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1、多元函数的极值与最值的求法摘要： 在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别
2、多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.关键词:多元函数，极值，最值，方法、Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable FunctionAuthor：Chenlong Class: 2007-2 Mathematics and Applied MathematicsSupervisor: Hua
3、ng JunhuaAbstract In practical problems, we often encounter maximum and minimum problems of multivariable function. Both of them have a close relationship with maximum, minimum values. Similar to monad function, we can use the extremum of Function to seek the maximum and minimum value of function, b
4、ut due to the increased number of independent variable which make the issue more complicated. Usually, we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function. Here, the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way to solve the extremum of
5、duality function to the above. To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multiplier method to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4)
6、 Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum; (6)Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum. To calculate the most value of multivariable function, the
7、thesis takes several main ways as follow: (1) Elimination method (2) The mean value inequality method (3) Substitution method (4) Method of numerical and shaping combination (5) Cauchy inequality method (6) Vector method.Besides, a very important method we should take into consideration is to consid
8、er the relations of extremum and most value, using extremum method to calculate most values.Key words: multivariable function, extremum, the most value, method目 录引言 11 多元函数的极值的求法11.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值11.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值21.3 利用几何模型法求解极值31.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 5 1.5 利用参数方程求解条件极值11 1.6 利用方向导
9、数判别多元函数的极值12 1.7 用梯度法求极值152 多元函数最值的求法172.1 消元法182.2 均值不等式法182.3 换元法192.4 数形结合法 202.5 柯西不等式法212.6 向量法22 2.7 利用极值求最值23小结 25致谢 25参考文献 25玉林师范学院本科生毕业论文引言多元函数的极值及其求法是高等数学学习过程中的一大难点,主要原因有：（1）对拉格朗日乘数法中参数的困惑；（2）求可能极值点过程中繁琐的计算；（3）对极值存在的必要条件及其充分条件的理解.最值问题是中等数学中永恒的话题,也是每年高考必不可少的热门考点.因此,怎样求最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是
10、学生必须具备的解题技能.而在最值求解中,尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点.1 多元函数极值的求法1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值例1.1.1 求由方程, 所确定的函数的极值.解: 将方程两边分别对求偏导数 (1) (2)解出 , 令,求得=1, =-1将他们带入原方程得.下面考察函数在点（1，-1.6）及点（1，-1，-2）的邻域内取值情况.令= .由于, 所以原方程分别在点(1,-1,6)和（1，-1，-2）的邻域内确定函数.又方程（1）对x求偏导:,得，.方程（1）对y求偏导:,得.方程（2）对y求偏导:,得，
11、在点（1，-1,6）有，且A0，所以是极小值。综上所述, 知由方程在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数,是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数，是极小值.如把本题所给的方程化成 这是球面方程 ,半径,球心在点（1，-1,2），对于的一组值，有两个z与之对应，因此 ,从整体来看 ,该方程并不确定一个单值函数 ,从几何图形上看 ,z在(1,-1)取得极大值6与极小值-2是然显的 ,因为球面上最高点与最低点的坐标分别为(1,-1,6)与（1，-1，-2）.1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值例1.2.1 求函数在条件下的极值.解：本题是条件极值问题，用Lagrange
12、乘法，设函数为 解得 故得驻点 又 所以 故 是极小值点.极小值 1.3 用几何模型法求解极值本节利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的方法.1.3.1 z=f(x,y)在满足条件下的极值引理 设空间曲线的方程以的形式给出，是曲线上的一个点，则曲线在点M处的切线方程为由空间解析几何知方程组（1）表示一条空间曲线，在满足条件下的极值即为曲线： 上点P的坐标的极大值与极小值.如果曲线上处处都有切线，则z 坐标取极大值与极小值的点p处的切平面必平行于坐标面，亦即垂直于z轴。由（1）知的方程为，设其切向量为，则有，又,即定理 设函数,在,某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行列
13、式,则为在满足条件下的极值点的必要条件为.例1.3.1 求函数在附加条件下的极大值.解：因为,所以即 (1)又 (2)解得为，从而=由题意知的极大值为.例1.3.2 抛物面被平面原点到这椭圆的最长与最短距离.解：因为所以设目标函数为 (1)限制条件为 (2) (3)由(1)(2)(3)知即求在限制条件下的极值因为 所以 即 (4)由(1)(2)(3)解得由题意知最长距离为，最短距离为.1.3.2 在满足条件下的最值基本过程（1）在满足条件下的可能极值点。（2）求一元函数的最值。例1.3.3 求内接于椭球的体积最大的长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面.解：设内接于椭球且各个面平行于坐标面的
14、长方体在第一卦限的顶点坐标为则长方体的体积为V=8xyz且任意固定, 首先求(1) 满足条件时的极值点因为, , , ,由得得（3）由（2）（3）解得 则由 由解得 时， 最大，此时长方体在第一卦限的顶点坐标为.用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的计算， 同时对工科学生而言也比较容易理解.1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值1.4.1问题的提出设方程 (1)在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为,又设约束方程组为 (2)其中, 函数在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立.现在要求方程(1)给出的目标函数在约束方程
15、组(2)下的条件极值.利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数则目标函数具有条件极值的必要条件是: (3)有解.这就是说,若目标函数在点取得条件极值, 则 满足方程组(3).1.4.2问题的分析若方程组(3)有解,将代入(3)的前个方程的偏导函数中, 并用、表示点处的各偏导数值, 并以为未知数构造线性方程组: ( 4)显然方程组(4)有非零解,故方程组(4)的系数矩阵的秩, 其中由此可知方程组(3)的前个方程的所有解对应的函数矩阵也满足. 因此矩阵A的后列元素对应的函数矩阵是函数对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由函数的彼此独立性知,故所以, 目标函数具有条件极值的必要条件是.将
16、函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值矩阵, 进行如下初等变换: 将A的第1列乘以加到第2列; 将A的第1列乘以加到第3列,直至将A的第1列乘以加到第+1列,可得与A等价的矩阵 , 其中由隐函数存在定理知, 对方程所确定的隐函数, 有:故再将的第1列乘以得矩阵故, 且,1.4.3问题的解决因为函数矩阵的秩为, 故中必有一个m阶子式不恒为零. 不失一般性，可设的右上角的阶子式,其中而且中所有包含的个+1阶的加边行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知, 若由方程( 1)所确定的目标函数在点取得满足约束方程组(2)的条件极值, 则点必满足方程组(5) .综合以上, 可
17、得求方程(1)所确定的目标函数满足约束方程组(2)的条件极值的如下方法: 选定不恒为零的阶子式D,写出方程组(5),即, ; 解方程组(5)与方程组(2)及方程(1)的联立方程组; 对解出的可能的条件极值点加以判断.例1.4.1 求椭球面的内接最大长方体体积.解 设椭球面的内接长方体在第一卦限内的顶点为,则其体积为.现求方程所给出的目标函数在约束方程组下的条件极值.由 与，可得 与.解联立方程组可得由实际意义知,椭球面的内接最大长方体体积是存在的,而且求得唯一的可能条件极值点, 故点为所求条件极值点,所求内接最大长方体体积为.从以上讨论和计算可知, 对于目前函数是显函数的情形, 不必化为隐函数
18、,可直接计算.例1.4.2从斜边长为的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.解设直角三角形的两直角边边长分别为, 则周长且.现求目标函数在约束方程下的条件极值.由得,得,解联立方程组得由实际意义知,斜边为定长的直角三角形的最大周长是存在的,而且求得唯一的可能极值点, 故点为所求的条件极值点,因此所求直角三角形为等腰直角三角形, 两直角边均为.1.5 利用参数方程求解条件极值在求由参数方程所确定函数的极值点,会出现以下二例的情形.例1.5.1 设函数由确定,求函数的极值点.解 ,令得到,对应唯一驻点.当(左侧) (右侧),所以是函数的极大值点.注意,t=-1时不存在(函数有定义),t.由的
19、任意性, 是极大值.情形（2）同理可证.定理2 设函数在平面区域D上可微,曲线L完全属于D,且在曲线L上的一阶偏导数为零.如果在曲线L上各点的法线上,函数沿法线向外方向的方向导 数满足.(1) 在该弧段的邻近均为负,则函数在该弧段上取得弱极大值.(2) 在该弧段的邻近均为正,则函数在该弧段上取得弱极小值.证明 (1) 设为曲线L上某弧段内一点,又设s为过的任一曲线,点为s上某邻域内的任意一点.如果点在上,根据引理知=.如果点不在上,则点必在上某点的法线上,由假设知线段各点沿的方向导数为负,由引理知,函数在线段上单调减少所以 0 ,则 (当且仅当时等号成立) 。在实际中,经常使用的只是n = 2
20、 和n = 3 的情况。它的最大用途在于求最值。在将均值不等式应用于求最值时,要求比较高,可概括为:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必须都正数; (2) 这些正数的“和”或“积”是定值:当积为定值时,可以求和的最小值;当和为定值时,可以求积的最大值; (3) 这些正数必须相等。这三点缺一不可,否则,所求的最值是不可能正确的。均值不等式是解决多元函数求最值的行之有效的方法。只要满足了“一正、二定、三相等”的条件,就屡试不爽。但在具体解题时,因其技巧性较强,需要合理拆分项或恰当配凑因式,创设使用均值不等式的条件,因此,需要多做题,细揣摩,才能把握好。例2.2 已知x y 0 ,求的
21、最小值。解: =3当且仅当即时,.本题通过“恰当配凑”达到“积是定值”的条件,并且配凑后三个正数“会相等”。2.3 换元法所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变量去代替原来的部分(或全部) 变量或改造原来的式子,利用新元架起未知通向已知的桥梁。换元的实质是转化,目的是化繁为简、化生为熟,使问题易于解决,其关键是构造元和设元。换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能地用新元把分散的条件联系起来,把隐含的条件显露出来。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法和技巧,通过换元可以使复杂问题简单化,使一些看似“一筹莫展”的问题“柳暗花明”。 例2.3 设a
22、 , b , c 0 , 求的最小值。解:令则- 17 + 4即.由于给出的关于a 、b、c 的函数表达式比较繁杂,特别是分母,但通过本题的换元“强制性”地简化了分母,当把表达式整理成关于x 、y 、z 的解析式后,其结论水到渠成。另外,特别注意换元后的新元的取值范围不一定是任意的,题设条件或其自身将可能影响新元的范围,这正是很多使用换元法解题不正确的原因所在。2.4 数形结合法数形结合,就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面,一方面,许多数量关系的抽象概念和解析式,若赋予其几何意义,往往可以变得非常的直观、形象;另一方面,一些图形的属性又可以通
23、过数量关系的研究使得图形的性质更丰富、更精确、更深刻。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来。它兼有数的严谨与形的直观之长,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,是优化解题过程的重要途径之一。例2.4 设0 u 0 ,求的最小值。解:设,则，此时,P 的轨迹是,Q 的轨迹是,() ,在平面直角坐标系中做出动点P ,Q 的轨迹(如图) ,则,即| OQ| min = .,可得v = 3 。又| OP| = 2 ,| PQ| | OQ| - | OP| = .即当时, .数形结合解题时的一般方法是:第一步,先把已知条件与待求结论的代数式(或量) 都
24、化成形,第二步,观察图形,得到解题方法,进而得出结论。2.5 柯西不等式法柯西不等式:设;均是实数,则有 等号当且仅当(为常数, )时取得。柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙地运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。在使用时,往往要采取一些方法(如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等) 构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。例2.5 设,且,求u =的最小值。解:由柯西不等式可得,由及可得,，此时, .本题通过巧用常数“1”构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。2.6 向量法在求有些多元函数的最值时,恰当构造向量模型
25、,利用向量的坐标及内积,常可使复杂问题变得简单明了,使繁琐的解题显得巧妙与自然。例2.6 已知 ,求的最大值。解:由已知,可取点,设是圆 上任一点, 为原点,则，的最大值是.向量知识是新近出现在高中数学中的内容,对其在解题中的重要作用的认识和使用远未到位。向量的内积公式在求最值时非常管用,只要根据题设条件恰当地设出坐标,再利用向量的内积公式及余弦函数的有界性便可顺利求解。2.7 利用极值求最值定理1 若函数在上有唯一的极大（小）值点，则该点为最大（小）值点.则该点必为最大（小）值点.证明 先求的驻点，为此解方程组 （1）以下分三种情况进行讨论. 若方程组（1）无解，则无极值，从而无最值（因为在
26、上的最值比为极值）. 若方程组（1）有唯一解，则直线与不平行，所以，即（其中，若，则无极值也无最值；若，则在取极值，时取极小值,时取极大值,下证是的最值点.有泰劳公式知当且时，为正定二次型，恒有，是的最小值点；当且时，为负定二次型，恒有，是的最大值点. 若方程组（1）有无穷多组解，则，此时有无限多个驻点.对的任意一个驻点，由泰劳公式知 记,由于，所以秩.若秩，则，此时既无极值也无最值.若秩，则可通过变量变换，把化为二次型，这里P是一个二阶可逆矩阵，.当时，恒有；当时，恒有.所以每一个驻点都是极值点也是最值点.综上所述定理1的结论得证.从定理3的证明不难得出下述结论：推论1 函数，在区域D上的极
27、大（小）值必为最大（小）值.例2.7 求函数在的最值.解 函数有驻点，又,.所以是的极大值点，有推论1知是的最大值点.小结 多元函数极值与最值的求法种类可能还有很多，而且随着数学的发展，可能会更加丰富，更加有趣，此因本人能力有限，研究出了以上的方法.本文采取不同的形式论述各种求值方法.在论述简单的方法时，只是运用实例加以论述；比较难些的，引用定理，甚至推论，再辅以例题论述；对于更难的，采用更加详细的提出、分析、解决的步骤，使论述更加浅显易懂.在实际生活中，极值与最值的关系是非常紧密的，在此把求极值作为求最值的一种方法，来显现两者关系.致谢弹指一挥间，四年的大学生活过去了.在这四年中，我有幸得到
28、了玉林师范学院数计系各位老师的谆谆教诲，再一次体验了学习的辛苦与快乐.可以这么说，这四年是我学习工作倍感进步的四年.在此，我真诚地对以下各位表示谢意：感谢我的导师黄副教授.感谢诸多文献的作者！他们的研究成果给了我很多启发，有的已经成为论文重要部分.虽然论文已经完稿，然而对于这篇论文，我是不满多于自足，现仅将这个尽心尽力，同时还有待进一步完善的作品，献给以上给予我关心，支持和帮助的各位领导，老师和朋友们.参考文献1 王惠珍，等.二元函数极值的一种新判断方法J.高等教学研究，2000(1)：18-19.2 Chen Fulai,Liao Jiawu. Existence of Positive P
29、eriodic Solution to a Class of Neutral Delay Competition ModelJ.Ann of Diff Eqs,2006,22(1):13-20.3 Wang Haiqing. Periodic Solutions for Higher Order Delay Functional Differential Equation of Neutral Type with Linear Restoring Teams J. Ann of Diff Eqs,2006,22(1):62-684 刘炳文,黄立宏.一类n阶非线性常微分方程周期解的存在性J.数学
30、学报,2004(6):1133-1140.5 Lu Shiping.On the Existence of Positive Periodic Solutions for Neutral Functional Differential Equation with Multiple Deviating Arguments J.J Math Anal Appl,2003,280:321-333.6 周先锋,王晓佳.关于三元函数极值的探讨J.合肥学院学报,2008(2):12-19.7 T.M.菲赫 金哥尔茨.微积分教程(第一卷第二分册).人民教育出版社, 1956年.8 同济大学数学教研室主编.高等数学(第四版下册).高等教育出版社,1996 年.9 同济大学数学教研室主编 高等数学 第三版 高等教育出版社.10 山东大学数学教研室主偏 吉来多雄奇习趁集 山 东科学技术出版社.11 合肥工业大学.工科数学.1995年第1期.12 华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社.13 王全庆.求多元函数的一类方法A.大连民族学院学报，2004,6(3):61-66.25