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1、函数极限连续内容广泛，该论文主要介绍一元函数的极限与连续的相关内容。一、 函数极限1. 概念：函数极限定义的六种形式：（1）当时，有；（2）当时，有；（3）当时，有；（4），当xM时，有；（5），当xM时，有；（6），当xM时，有f(x)G.（8），当xM时，有f(x)G.（9），当xM时，有f(x)-G.注意：仅以x为例，对函数极限定义（1）中的和 的特性进行讨论： 该定义称为函数极限 定义（精确化定义），相当于数列极限的N 定义； 0x- 0，都（至少）有一个 与之相对应， 依赖于 ，但不是由 所唯一确定的，所以 是依赖于 而适当选取的，为此常记为 （；） ；一般说来， 越小， 也相应的要
2、小一些，而且 可以取得更小些，但是定义中是要求由 0x- 推出f(x)-A 0 ，存在正数 ，使对一切 x ( ; ) 有f (x) U (A; ) ； 函数 f(x) 不以A为极限定义：0 ，正数 ， 满足 0- 0 ，在坐标平面上画一条以直线y=A 为中心线，宽为2 的横带，则必存在以直线 x= 为中心线，宽为2的竖带；使函数y=f(x) 的图像在该竖带中的部分全部落在横带内，但是点 (x ;f() 可能例外（或无意义）。3. 函数极限的性质; 唯一性：若极限存在，则必是唯一的； 局部有界性：若极限存在，则存在 的某去心邻域，使得 f(x)在其内有界； 局部保号性：若=A0(或0)，则对于
3、任何正数rA(或rr0(或f(x)-r0); 保不等式性：设与都存在，且在某邻域内有f(x)g(x),则； 迫敛性：设=A,且在某内有f(x)g(x),则=A； 极限四则运算法则：若极限与都存在，则函数f(x)g(x),f(x)g(x),当x时极限也存在，且（1）=；（2）；又若0，则f/g当x时极限存在，且有（3）； 复合函数的极限 两个重要极限：；=e；4. 函数极限存在的条件：（1） 左极限=右极限；（2） 归结原则（海涅定理）；（3） 柯西收敛准则；（4） 单调有界定理；二、 概述求函数极限的基本方法：1. 按定义证明（验证）极限：条件:已知极限值关键：寻找 使用方法（1） 求最大的；
4、由不等式f(x)-A,直接解出0;（2） 适当放大法：若不等式f(x)-A,较为复杂，无法直接解出或求解过程较复杂，可先将f(x)-A化简，适当放大，成为关于的简单函数g()即f(x)-Ag()，于是要使f(x)-A，只要g()0,只要取，则当0x-2时，f(x)-4=x-2.=4.例2.（用第（2）种方法）证明：=0证明：x2 , =2 令,当02-x时， 2=2=.=0. 例3.（用第（3）种方法） 证明： 证明：当x1时，有= 限制0x-10）,则2x+11,于是，对任给的0,只要取=min,则当0x-1 时，便有x-10, ,当0x- 时，f(x)-A . 又f(x)-Af(x)-A0
5、时，1-x1而 =1 ，故由迫敛性得 =1；另一方面当x0 时，1M,f(y+nT)=f(y),即都有f(y)，由的任意性知，f(y)=0. 又由于 y的任意性f(x) 0. 4.柯西收敛准则 叙述为：f(x)在 内有定义， 存在的充要条件为：任给，正数，使对，有。 方法：不需要知道函数的极限，即可判断函数极限的收敛性或发散性； 柯西收敛准则是极限理论中最为重要的理论之一，虽然常用来证明极限的收敛或发散，但尤其在证明极限发散时较为方便。 例1.（证明收敛） 已知f(x)在（a,b）上一致连续，证明： 存在。 证明：f(x)在（a,b）上一致连续，对且，都有。故当aa+，a =。不存在。5. 利
6、用函数极限的四则运算法则求极限。 使用方法：（1）注意应用“函数极限的四则运算法则”的前提条件，即f(x)与g(x)的极限存在（x ）,方可得到 f(x) g(x) ，f(x)g(x) ,(g(x)0及)的极限也存在且有， ，； （2）将函数进行适当的变形，使之各部分满足“数列极限的四则运算法则”的前提条件，然后利用运算法则求出函数的极限。 例1. 求极限 解： =2 =2（1-0-） =2-例2. 求极限解：当2xM时，M，使当xN时， N时，f(x) .二、 函数的连续性1. 函数f(x)在点连续的定义：设f(x)在点 的某邻域内有定义，f(x)在点连续可归纳为以下几种等价形式：（1） 极
7、限形式：（2） 增量极限形式：，其中y=f(+)-f() （3） 语言：，：x-时，有f(x)-f() 0，0，x,有f(x) M.（2） 连续函数的局部保号性：若函数f(x)在点连续，且f()0,则f(x)在点的邻域保号，即若f()0(0， ，有f(x)0(0).5. 连续函数的整体性质（闭区间上连续函数的性质）（1） 有界性：若函数f(x)在闭区间上连续，则f(x)在上有界；（2） 最值性：若函数f(x)在闭区间上连续，则f(x)在上有最大值与最小值；（3） 介值定理1：若函数f(x)在闭区间上连续，M与m是f(x)在上的最大值与最小值，则c:mcM,使得f()=c;（4） 康托定理：f(
8、x)在闭区间上连续，则f(x)在上一致连续；（5） 稠密定理：设函数f(x)在区间I上连续，如果对I中的任意的有理数q,f(x)具有性质p,则f(x)在区间I上具有性质p.6. 一致连续：设函数f(x)在区间I上有定义，若，I，当 时，有 0，使R（x）的点x的个数至多有有限多个（因为x=，则有R（）=，或0p0，使得在内没有使式子成立的点，或x总有R（x）0，0，且为无理数，使=为R(x)的间断点，由的任意性知R(x)在有理点间断。 2. 设f(x)在（-，+）有定义，x（-，+）有f()=f(x),且f(x)在x=0 与x=1连续，证明f(x)为常值函数。 证明：由f()=f(x)得到对于任意的自然数n,x0，有f(x)=f()=f()=f(),由于f(x)在x=1连续及=0，所以x0，令n取极限，有f(x)=f(1). 再由f(x)在x=0连续，所以f(0)=f(1) x,f(x)=f(1)再由f(x)为偶函数 f(x)=f(-x) x ,f(x)=f(1) x（-，+）f(x)=f(1) f(x)为常值函数.2. 讨论函数f(x)=的连续性，并指出间断点的类型。解：当x0,若取