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1、二次曲线方程的化简及应用二次曲线方程的化简及应用作 者：。0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是解析几何课程教学的一个难点.文献1给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献2-4利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献5和文献6从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献7借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献8和文献9分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法
2、，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献2的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用.1 预备知识1.1 定义定义1 在平面上,由二次方程 （*）所表示的曲线,叫做二次曲线. 定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.定义3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称
3、这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径.1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律二次曲线方程（*）在移轴公式下,其中表示平面内一点的旧坐标,表示点的新坐标, 表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:由此可知系数变化规律为：1）二次项系数不变；2）一次项系数变为,；3) 常数项变为.根据上述规律，通过计算可以得到：，,.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律二次曲线方程(*)在转轴公式下,其中, 为坐标轴的旋转角.二次曲线方程系数分别为：由此可知系数
4、变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：，2 二次曲线方程的化简方法2.1 参数法若（）为中心二次曲线，其中心为 则过的任一直线的参数方程为 将上式代入得：其中引理 设为中心二次曲线若定号：当时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为 当时，二次曲线为虚椭圆； 当时，二次曲线为点椭圆.若变号：当时，二次曲线为双曲线，方程可化简为 当时，二次曲线为两相交直线.例1 化简二次曲线方程.解 由于,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解 得 即二
5、次曲线的中心为坐标原点.设过中心的任一直线的参数方程为，其中t为参数将参数方程代入二次曲线的原方程得令当，即，当，即，故，即原方程化简为.2.2 不变量法引理 如果, 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为 ()其中，,为二次曲线特征方程的两个根. 如果, 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为如果,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为 其中，例2 (1) 化简.解 由题意可得所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为.即或. (2)解 由题意可得 所以二次曲线为中心二次曲线，而主方向特征方程为,即,所以故由不变量法可知二次曲线可化简为 (3) 解
6、 由题意可得 所以二次曲线为线心二次曲线,又 所以由不变量法可化简为 用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3坐标变换法2.3.1 利用系数的影响规律化简方程当时，二次曲线为中心二次曲线，其中心满足根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：其中由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当时，即（*）为非中心二次曲线,如果时，取转角满足， 使得 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简,并作出几
7、何草图.解 因,故曲线为中心二次曲线.解 得, 取(0,2)为坐标原点,作移轴根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 再作转轴消去交叉项,令，取 得作转轴 经转轴后曲线的方程化为：图形如下-3 -2 -11 2 34321图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法 对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为. 对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即
8、过顶点垂直与主直径的直线)为轴建立坐标系.则方程可化为.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为轴,任意垂直它的直线为轴建立坐标系.则方程可化为.例 4 化简,并做出草图.解 因为所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为取它为新坐标系的轴，再取任意垂直于此中心线的直线为新坐标系的轴，作坐标变换，这时的变换公式为解得代入已知方程，经过整理得.即或.图形如下 图2显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形.下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形.2.4 主要结果的证
9、明及应用2.4.1主要的定理及证明定理1 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换下方程总可以化简为:其中为中心坐标， 且, 是特征方程的特征根. 二次曲线为圆时,在坐标变换下方程总可以化简为其中为中心坐标.证明 将坐标变换公式代入二次曲线方程得到，经整理，系数变为:因为为二次曲线的中心,所以 .由于转角,且此时有 即方程最终可化为:又，根据根与系数的关系得是特征方程的两根，且.令则分别是二次曲线的特征根.由于是中心坐标,且 因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换下总可以化简为.当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为.定理1证毕.定理2 无心二次曲线在坐标变换下方程总可以化简为其中为二次曲线的
10、顶点，,且与同号.证明 将代入二次曲线方程（*）中，曲线方程可化简为:因为且与同号，可得将代入得 由于是顶点，故,所以因此无心曲线方程在坐标变换下总可以化简为定理2证毕.定理3 线心二次曲线在坐标变换下方程总可以化简为:其中，且与同号. 证明 将代入二次曲线方程曲线方程可化简为由于转角为.由定理2的证明过程可知由于代入可得 所以.因而线心曲线方程在坐标变换下总可以化简为2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线的简化方程并做出草图.解 因为,即二次曲线为中心二次曲线.由得中心坐标为由知，取，则又,故 .又因为即由定理1知而又是特征方程的两根，所以.所以曲线方程在坐标变换下可化简以为图形如下图3例
11、6 求二次曲线简化方程并做出草图.解 即曲线为无心曲线.由定理4知且与同号，故由得顶点坐标为因为，由定理2知即所以曲线的方程在坐标变换下可以化简为即或图形如下图4例7 化简并做出草图.解 由于,故为线心二次曲线.由定理3知 又由且与同号知所以曲线的方程在坐标变换下总可以化简为图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴
12、、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的
13、一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学. 参考文献1 吕林根,许子道.解析几何M.北京:高等教育出版社,1987.2 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法J.周口师专学报,1996,13(4):11-16.3 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程J.中学数学教学,1994,(4):24-25.4 苏婷.二次曲线方程化简J.陕西师范大学继续教育学报,2006,23:2
14、47-249.5 文开庭.二次曲线的一种化简方法J.毕节师专学报,1995,(2):66-71.6 林梦雷.二次曲线方程的化简J.漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.7 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法J.许昌师专学报,2001, 20(2):6-13.8 李永林,陈点波,孙维君.二次曲线方程的化简和位置的确定J.淄博学院学报,2001,3(3):5-8.9 李根友,二次曲线方程的化简和讨论J. 湖州师范学院学报,1990,S(1):29-34.10 廖民勋.二次曲线方程的化简及作图J.广西师院学报,1997,14(2):76-81.11 于中文.平面解析几何学习指导M.济南:山东教育出版社.1982:240-250.12 崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法J.曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87.第 18 页 (共 18 页)