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1、【标题】数学归纳法在解题中的应用 【作者】朱静 【关键词】数学归纳法猜想论证 【指导老师】彭祖明 【专业】数学教育 【正文】1引言数学归纳法是数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。唐子周在关于数学归纳法的一点探索中说明数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期1。吕孝亮也在关于数学归纳法的基础研究中提出数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方
2、法2。他提出严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察。递归推理的思想方法是指：它首先确定命对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然火速具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。意大利数学家皮亚诺于1889年在其著作算数原理新方法中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据。2数学归纳法的分类及理论基础数学归纳法是一种重要的论证方法，它在各个数学分支领域中都有极大的应用。它分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。第一数学归纳法内容为：
3、设有一个与正整数有关的命题，如果：验证时命题成立,这是归纳的基础，即递推的基础；假设时命题成立,这是归纳假设，根据假设证明 1时命题成立。那么对任意正整数，命题都成立。归纳奠基验证当取第一个值时命题成立，验证了这一步就为递推打下了基础，但是仅靠这一步还不能说明结论的普遍性，即使多验证几个数都是正确的，也不能保证对其他的数都正确，这就需要第二步归纳递推。假设时成立，证明当 1时也成立，证明了这一步，就获得了递推的依据。三个结论中的“成立”，“成立”，“也成立”，“都成立”的作用是不同的。第一个“成立”是在奠基过程中产生的，它说明验证过程对于取第一个数时命题是正确的，也就为归纳递推奠定了基础。第二
4、个“也成立”是假设成立。是对递推逻辑关系可以进行的肯定，说明递推证明是可以进行的，从而由假设命题推出命题。“也成立”是对递推可以进行的证明，其中一个“也”字，说明了前后两个命题之间的逻辑关系和依存关系。“都成立”是在概括归纳过程产生对比，是对前面三个“成立”的继承，同时也是对前面的三个“成立”的肯定。因此由四个“成立”的依存关系就证明了所要证明的命题。由此可以看出，命题和命题之间的逻辑关系和依存关系是数学归纳法的灵魂，是证明过程中的重点和难点。如果前一命题正确，但是却无法推出后一命题的正确性，则说明这两个命题之间不存在所谓的逻辑关系和依存关系。因而数学归纳法的证明过程实质上是证明前后两个命题的
5、逻辑关系和依存关系的正确性3。第二数学归纳法的内容是：当时，命题成立；假设当时命题成立，由此可推得当 1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数来说都成立。证明：(反证法)假设命题不是对一切自然数都成立。命表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然非空，于是，由最小数原理中必有最小数，那么 1，否则将与（1）矛盾。所以是一个自然数。但是中的最小数，所以能使命题成立。这就是说，命题对于一切小于等于自然数都成立，根据（2）可知，也能使命题成立，这与是使命题不成立的自然数集中的最小数矛盾。因此定理获证4。3应用3.1行列式中的应用在利用数学归纳法时,一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学
6、归纳法给出猜想的证明.除此以外,如果对于比较复杂的行列式,且与自然数有关,我们可以先求几个特殊的,然后通过特殊寻找一般的规律,找出通式,再用数学归纳法证明.例1证明：().分析：这是证明一个与自然数有关的行列式等式,可以考虑用数学归纳法.证明：令当时时,结论显然成立:，.现假定结论对小于等于时成立.即有，.将按第1列展开,得：-故当对时,等式也成立.证毕.3.2在数列题中的应用由于数列与自然数有直接的联系,因而,在数列问题的证明中常常用到数学归纳法的方法进行证明5。例2已知数列的通项公式，数列的通项满足，用数学归纳法证明：。证明：(1)当时,成立；(2)假设时，,则即时命题成立。由(1),(2
7、)得。例3数列满足，是自然数，试用和表示。解：因为，猜想证明：(1)当时，等式成立，(2)假设当，等式成立，即：则当时=由此可知，=，即当时命题也成立。根据数学归纳法第一步与第二步可知，等式对一切成立。3.3在整除问题中的应用运用数学归纳法来证明整除问题，在从()过渡到(+1)时,一般的“变形”是将(+1)变化表示(+1)=()()+()的形式(必须变为这种形式,才能利用归纳假设),由归纳假设()()能被整除,关键是()也能被整除6。例4证明能被整除。证明：1）=1时，=能被整除。2）假设=时，能被整除。则当时，由于能被整除，能整除，所以36（6+3+3）-33（3+3）能整除。即当=+1时命
8、题也成立。根据数学归纳法第一步与第二步可知，等式对一切成立。例5用数学归纳法证明是的倍数。证明(1)当时原命题成立。(2)假设当()时,原命题成立,即(是整数)。当=时，=由归纳假设知是的倍数,(这里一定要用归纳假设),又也是的倍数。时,原命题成立。由(1)和(2)知,对任意自然数,原命题成立。3.4几何问题中的应用用数学归纳法证明几何问题的关键是:由“时命题成立”,到“时命题成立”。应理解为由个几何元素又增加了一个元素到个,要找出增加的元素与原来的个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化,找到()与()的关系7。例6平面上有条直线,其没有两条平行,也没有三条直线交于一点,求证这条直线共有个交
9、点。证明：(1)当时,命题成立；(2)假设当时,命题成立。即条直线有个交点。当时,增加了一条直线,由于没有两条直线平行,也没有三条直线相交于一点,所以新增加的直线与原来条直线各有一个交点,就是比=条直线时增加了个交点,即就是当时,命题也成立。由(1)和(2)知,对任意自然数,命题都成立例7平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这个圆把平面分成个部分。证明：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，命题成立。（2）假设当时命题成立，即个圆把平面分成个部分。时，这个圆中的个圆把平面分成个部分，第个圆被前个圆分成条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了个部分
10、，即个圆把平面分成即命题也成立。根据数学归纳法第一步与第二步可知，等式对一切成立。3.5在与自然数有关的等式中的应用例8证明证明：（1）时，左边，右边，等式成立。（2）假设时，等式成立。即则当时，左边等式的左边右边，故等式成立。即当时命题也成立。根据数学归纳法第一步与第二步可知，等式对一切成立8。3.6不等式证明中的应用用数学归纳法证明有关不等式的命题,关键是“一凑一证”,“假设当时命题成立,证明当时命题也成立”这一步。以下就此举例予以说明9。例9求证:若,当时,有证明:当时原不等式成立。假设当时,原不等式成立,即有设则从而有即当时,原不等式也成立。故由此可知,当是不小于的任意自然数时,原不等
11、式都成立。例10求证:若,当时,有证明:当时，时原不等式成立。假设时,原不等式成立,即有。当时,原式左边。因此,欲证当时原不等式成立,只需证,即,显然成立。于是当时,原不等式成立。由此可知,对任意大于1的自然数,原不等式都成立。例11求证:,。证明:（1）当时,不等式显然成立。（2）当时,命题成立,则有要证时命题也成立,即在不等式的两边分别加上,就凑好了不等式的左边,可得。接下来只需证因为式左边有项,且最小,因此,这就证明了式成立。故由此可知,对于任意自然数原不等式恒成立。例12求证：,则证明： 1）当时,等号成立;2）当时,时命题成立。假设时,命题成立,即有当时,要证。在式两边同乘以,有。问
12、题转化为证,整理可得成立。时命题也成立。故由此可知,对于任意自然数原不等式恒成立。3.7数学归纳法解决物理问题数学归纳法在解决物理问题中的应用实际上就是逐步分析,找出一般规律,从而解决物理问题.下面通过例题说明数学归纳法解决物理问题的一般方法10.例13如图1,个动滑轮组成一个复式滑轮组,每一个滑轮质量为,第一个滑轮吊起一个重为的物体,试求最末一级滑轮上需要多大的力.图1解析:如图1,设各个动滑轮间拉力分别为、.,则有:.我们注意到:、依次可写成、,所以得出 F.从本题看出:归纳法要注意逐步分析前几项,至少3项,注意观察规律,从而定出一般表达式。4运用数学归纳法解题的常见错误数学归纳法是一种重
13、要的数学方法，凡涉及自然数的命题均可考虑使用。此法渗透到数学的各个部分，在使用时，常出现以下几种问题11。4.1不懂原理，以偏概全因不了解数学归纳法的原理与作用，在证明中常认为只要多验证几个的取值便可，如先验证时都成立，由此得出对任何命题都成立。4.2审题不清，盲目下手从理论上讲数学归纳法的两个步骤同等重要，缺一不可，但在解题实践中，显然第二步是难点，特别由过渡到时，常常由于审题不清而出错。例14用数学归纳法证明,错证：（1）当时，显然成立。（2）假设时，命题成立，即当时，所以时命题也成立。（分析）本题错在没有弄清楚由过渡到时等式两边究竟发生了怎样的变化。下面给出正确的证明过程。证明：（1）当
14、时，显然成立。（2）假设时，命题成立，即当时，.所以时命题成立。有（1）（2）可得命题成立。4.3避重就轻，瞒天过海例15证明错证：（1）当时，显然成立.（2）假设时，等式成立，即当时，有分析：问题出在由成立去证明也成立时，没有证明的过程，给人糊弄过关之嫌。4.4未用假设，劳而无功例16用数学归纳法证明能被整除，错证：（1）当时，显然成立.（2）假设时，等式成立，即能被整除.当时，由于，是三个连续整数，其中必有一个是的倍数，也必有一个是的倍数。则能被6整除.故命题也成立。分析:本题错在未用归纳假设，看似正确，但是与题目要求不符，不是用数学归纳法证明的。5总结对于数学归纳法的深入研究，重在运用它
15、去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用。例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明。本文主要从理论和算法研究了数学归纳法在解题中的应用问题，其中内容有：（1）介绍数学归纳法的分类：第一数学归纳法和第二数学归纳法。（2）运用数学归纳法解决各种证明题，例如：几何证明、数列证明、不等式的证明和整除证明等。（3）数学归纳法在解决物理问题和计数问题的应用。（4）运用数学归纳法解题的常见错误。从中我们了解了数学归纳法的在解题中的应用很广泛，同时也有很强的灵活性。当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值。数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分。本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的运用,目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。