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1、 扭转振动的计算软件系统开发摘 要轴系在工作过程中，承受着不断变化的扭矩、推力及弯曲力矩作用，因而船舶轴系在运动过程中可能产生以下三种形式的振动：扭转振动，回旋振动和纵向振动。本文主要针对扭转振动的计算进行软件系统的开发。船舶轴系在发动机、螺旋桨等周期性扭矩激励下所产生的周向交变运动及其相应变形即为船舶轴系的扭转振动。在世界各国的船舶规范中，都列有共同的条款，凡是船用柴油机（主机或辅机）和气轮机动力装置，均必须通过扭转振动的计算，测试的检验，合格之后方可投入运营。 这是因为船舶轴系的扭转振动常常是造成严重事故的主要原因之一，而且扭转振动还常常会诱发船体、动力装置的强烈振动和噪声，传动轴系的断裂
2、，发动机零件磨损的加剧等等问题。随着柴油机功率、转速的不断提高，与其配套的动力装置样式也越来越多，出现严重的扭转振动现象也就逐步增加了，同时，对船舶轴系扭转振动的研究也得到了进一步的发展。本文分析了我国轴系扭转振动研究的情况及与世界先进水平相比较的差距;简单介绍了扭转振动的一些理论和计算方法。并以163000DWT油轮为例编写了扭转振动计算的软件。用计算数据做校核计算，得出结论。 关键词: 船舶轴系；计算程序；扭转振动校核IAbstractIn the course of shaft to withstand the changing torque, thrust and bending mo
3、ment of force, and thus shafting in motion that may arise during the following three forms of vibration: vibration, whirling vibration and vertical vibration. In this paper, the calculation of torsional vibration for software system development. Ship shaft in the engine, propeller and other periodic
4、 torque generated by excitation of weeks corresponding to the alternating movement and deformation of the ship is the shaft torsional vibration.Ship in the world specification, the terms are listed together, all marine diesel engines (main or auxiliary) gas turbine power plant, are required by the c
5、alculation of torsional vibration, test test, after passing can be put into operation. This is because the ship shaft torsional vibration is often one of the main causes of serious accidents, but also often induce torsional vibration of hull, power plant strong vibration and noise, drive shafts frac
6、ture, wear and tear of engine parts and so increase problem.With theenginepower,increasingspeed,power plantand itssupportingstylemore and moreseveretorsionalvibrationwillgraduallyincrease, while thetorsional vibration ofthe shipsresearch has also beenfurther developed.This article analyzes the study
7、 of torsional vibration conditions and compared with the world advanced level in the gap; brief introduction to some of the torsional vibration theory and calculation methods. And oil tankers as an example prepared by 163000DWT torsional vibration calculation software. Calculation method used to do
8、calculations, draw conclusions. Keywords: ship shaft; computer program; Checktorsional vibrationII目 录第一章 绪 论11. 1船舶轴系的组成与布置11.2船舶轴系的激振力矩21.3轴系扭转振动的简化模型21.4船舶轴系扭转振动的危害4第二章 轴系扭转振动的当量计算52.1 轴系扭转振动模型建立52.2 转动惯量与扭转刚度计算52.2.1 转动惯量52.2.1.1旋转运动的转动惯量62.2.2 扭振刚度计算72.2.2.1 轴段弹性参数的表示72.3 实际轴段的刚度7第三章 自由振动计算93.1
9、自由振动运动方程式93.2 Holzer法103.2.1 Holzer递推式与频率方程式103.2.2 计算步骤113.2.3 计算频率的选取123.2.4 计算精度123.3 传递矩阵法133.3.1 基本概念133.3.2 状态矢量133.3.3 元件的传递矩阵133.3.4 计算步骤143.3.5 扭振许用应力17第四章 轴系扭转振动的强迫振动计算194.1 用能量法求强迫振动的近似解194.2 系统中阻尼、阻尼功及能量平衡式234.3 放大系数法求解共振振幅254.4 非共振计算274.5 临界转速的确定28第五章 推进轴系扭转振动的控制方案305.1 调频避振305.1.1 选择合适
10、的飞轮惯量305.1.2 改变系统柔度315.1.3 选定适当的螺旋桨惯量325.2 平衡外干扰，减少输入系统能量的降幅减振325.3 增加系统阻尼的降幅减振335.4 配置减振器33第六章 程序编制说明及结果分析346.1 本程序以163000DWT油轮为例编程，346.2 系统的建立和编程计算过程346.3 结果分析44结 论45致 谢46参考文献47IV第一章 绪 论1. 1船舶轴系的组成与布置船舶轴系的基本任务是将发动机的功率传给螺旋桨，同时又将螺旋桨旋转产生的轴向推进力通过轴系传给船体，推进船舶前进。船舶轴系的主要部件有:螺旋桨轴，中间轴，推力轴以及它们的轴承。螺旋桨轴位于轴系最后端
11、，其后端装有螺旋桨，前端穿过尾轴管轴承与中间轴相连接。螺旋桨轴工作条件比其他轴段恶劣，大型船舶螺旋桨重达几十吨，使螺旋桨轴受到较大悬臂梁负荷，产生较大的弯曲力，同时螺旋桨轴还承受螺旋桨运转时不均匀动载荷和艇部振动造成的附加应力。为了保证螺旋桨轴可靠的工作，就必须选择合理的结构和材料，使它具备足够的的强度、刚度、抗腐性以及尽可能轻的质量。双轴船的螺旋桨轴很长，为了加工和拆装方便，可一分为二，前者称尾轴，后者称螺旋桨轴。螺旋桨轴支承有水润滑和油润滑两种。水润滑轴系摩擦材料一般以铁梨木为多，它和青铜套组成的摩擦副，摩擦系数低(约为0.003-0.007)，轴承耐磨，寿命长。轴与轴承接触的轴径部分镶有
12、青铜套，其余部分凡与海水接触的轴段应有橡胶或玻璃钢包覆层，以避免海水对轴腐蚀。铜轴套材料一般用锡锌青铜。中间轴置于推力轴与螺旋桨轴之间。它是一个锻造整体，两端带有整段法兰，轴段长短和数量是由船体长度和机舱位置而定。某些舰船，为于减轻重量，采用空心轴。每根中间轴通常只设置一个中间轴承，它的安装位置一般不在轴段的中央，而偏在一端，以利于安装。中间轴承的结构型式主要有滑动式和滚动式两种，前者使用较为广泛。船舶轴系的组成，布置的共性和特殊性概括起来，主要有以下几点:(1)由于机舱到船尾有一定距离，特别是机舱位于中部的船舶，一般轴系都很长。为了加工制造、运输、拆装的方便，往往把他们分成许多段，并用法兰联
13、轴器加以连接。每一轴段，按用途可分为推力轴、中间轴、螺旋桨轴等。(2)螺旋桨推力是通过推力轴和推力轴承传给船体的。(3)当主机为中高速柴油机时，其后面往往还带有传动设备，如齿轮箱，弹性联轴器，离合器等。而对于低速机的直接传动装置，发动机飞轮直接和中间轴(或推力轴)相连，轴系比较简单。一些尾机型单机单浆的船舶轴系可能只有一根螺旋桨轴，或者是一根中间轴，一根螺旋桨轴，轴系长度比较短。(4)轴线的位置是依发动机或减速齿轮箱的输出法兰中到螺旋桨中心连接的直线而定。理想的布置是轴线和船基线平行。(5)一般轴系，主机和螺旋桨都布置在一直线上，但有些小型高速艇，导弹艇，机舱很小，轴系直线布置有困难，把轴线拆
14、成两段，中间以V型传动齿轮箱连接。1.2船舶轴系的激振力矩激振力矩是船舶轴系（包括发动机轴系）扭转振动的能量来源，主要有：(1)内燃机工作时，由气缸内气压压力产生工作作用在曲轴销上的交变切向应力与径向力。这是轴系振动的主要激振源之一。(2)内燃机运动部件(如活塞，连杆，曲轴等)的重力和运动时产生的惯性力所引起的激振力矩。(3)接受功率部件接受功率不均匀引起的激振力矩。如螺旋桨在径向和轴向下都很均匀的三维半流场中运转时所受到的交变纵向(轴向)和横向推力矩(4)船舶轴系部件运转时产生的激振力矩。如由于静力或功力不平衡的旋转部件产生的离心惯性力矩;变速传动系中齿轮产生的周期性敲击等。(5)另外，船舶
15、总体振动和局部振动作为支承激励也可能激起轴系振动。扭振激振力矩大多是复杂的，并呈周期性变化的。由数学分析可知，任何复杂的周期性函数都可以分解成一系列简谐函数所组成的傅立叶级数形式。这样就可以分别考虑各次简谐性激振力矩对轴系产生的激振作用。1.3轴系扭转振动的简化模型从振动力学的角度来看，船舶轴系可以视为具有多个集中质量的弹性系统。柴油机气缸燃烧压力发生周期性变化，柴油机输出转矩包含两个成分：平均转矩和波动转矩。后者成为弹性系统的扰动源，引起轴系的扭转振动。在共振转速下工作时，扭转振动的振幅将大大增加，产生较大的扭振附加应力。规范推荐的轴径计算公式虽然考虑了扭振因素，但轴的扭振附加应力必须在许用
16、范围之内，否则，就应采取减振或避振措施。同样，船舶轴系可视为多支承连续梁。在轴承之间跨距内会产生一定的挠度。由于螺旋桨和轴段机械加工的误差、材料密度不均匀以及安装缺陷等因素，使它们的中心实际上不在回转中心线上，轴回转时会产生离心力。同时，由于螺旋桨的悬臂作用，会产生陀螺效应，轴在这种情况下长期运行，不仅严重敲击轴承导致过早损坏，而且还会引起船体振动和轴的折断。为此，必须校核回旋振动的固有频率，使之远离运转转速范围；否则，就要在轴系设计中采取措施加以改进，尤其对高速船舶的轴系，更要注意。常规的推进轴系扭振计算中，大多采用集中参数模型。此类模型有三种基本元件组成：刚性匀质圆盘元件，无惯性阻尼元件及
17、无惯量扭转弹簧元件。现在，也常用集总参数元件与分布参数元件相结合的模型。在柴油机轴系扭转振动中的具体方法是：（1）柴油机每一气缸的运动部件（包括单位曲柄，连杆，活塞组件）简化为一个匀质圆盘元件，该元件放在曲轴轴线的气缸中心位置。对于多列式柴油机，则将同一排上各缸的运动部件合并为一个圆盘元件，各缸元件之间的连接弹簧元件刚度等于单位曲柄刚度。（2）传动齿轮，链轮，飞轮，推力盘，螺旋桨，发电机转子，干摩擦片离合器都作为绝对刚度简化为匀质圆盘元件，该元件放在各部件中心或几何中心位置。（3）中间轴，尾轴和螺旋桨轴的转动惯量按需要适当等分后简化为若干匀质圆盘元件，通常是等距离的排列在周中心线上，各元件之间
18、的连接弹簧刚度等于它们之间轴段的刚度。对于尾机型短轴系，一根轴的转动惯量简化为两个圆盘元件，分别放在两端法兰端面位置即可。对于中机型长轴系，一根轴的转动惯量适当细分为两个以上的圆盘元件，这有助于绘制更精确的振型曲线。 现在，也常将中间轴，尾轴和螺旋桨轴按自然分段为等截面匀质轴段元件，这样可使简化模型更接近实际系统，同时又不使计算分析过于复杂。（4） 柴油机的附件分支，如凸轮轴，水泵，滑油泵等，在计算分析曲轴轴系振动性能时，一般可不予考虑。显然，如果它们牵涉到该附件分支的扭振性能时，则应计入模型中。这时将泵的转子简化为均质圆盘元件，每个凸轮及其传动的运动件用一圆盘元件代替，各盘之间的连接弹簧刚度
19、等于相应轴段的扭转刚度。（5）弹性联轴器，弹性扭振减振器的主动与从动部件简化为均质圆盘元件，它们之间的连接弹簧刚度等于连轴器弹性元件刚度。如弹性元件的转动惯量不可忽视，则一分为二分别计入主、从动圆盘元件内。（6）硅油减振器简化为均质圆盘元件，其转动惯量等于壳体转动惯量与二分之一惯性轮转动惯量之和。（7）忽略轴承对系统扭振的约束。（8）一般不考虑齿轮啮合刚度和油膜刚度。（9）皮带，液力偶合器均可视为扭转刚度极小的传动件，它们所联系的部分可视为扭振特性相互独力的两个系统。（10）在自由振动计算中，如系统无大的阻尼元件，一般可不计入阻尼的影响。在振动相应计算中，柴油机阻尼，螺旋桨阻尼，减振器阻尼，发
20、电机阻尼等多采用等效线性粘性阻尼器模型。有些文献称作用在惯性元件上的阻尼为质量阻尼，作用在轴段上的阻尼为轴段阻尼，以示区别。 1.4船舶轴系扭转振动的危害(1)推力轴、中间轴、螺旋桨轴、尾轴以及凸轮轴的折断;(2)减速齿轮间撞击、齿面点蚀及断裂;(3)联轴器连轴螺栓切断、橡胶联轴器的撕裂;(4)发动机零部件磨损加快;(5)柴油机发动机组输出不允许的电压波动;(6)出现扭转纵向藕合振动;产生继发性激励，从而激励起柴油机机架、齿轮箱、双层底及船体的振动，并使噪声加剧。49第二章 轴系扭转振动的当量计算2.1 轴系扭转振动模型建立 常规的推进轴系扭转振动计算中,大多采用集总参数模型.此模型有三种基本
21、元件组成:刚性匀质圆盘元件,无惯量阻尼元件,无惯量扭转弹簧元件.现在,也采用集总参数元件与分布参数元件相结合的模型. 在柴油机的轴系扭转振动中的具体计算方法是:(1) 柴油机的每一个气缸的运动部件(包括单位曲柄.连杆.活塞组件)简化成一个匀质圆盘元件,该元件放在曲轴轴线的气缸位置.对于多列柴油机.则将在同一排上气缸的运动部件合并成为一个匀质圆盘,各缸圆盘元件之间的连接弹簧元件刚度等于单位曲柄刚度. (2) 传动齿轮，齿轮，飞轮，推力盘，螺旋桨，发电机转子，干摩擦片离合器都作为绝对刚体简化为匀质圆盘元件,该元件方在各部件重心或几何中心位置. (3) 中间轴.艉轴和螺旋桨轴的转动惯量按需要适当等分
22、后简化为若干匀质圆盘元件,通常是等距离地排列在轴中心线上，各元件之间的连接弹簧刚度等于它们之间轴段的刚度。对于尾机型短轴系，一根轴的转动惯量转化为两个圆盘元件，分别放在两端法兰端面位置即可。对于中机型长轴系，一根轴的转动惯量适当细分为两个以上的圆元件，这有助于绘制更精确的振型图。 现在，也常将中间轴，尾轴和螺旋桨轴按自然分段为等截面均质轴段元件，这样可使简化模型更接近实际系统，同时又不使计算分析过于复杂。 推进轴系扭转振动的简化模型也称为当量系统。在计算时，应对系统各元件编号。编号一般都从柴油机自由端开始，最后到达螺旋浆。2.2 转动惯量与扭转刚度计算2.2.1 转动惯量推进轴系作扭转振动时，
23、其运动部件基本上可分为两大类：旋转运动和往复运动件。后者主要包括柴油机活塞组件以及连杆小端。2.2.1.1旋转运动的转动惯量 物体绕某一轴旋转时的转动惯量 （2-1）式中dm-物体上任意微元的质量（kg）； r-该微元至旋转轴的距离(m); m-物体总质量(kg); R-物体对旋转轴的惯性半径(m)；具有规则几何形状的物体，它们绕过重心轴转动惯量或惯性半径，一般都可以查表求得。应用平行移轴原理，即可求得物体绕任一与过重心轴平行的轴旋转时的转动惯量I，即 I=I0+mH2 式中 I0-物体饶过重心轴旋转的转动惯量(kg.m2) H-任意旋转轴与过重心轴的平行距离(m);在工程中，某些旋转件如飞轮
24、、螺旋桨和发电机转子等的转动惯量习惯上多用GD2(kg.m2)表示，它与转动惯量I的关系为I=GD2/4 (kg.m2)为了方便，下面给出了几种常见的简单规则形状物体转动惯量的计算公式。（1） 同心圆轴的转动惯量 （2-2）式中 -材料的密度（kg/m） D、d-分别为轴的外径和内径； L-轴的长度；这是转动惯量计算的基本公式，许多形状复杂的物体，通常可视为有若干空心轴（或圆柱体）组成。（2） 圆锥台的转动惯量 （2-3）式中D，d分别为圆锥台大小端直径（m）。其余符号意义相同。2.2.2 扭振刚度计算2.2.2.1 轴段弹性参数的表示设一等截面、长度为L的轴段，当两端受扭矩M作用时，轴段被扭
25、转某一角度，由材料力学可知=M L/(G Ip)=M/(G Ip/ L) (rad) （2-4）式中 G-轴段材料剪切弹性模数，刚G=8.14933E10(N/m2),球墨铸铁G=6.76659E10(N/m2) Ip-轴段截面极惯性矩（m4）式中，G Ip/ L称为轴段刚度，常以k表示，它等于轴段被扭转一单位角度所需的扭矩，其单位为N.m/rad.刚度的倒数L/GIp称为轴段扭转柔度，常以e表示。它等于单位扭矩作用下轴段的扭转的变形角，其单位为rad/N.m.可以看出在弹性范围内决定轴段刚度和柔度的三个参数G,Ip，L都是轴段的扭转参数。因此，对于 一根具体的轴来说，刚度或柔度可视为不随运转
26、条件变化的定值。2.3 实际轴段的刚度（1） 直圆轴 外径为D 、内径为 d 、长度为 L 的直圆轴的扭转刚度 （N.m/rad） （2-5）（2） 阶梯圆轴阶梯圆轴可视为不同的直径轴段的串联，一般当过渡圆角较大，相邻两轴段直径变化不大时，可以按式k=M/计算其刚度。如果两轴段直径相差较大，由于直径的突然变化，使过渡处的应力不能立即均匀地分布到材料中去，在大截面上有一部分材料不能参与传递扭矩，其实际效果是过渡部分粗轴的刚度减小。具体的方法是使细轴增加一段长度L ，粗轴部分则减少一段长度L。L 的大小与直径比D2/D1弧半径r有关，可以用经验曲线求得。 对于轴端的连接法与推力轴上的推力环，一般也
27、按阶梯轴处理，但当法兰与推力环的厚度t0.2D1大可认为对轴的刚度不产生影响，仍按直轴处理。（3） 单位曲柄单位曲柄在扭矩作用下的变形计算十分复杂，受到众多因素的影响。实测单位曲柄或整根曲柄的刚度值也许是理想的方法，但受到设备条件的限制。半经验公式很多，大都是某一种类型曲柄在一定条件下进行试验而形成的，其应用范围有一定的局限性，其中很多还是四十年代，三十年代，甚至更早时期的研究成果。对于船用柴油机，目前的趋势是由主机制造厂提供该机有关扭振的动力学参数，其中也包括曲柄刚度，这些数据多经过直接或间接实测修正，一般是比较正确的。 当然在设计阶段或无确切资料时，仍需半经验公式估算单位曲柄刚度。下面介绍
28、几个常见的计算公式。这些公式都包含三项，分别对应于主轴颈，曲柄销和曲臂的刚度。（1） 我国船检局公式 （N。m/rad） (2-6)式中 b系数，曲柄销与主轴颈有重叠度时，b=0.7；无重叠时，b=0.8（2）3HMaHEHKO公式 (2-7)(3)Ker Wilson公式 (2-8)第三章 自由振动计算3.1 自由振动运动方程式下图所示的扭振系统中，任一圆盘元件的无阻尼自由振动方程式为 （i=1，2，,n） (3-1)式中 Ii圆盘的转动惯量ki 圆盘Ii与Ii+1间连接弹性元件的扭振刚度；分别为圆盘Ii的扭振角位移和角加速度。图3-1 圆盘原件图这是一组二阶线性微分方程式。可用矩阵形式简化
29、表示为式中 I惯量矩阵，为n阶对角阵，即K刚度矩阵，为n阶对角阵。通常是稀疏带状阵，即 (3-2)对单支系统，矩阵带宽为3；，分别为角位移和角加速度列矢量，其中 如设式的解为 (3-3)式中 A角位移幅值列矢量n自由振动角频率。代入方程，得 (3-4)由上式可求解和A是大家熟悉的特征值和特征矢量问题。特征方程的求解有许多成熟的方法，这里就不一一介绍了。针对轴系扭转振动分析计算的历史和现状，下面介绍Holzer法和在它基础上发展而成的传递矩阵法。3.2 Holzer法Holzer法是轴系扭转振动固有频率和振型计算的传统方法，它还可用与计算振动响应。Holzer法和更一般化的传递矩阵法实质上是一种
30、试凑法，它先假设一个试算频率，经不断试算与搜索，直到获得固有频率，同时得到固有振型。3.2.1 Holzer递推式与频率方程式首先考虑单支（柴油机到螺旋桨）扭转系统（忽略阻尼）以角频率作简谐振动时的情况，令i=Aisin(t)(i=1,2,3n),对圆盘I1，有 K1（A2-A1）=- I12A1，可得 A2= A1- I12A1/K1对圆盘I2，有 K2（A3- A2）=- I22A2可得 A3= A2-（I12A1+ I22A2）/ K2依次类推，可得递推通式为 （3-5）当系统作自由振动时，系统惯性力矩之和必等于零，即 （3-6）这是扭振频率方程式的又一种形式。3.2.2 计算步骤1选取
31、初始试算频率0，设圆盘I1的扭振角位移幅值A1=12按式（3-5）依次计算A2、A3、An3计算系统惯性力矩总和（亦称剩余力矩，用R表示） 检查该值是否等于零或小于某一预定值，以此判断试算频率是否为系统固有频率。 4如果该试算频率不能满足式（3-6），则按步长或变步长频率增量，选取另一试算频率1=0+，并重复上述过程，可得剩余力矩R（2）与试算频率2的关系曲线，如下图所示图3-2 剩余力矩与计算频率关系图5当相邻两次计算所得剩余力矩值为异号时，该两次试算频率之间必有一个固有频率，可用插值法按要求精度搜索求得，其时得A1=1、A2、A3An就构成相应的固有振型。 3.2.3 计算频率的选取 采用
32、Holzer试凑法进行自由振动计算时，应注意试算频率值的选取以便使计算迅速收敛到固有频率。第一次试算频率值可根据轴系特点灵活选择。通常是系统简化为双质量或三质量系统，以其固有频率作初始试算值。双质量系统固有频率的计算式为 (3-7)三质量系统固有频率的计算式为 (3-8)第一次试算后，第二次以及接下来的试算频率可按某一给定的频率增量等步长逐次计算，直到两次试算得到的剩余力矩为异号时，再用插值法逼近固有频率。这一方法目前用得颇为广泛。由于事先并不知道系统相继两个固有频率的间隔，频率增量如选得太大，可能要漏根，如选得太小，试算次数将大为增加。3.2.4 计算精度 Holzer法求得的固有频率只是一
33、个近似值，对于任意要求的精度均可经过多次插值达到，实用中计算精度要求常用以下两个判别式予以规定。 (3-9)式中:a, b-具有异号剩余力矩的两相邻试算频率； -预先规定得小数，一般可取0.001。 (3-10)式中 R（2）-剩余力矩 -系统第n-1轴段弹性力矩； n-系统惯性圆盘数。3.3 传递矩阵法3.3.1 基本概念传递矩阵法把系统分割为一系列具有简单力学特性的元件（两端、三端或多端元件），振动时系统的状态可用各元件的端点状态矢量表示。各个元件两端点间的状态矢量的关系即各元件的动力特性，用该元件的传递矩阵表示。利用个元件的传递矩阵及系统的边界条件，可求得系统的振动特性。本方法系扭振中H
34、olzer法和梁的弯曲振动中的Myklestad法发展来的。它十分使用于像轴系扭振系统这样的链式系统。由于它具有简单、灵活、易于编程、对计算机内存要求不高、花费机时较短等优点，是轴系振动分析的基本方法，并得到广泛的应用。3.3.2 状态矢量系统扭振时的特征可用元件端点的状态矢量表示。元件端点状态矢量是该端点的状态参数（相互有关系的角位移和力矩）所构成的列阵，其定义为 (3-11) 式中 Zi-端点i的状态矢量； Ai-端点i的扭转角位移幅值； Mi-端点i的扭矩幅值。为简便计，状态矢量有时 还加一上标（L或R），这时下标i表示元件顺序号，上标L表示左端，上标R表示右端。3.3.3 元件的传递矩
35、阵 1.惯性元件（匀质圆盘元件） 简谐扭振时，匀质圆盘元件左右端的角位移与扭矩有以下关系： AR=ML MR=ML-ALI2其矩阵形式为 (3-12)故惯性元件的传递矩阵 (3-13) 式中 -简谐振动圆频率； I-匀质圆盘元件极转动惯量。2.弹性元件（无质量转动弹簧元件）简谐振动时，无质量扭转弹簧左右端的角位移与扭矩有以下关系： AR= AL+ ML/K MR= ML其矩阵表达式为 (3-14)可得其传递矩阵 (3-15)式中 k-弹性元件刚度。3.3.4 计算步骤 为使以下阐述具有普遍意义，假设系统是一个具有任意分支的多级分支系统。 所谓多级分支系统是指分支上再有分支系统。在分支系统中可首
36、先选定一个主支，对于船舶推进轴系，通常选定主机螺旋桨为主支。我们定义：与主支上分支点元件连接的分支称级分支，与级分支上分支电元件相连接的分支称级分支，依次类推直到B级分支。在船舶推进轴系中，所有边界都是自由端。这样，每出现一个分支，将增加一个自由端，因此，包括个分支的系统，将有个边界条件。下面讨论具有级分支的多级分支系统无阻尼固有频率计算步骤。.支、元件和端点编号 支的编号从级支开始，依，级支顺序进行，主支编号在后。 元件编号按编号顺序，从支的自由端算起，分支点元件编在低级支内。 端点编号顺序，从自由端算起。.给出某一试算频率值.分支的处理在扭转振动模型中，分支点元件通常都是惯性元件，这是一个
37、多端元件。其中两端与主支或低级分支相连，其余端点则和高级分支相连。设分支由个元件组成，并从自由端起依次编号、，各元件端点状态矢量与传递矩阵的关系为： R R. R-.令 . 式中称为第个元件的累积矩阵，它等于第个元件到第一个元件传递矩阵依次右乘之积。称为分支的累积矩阵。分支始端和末端的状态矢量关系可表示为 (3-15)展开后得 （3-16）它称为分支的传递方程。因分支始端为自由端，R，则得 （3-17）R是分支作用在分支点元件上的扭矩。由上述两式可以看出，分支对的作用如同一线性扭转弹簧，弹簧的等效扭转刚度为，弹簧的另一端是固定端。再看分支点元件I的传递矩阵。已知 RRM即 （3-18）于是得到
38、分支点元件的传递矩阵为IB= （3-19）可见，分支对分支点元件的效应如同使该元件的转动惯量减小，即 （3-20）由此可得对分支的处理方法是：从第一支开始，计算每一分支的累积矩阵，从而可计算出分支的等效扭转刚度，再修正它所连接的分支点的转动惯量。如此逐支处理，使分支系统最后化为单支系统，即主支等效系统。4计算主支等效系统的累计矩阵主支左右两端的状态矢量有以下关系 （3-21）式中m，n分别为主支左右两端元件的顺序号。已知，则系统的剩余力矩R为： （3-22）式中为系统主支左端角位移幅值，一般取=1。如果剩余力矩R等于零或小于某一预定小数，则该试算频率为系统固有频率，否则应重选试算频率，重复上述
39、步骤。求出固有频率后，令=1，即可求出系统各元件端点的状态矢量，得到系统相应振型。在分支和主支累计矩阵的实际计算中，考虑到始端边界条件总是自由端，其状态矢量中扭振分量总等于零，则 （3-22）在按上式求各元件或支的累计矩阵得连乘过程中，只需计算一刻，这样可使计算工作量减少一半。3.3.5 扭振许用应力许用应力按照我国1976年钢质海船的建造规范修订本的规定，曲轴和螺旋桨的扭振许用应力。推力轴，中间轴，艉轴的扭振许用应力如表：曲轴、螺旋桨的扭振许用应力运转工况转速比围扭振许用应力（公斤/厘米2） 持 续 0r1.0 瞬 时 0r0.8 超 速 1.0r1.15表1 推力轴，中间轴，艉轴扭振许用应
40、力运转工况转速比围扭振许用应力（公斤/厘米2） 持 续 0r1.0 瞬 时 0r0.8 超 速 1.0r1.15表中 r=临界转速/额定转速第四章 轴系扭转振动的强迫振动计算4.1 用能量法求强迫振动的近似解利用能量法求多质量系统的强迫振动振幅值处于下列3个假定条件：（1）共振工况是稳定的，简谐干扰力矩输入系统的能量为各类阻尼所消耗（阻尼功Wc），既Wm=Wc。（2）共振工况下，与系统自振频率不等的各次简谐干扰力矩所引起的振幅远小于与系统自振频率相等的那次简谐干扰力矩激起的振幅值，因此计算时只考虑共振频率的那次干扰力矩作用，其它简谐的干扰力矩可忽略不计。（3）共振时，激起共振的干扰力矩频率与系统自由振动振型相似，各个集中质量的振幅呈线性比例。显然，上述（2），（3）两点假设与实际情况不符合。由于存在阻尼，使共振频率发生偏离，还使共振干扰工况下各质量的振幅产生相位差。其次，非共振干扰力矩对共振振型有一定影响，因此，用能量法求解只能是近似的。下面逐步探讨这种能量法的要点。一、 外干扰力矩及其功。对柴油机推进装置来说，输入振动系统的干扰主要是柴油机输入