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1、把概率和生活融合起来目 录摘要1关键词11 预备知识11.1概率的起源11.2随机事件21.3概率的定义21.4概率的若干定理22 生活中融合的概率问题32.1彩票中奖32.2体育比赛中的概率问题62.3抓阄的公平性72.4生日相同的概率82.5生活中融合概率的其它方面9参考文献10外文摘要11把概率和生活融合起来 摘要:概率是与日常生活、生产实践结合最紧密的一门学科.本篇论文介绍了概率联系日常生活中的一些随机现象，从生活中融合的概率问题谈起，揭示了相关概率问题的内在规律性，并探讨了概率知识在解决生活中实际问题中的一些应用。关键词：概率；随机现象；规律性 1 预备知识概率论同其他数学分支一样，
2、是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝多叶茂，硕果累累。正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”现在概率已经融合于生活的各个部分，它的每一步都凝结着数学家们的心血，正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天。下面我将对概率及其相关知识做简单的介绍。1.1概率的起源它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等
3、有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。据传，当时有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题:梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满三局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了两局，他的朋友赢了一局。这时候梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20金币，梅勒拿40金币.然而梅勒争执道:再掷一次色子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到30金币；但如果他赢了，就可以拿走全部的赌注.在下一次掷色子之前，他实际上
4、已经拥有了30金币，他还有50%的机会赢得另外30金币，所以，他应分得45金币。赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关的知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费尔马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题他们设想:如果继续赌下去，梅勒(设为甲)和他的朋友(设为乙)最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌两局即可分出胜负，这两局胜yo的情况有4种可能的结果（见右图）：前三种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜
5、所以赌注应按3:1的比例分配，即甲得45金币，乙得15金币.虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方式是对的。 （图1） 后来，惠更斯于1657年写成了论赌博中的计算一文，这是最早的概率论著作。同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性的游戏的分析发展上升为一个新的数学分支，概率逐渐演变成一门严谨的科学。1.2随机事件我们把在一定的条件下，对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验称为一个试验，如试验满足以下条件：（1）在相同的条件下可以重复进行；（2）试验的所有可能结果是预先知道的，且不止一个。（3）每做一
6、次试验总会出现可能结果中的一个，但在试验之前，不能预言会出现哪个结果。那么，就称这样的试验为随机试验，也常简称随机试验为试验。试验的每一个可能结果，称为基本事件，用或表示，若干基本事件复合而成的结果称为复杂事件，常A B C等表示，试验下必然会发生的结果称为必然事件，常用表示，必然不会出现的结果称为不可能事件，常用表示，上述事件统称为随机事件，简称事件，即1.3概率的定义概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性，它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一，概率往往有着一些不同的具体表现形式人们最开始接触到的是古典概率。
7、古典概率定义：在包含个等可能样本点的样本空间里，如果某一事件包含其中的个本点（每个样本点出现的可能性都是相等的），则事件发生的概率为： 比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚
8、至唯一手段。此外，还有概率的统计定义、几何定义及主观概率，这里不再一一祥述了。1.4概率的若干定理定理 1 (互补法则)与互补事件的概率始终是：定理 2 不可能事件的概率为零： 定理 3 如果若干事件 每两两之间是空集关系，那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和：注意针对这一定理有效性的决定因素是 事件不能同时发生。定理 4 (乘法法则) 事件 ， 同时发生的概率是：公式中的 是指在 条件下 发生的概率，又称作条件概率。定理 5 （全概率公式）设事件当且仅当互不相容的事件中的任一事件发生时才可能发生，已知事件的概率及事件在已发生的条件下的条件概率为，我们要计算事件发生的概率，这时，我
9、们有下面的公式： 这个公式叫做全概率公式，事件叫做关于事件的假设。2 生活中融合的概率问题概率融合于生活中的方方面面，比如人们买彩票，但是中奖的彩票却微乎其微这就，显示了小概率事件发生的几率之小。体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，抓阄的公平与否也需要概率来判定，一个班级同学中，有几个同学是生日相同的概率是多大呢，生活中许多问题都是用概率来指导和决策，减少错误与失败的。把概率与生活结合起来，才能更好的将概率为我们所用，发挥概率更好的作用，下面我将对上述生活中融合的概率问题做进一步分析。2.1彩票中奖生活中我们提到对彩票，人们都非常感兴趣，马上想到中大奖，一夜暴富，所以很多彩民愿意赌一把
10、，但是在现实中能够中奖的却是寥寥无几。下面我们通过几种常见的彩票，简单地探究一下中奖概率究竟有多大呢？我们依靠彩票来发家致富的梦想，是否容易实现呢？例1 一种福利彩票称为幸福35选7，即从中,01,02, ,35不重复的开出7个基本号码，一个特殊号码，中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率？表1 幸福35选7的中奖规则中奖级别中 奖 规 则一等奖7个基本号码全中二等奖中6个基本号码及特殊号码三等奖中6个基本号码四等奖中5个基本号码及特殊号码五等奖中5个基本号码六等奖中4个基本号码及特殊号码七等奖中4个基本号码或者中3个基本号码及特殊号码解 因为不重复的选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有
11、个样本点，要中奖应把抽取看成是在三种类型号码中抽取：7个基本号码； 1个特殊号码； 27个无用号码。若记为中第i等奖的概率，可得到各等奖的中奖概率如下： 若记为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可得：；这就说明：一百人中约有人中奖；而中一等奖的概率只有即二千万个人中约有人中奖。从计算结果中我们看到中奖的概率很低，而且中头奖的概率更是微乎其微。所以投资在彩票上很难赚钱。所以彩民要科学理智的对待买彩票这件事情，尽管将近看起来很高，但是中奖概率非常低，投资彩票回报率是很低的，彩民很难获得预期的效益。例2 幸运七星及足彩中奖概率。体彩“幸运七星”属于数字型玩法，即从共个号码中任选一个七位数号码组成
12、，每个号码均从共个数字中开出，“幸运七星”头奖的理论中奖概率为。足彩实际上也是一种数字组合型玩法，不过计算方法相对比较简单，场比赛均选“”可组合出：注单式号码，一等奖的中奖概率为。换句话说，每销售320万元的足彩，平均才可能诞生一个一等奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。2.2体育比赛中的概率问题体育比赛中利用概率求解的案例有许多，利用概率求解实际问题时，并不都是这么容易的，而许多概率的计算是富有技巧的。 例3 在斯诺克台球比赛中，我国运动员丁俊晖与国外运动员奥沙利文相遇，根据实际排名和以往的战绩统计，每赛一局丁俊晖胜的概率为0.45，奥沙利文胜的概率为0.55，若比赛可采用三局两胜制
13、，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对丁俊晖更有利？ 解（1）采用三局两胜制：设表示丁俊晖胜前两局，表示前两局中二人各胜一局，第三局丁俊晖胜，表示丁俊晖胜，则。而，由于与互斥，由加法公式得:（2）采用五局三胜制：设表示丁俊晖胜，表示前三局丁俊晖胜，表示前三局，丁俊晖胜两局，奥沙利文胜一局，第四局丁俊晖胜，表示前四局两人各胜两局，第五局丁俊晖胜，则而, 所以 由故采用三局两胜制对丁俊晖有利，但从公平性而言，因丁俊晖的概率为，奥沙利文的概率为，所以“五局三胜制”更公平、更合理。在实际比赛中，采用的是十九局十局胜制，更为公平、合理，结果是丁俊晖输了（斯诺克大赛中的比赛结果），如果采用三局两胜制，丁
14、俊晖就战胜了奥沙利文。例4 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为0.9和0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问中国队取得冠军的可能性有多大？解 根据上述形式，未完成的日美半决赛队中国冠军的影响很大，若日本队胜利，则中国队可有90%的希望夺冠，若美国队胜利，则中国队夺冠的希望只有40%。在日本队和美国队未比赛前，他们谁能取得决赛权，两种情况都必须考虑到。记“中国队得冠军”为事件,日本队胜美国队为事件,有美国队胜日本队为事件,，显然有，要么日本队胜，要
15、么美国队胜，二者必居其一，所以为一个划分，有全概率公式，这里,其中，是个条件概率.表示在日本队胜美国队的条件下中国队取得冠军的概率。由题意可知，；表示在美国队胜日本队的条件下，中国队取得冠军的概率，由题意可知，。综上所述，在日、美未决赛前，估计中国队取得冠军的概率为 2.3抓阄的公平性从古代流传下来的抓阄的方法一直被人们认为是一种比较公平的解决问题的方法，下面我们构造一个概率模型来说明它的公平性。 例5 一项耐力比赛，胜出的10人中有1人可以获得一次旅游的机会，组织者决定以抓阄的方式分配这一名额。采取一组10人抓阄，10张阄中只有一张写“有”，每个人都想争取到这次机会，你希望自己是第几个抓阄者
16、呢？有人说要先抓，否则写“有”的阄被别人抓到自己就没有机会了；有人说不急于先抓，如果前面的人没有抓“有”的阄，这时抓到“有”的机会会大一些。我们用概率的方法构造一个摸球模型来说明抓阄的问题的公平性。摸球模型袋中有1个红球和9个黄球，除颜色不同外，球的大小、形状、质量都相同。现在10依次摸球(不放回)，求红球被第个人摸到的概率？解 设“第个人摸到红球”， 显然，红球被第一个人摸到的概率为因为,于是红球被第二个人摸到的概率为同样，由 ,知道红球被第三个人摸到的概率为如此继续，类似可得:由此可见，其结果与无关，表明10个人无论摸球顺序如何，每个人摸到红球的机会相等。这说明10个人抓阄，无论先后，抓到
17、的机会是均等的 。类似的抽签问题也是一样的，他们都是公平的，先抽后抽都一样的概率，理解了抽签问题，在抽签时泰然处之，就没必要再抽签时争先恐后，或者畏首畏尾了。2.4生日相同的概率生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高，对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题。 例6 以1年365天计(不考虑闰年因素)，在某人群中至少要有两人的生日相同（可以不同年），那么需要多
18、少人呢?只要人数超过365人，就必然会有人的生日相同。但如果一个班有50个人，他们中间有人相同的概率是多少?分析：你可能会猜测，大概20%到30%吧.错，有97%的可能！我们来算一下，50个人可能的生日组合是50个人生日都不重复的组合是50个人生日全不相同的概率是50个人生日有重复的概率是通过计算我们可以很明显的看出当一个班的人数超过50人时，则出现相同生日的学生的可能性为0.97，几乎接近于1。另外，经过简单计算，我们也可以归纳出现相同生日（可以不同年）的概率情况，见表2表2 20-60人相同生日概率统计表（为人数，为概率）20304050600.4110.7110.8910.9700.99
19、4所以如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。这说明，面对一个貌似简单的概率问题时，如果我们主观臆断，有时可能与实际情况完全不同了。2.5生活中融合概率的其它方面日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一
20、种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上。这种概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。 因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的
21、利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不融合了概率知识。又如生活中休闲娱乐时，在扑克牌的游戏中，运用概率的计算进行出牌正是衡量玩牌者水平的重要标准。例如，一个玩牌者经过计算，认定出牌A比出牌B获胜的概率大，那么它会出牌A，尽管出牌A也有招致失败的风险。可见，当我们在概率的意义上进行判断和作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确。只是，我们总希望犯错误的概率小一些。因此，我们在生活和工作中，对生活中的事件要理性的分析、对待。如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都
22、会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。 上面列举了概率在实际问题中的几个简单应用，其实日常生活中到处都有概率的影子。作为一门独立的学科，概率的足迹已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见，总之，随着社会的发展,概率必将越来越显示出它巨大的威力。我们要尽可能地将课本上学习的理论与实际生活联系起来，更加全面地去理解概率,把概率和生活充分融合起来，从事物的表象看到本质，相信人类能够更好的“挖掘概率的潜能”，使之最大限度的
23、为人类服务。参考文献：1 雒志江：概率在生活中的应用，梁高等专科学校学报，2008(2):18-20。2 沈恒范：概率论与数理统计教程J，高等教育出版社，2003(4)：19。3 刘长波：生活中的概率问题距离，沈阳师范大学学报，2007(4)：531-533。4 张芳：概率的应用，山西财经大学学报，2007(1)：243。5 王东妹：概率在生活中的简单应用J，济南师范学院学报，2008(2)：535-534。6.张奠宙,过伯祥：数学方法论稿M，上海教育出版社，1999(2)：10。外文摘要：THE POROBAILITY AND LIVING TOGETHERAbstract：Probabil
24、ity and daily life, production practice most closely a discipline. This paper introduces probability related to the daily life of some random phenomenon, from the life of the fusion probability problems, revealing the relevant problems of probability regularity, and discusses the probability knowledge in solving real life problems of some application.Keywords：Probability; Random phenomenon; Regularity