生用。根据（1）的方法随机产生规模为2000的初始种群，用模拟退火算法对每一个个体进行局部优化，例如对一个个体 ， ，其路径的目
27、标函数值为，交换与之间的顺序，得到新路径为：，在这里，我们进行了的搜索的节约改进，对此路径的目标函数的计算时，一旦出现两孔间不可达的状况时对此路目标函数的计算立即终止，否则路径的目标函数为为计，若，则用新的路径替代旧的路径，否则随机产生一个0,1之间的随机数，若，就用新路径替代旧路径，即以概率接受下一个可行解，从式可以知道，越小，新路径被接受的概率就越大，温度影响子代的更新率，温度越低，子代就越容易更新，对这2000个初始种群都进行如上操作，就获得一个优良的后代种群。（3） 交叉变异产生子代。我们用单点交叉和三点变异方法分别产生子代B和C我们是这样设计的：1）交叉操作：对于选取的两个父代染色体
28、和，由交叉概率我们随机选取第（）个基因处为交叉点，经交叉后的产生两子代染色体和，由的前个基因和的后2814-个基因组成，由的前个基因和的后2814-个基因组成，即，由此对应两个新的打孔顺序，利用单点交叉的方法产生子代的速度较快并且当基因数量较大时，由此产生的新染色体仍是丰富的，本文中所研究的孔的数量较大，用此交叉方法产生子代更利于收敛加快；2）变异操作：对于选定的一个父代染色体，随机的取三个数，满足,把之间的基因段插入到的后面，由此产生新的变异个体，对于单孔的遍历路径由此得到变化，根据新路径的目标函数值决定新路径的取舍，优化得到下一批父代。（4）从步骤（3）中产生的子代和步骤（2）中的父代总种
29、群，的规模为中得到新的一批父代。每一批的父代的数据规模都为2000，规模比较大，变异产生的数据量同样很庞大，使用确定的筛选方法对进行筛选，本文中的求解目标为找到使目标函数值最小或准最小的路径，由于孔的规模较大，我们采用轮盘赌的方式对个体进行筛选，此时的适应度函数这样定义适应度函数值就是个体的适应度的表现，根据适应度函数在总种群中选择目标函数值最小的个个体遗传到下一代，作为新的一批优良父代。以后的每一代的适应度函数的设定与选择优化的方式都与此步骤相同。（）最优结果的得出。由于对孔的路径的筛选中，在步骤（）中采用了搜索的节约改进，搜索效率得到了提高，为了使结果更加满意，在现有计算机计算能力下，我们
30、设置搜索遗传代数，作为搜索终止条件。搜索结束后，得到第代的优良父代，直在容量为的父代中搜索最优解或准最优解，得到的加工路径即为问题一所需的最优加工路径，由此求出加工费用。通过遗传算法并用编程得到的最优加工点序依照打孔顺序存放附录一，作为打孔机程序编制的依据。计算的成本加工128070.78元，目标工作时间= 179.0分钟5.4.2双钻头打孔求解将两钻头的打孔次序合并为一个次序即可在第一问的基础上加入时间函数和限制条件求解。双钻头合作间距d（cm）加工时间(min)加工成本（元）3.0116.35147280.52.083.56139887.51.069.47125118,46 模型的评价与改
31、进1. 我们建立的单孔模型将多刀具重复打孔问题巧妙的转化为单刀一次打孔问题，重新对数据的结构进行定义，使孔与刀的两方面的影响合理转换为单纯的新定义孔的问题，使问题的解决有了好的基础。2. 在单孔模型上，解决单钻头的打孔最优作业路线问题归结为一TSP问题，在对动态单孔孔群的邻接矩阵定义时巧妙使用了指向目标孔的回溯判断，能够全局综合考虑，使可行解的逻辑性更加严密，可行解的解域的定义形式更加完善。3. 求解第一问我们综合使用了模拟退火和遗传算法的结合算法，并在其中添加了搜索节约改进，使算法对解的搜索具有较好的全局搜索和爬山能力，使搜索收敛速度加快。参考文献 1邢文训，谢金星.现代优化算法.北京：清华大学出版社，1991.2马兆敏等.基于双钻头的孔群加工路径优化算法.液压与机床.38 (6)：13-15，2010.3陈子侠.配送线路划分与电子排单系统建模与算法研究.上海交通大学学报.4周辉仁.基于阶梯遗传算法的多旅行商问题的优化5宁宁，郭夙昌.一种改进的遗传退火算法.6龚进峰,彭商贤. 基于C 空间的机器人双手协调避碰路径规划 .天津大学 智能机械研究所. 天津 300072