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1、归纳与类比在中学数学教学中的应用目 录摘要 1ABSTRACT1第一章 绪论21.1前言21.2归纳与类比法的作用21.2.1归纳法的作用21.2.2类比法的作用2第二章归纳与类比法的定义及其特点22.1归纳法与类比法的定义.22.1.1归纳法的定义22.1.类比法的定义22.2归纳法与类比法的特点32.2.1归纳法的特点32.2.1类比法的特点3第三章 归纳与类比的例题33.1归纳与类比在代数中应用43.2归纳与类比在几何中应用53.3归纳与类比在函数中应用63.4归纳与类比的综合应用8第四章 结论9参考文献10致谢11归纳与类比在中学数学教学中的应用学生：指导教师：摘要：所谓数学归纳法，就
2、是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种常用的有效的思维方式. 类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的方法。关键词：归纳法；类比法；数学教学；特例；证明 SUMMARIZE AND ANALOGY IN MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS TEACHING APPLICATIONStudent: Guo Li Zhang Supervisor: Occurrence yuanABSTRACT : So-called mathematical induction, is from the spec
3、ial specific knowledge advances into general abstract know a way of thinking, it is of scientific discovery with a long effective way of thinking. The analogy method is based on two or two things in some properties on the same or similar, and introduced them in other attributes on the same or simila
4、rKey Word: Induction , The analogy method , Mathematics teaching Exceptions , Proof第一章 绪论1.1 前言归纳法和类比法是数学创新的基本方法。本文在给出归纳法和类比法定义及其特点的基础上分析了其在数学学科发展教学中的重要作用。并分别从归纳与类比在代数、几何、函数等例题中再逐步体会归纳与类比在数学教学中的应用.1.2归纳与类比法的作用1.2.1 归纳法的作用归纳法在数学上是证明与自然数n有关的命题的一种方法。它包括两个步骤：(1)验证当n取第一个自然数值n=n1(n1=1，2或其他常数)时，命题正确；(2)假设当
5、n取某一自然数k时命题正确，以此类推出当n=k+1时这个命题也正确。从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立。 1.2.2类比法的作用类比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间是经过了一个归纳和演绎程序的即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然
6、后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。所谓演绎就是。第二章归纳与类比法的定义及其特点2.1 归纳法与类比法的定义2.1.1 归纳法的定义从许多个别事例中获得一个较具概括性的规则。这种方法主要是从收集到的既有资料，加以抽丝剥茧地分析，最后得以做出一个概括性的结论。2.1.2 类比法的定义类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法，它是一种从特殊到特殊的推理方法，属于一种横向思维2.2归纳法与类比法的特点2.2.1归纳法的特点归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象,因而结论具有猜测的性质；归纳法的前提是单个事实、特殊情况,所
7、以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.2.2.2类比法的特点 类比法是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要作用。现在我先以归纳法为例简单的说明一下：多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢?应该从何处着手来研究这个问题呢?最容易下手的莫过于拿几个多面体来看,具体地数一数它们的面、顶点和棱，于是产生了下面的表:
8、多 面 体面数(F)顶点数(V)棱数(E)长 方 体6812三 棱 柱569五 棱 柱71015 三 棱 锥 446 五 棱 锥6610从分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论:.（2-1） 尽管这时还不能认为这个结论是正确的,但是它毕竟为我们提供一个研究的方向,即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形.在此就不证明了（这个很好的运用到了归纳法）第三章 归纳与类比的例题归纳与类比法在中学数学中应用十分广泛，代数几何函数中都有所用到。下面我将从这几方面的例题中逐一的介绍和论述。3.1 在代数中应用例1. 已知数列，。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。【
9、解】 （就讲其中的一种解法）：计算得S，S，S，S ， 猜测S (nN)。 （3-1-1） 当n1时，等式显然成立；假设当nk时等式成立，即S， （3-1-2）当nk1时，SS , （3-1-3）由此可知，当nk1时等式也成立。综上所述，等式对任何nN都成立。【注】 把要证的等式S作为目标，先通分使分母含有(2k3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k3）1。这样证明的过程简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法做出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论
10、不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 猜想 证明。例 2：计算下列式子的值 分析：以上式子是有理数的除法的运算，其中含有整数和分数的运算。首先我们先看第一个式子 这是整数相除，我们可以把它转化成分数计算，根据小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式，（运用到类比的方法：小学分数与初中有理数的除法） ，再看第二个式子这个式子是分数相除，我们把它与乘法进行比较把转化成 得出？=1，这是在上新课的时候用的方法即可以把看作得出有理数除法的法则。【解】： 在解的过程中，一定要注意进行类比的相同之处和不同之处转化为分数的要求是什么？分母不能为零和书写的要求 3.2 在几何
11、中的运用例 3： n个半圆的圆心在同一条直线上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证 当n=2时，由图(1)两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22当n=3时，由图(2)三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32由n=4时，由图(3)三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f(4)=16=42由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2用数学归纳法证明如下：证明：当n=2时，上面已证设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k
12、+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧由、可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中发现规律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)
13、例4：已知P是ABC所在平面外一点，已知PA、PB、PC两两垂直，PH平面ABC于H，求证：证明：连CH延长交AB于D PCPA，PCPB， PC平面PAB PCAB，又PH平面ABC PHAB AB平面PCH，PDAB又PAPB，由三角形面积公式有 ，又， 同理 3.3 在函数中的运用例 5 用数学归纳法证明等式：coscoscos.cos =证毕。这是一道往年的高考题，我们观察上式中的左边可以发现一定的规律，如单个式子归纳猜想出从而一步一步的进行代换，最后剩下和右边的式子相同。从而得到证明，在解此类题目的时候解题前的分析十分重要注意观察题目中的关系。运用以前学过的方法公示等计算。例 6：已
14、知函数，试求它的反函数以及反函数的定义域和值域。 (1-y)=y, （3-3-1） （3-3-2） （3-3-3）反函数的定义域为(0，1)，值域为yR解析：这道题主要运用类比的方法求反函数的定义域和值域，在学过反函数后我们都知道反函数和原函数的定义域和值域刚好相反，在解此类题时，我们只需求出原函数的定义域和值域那么反函数的定义域和值域就知道了。3.4 归纳与类比的综合运用例 7：如果空间有n个平面，其中任何3个平面至少有1个公共点，任何3个平面不共一条直线，任何4个平面不共有同一点，那么这n个平面能够把空间分成几个部分？分析：把问题“退”到“平面问题”任何3条直线不相交于同一点，那么这n条直
15、线能够把平面分成几个部分？分1条、2条、3条.直线的个别情况，运用归纳推理，有： k=1,f(1)=f(0)+1=1+1=2； （3-4-1） k=2,f(2)=f(1)+2=2+2=4； （3-4-2） k=3,f(3)=f(2)+3=4+3=7； （3-4-3）k=4,f(4)=f(3)+4=7+4=11； （3-4-4）推测：k=n,f(n)=f(n-1)+n. （3-4-5）将以上几个式子相加，得f(n)=f(0)+(1+2+3+4+n)=1+n(n+1)(nN). （3-4-6） 即平面内符合题意的n条直线将该平面分成1+n(n+1)个部分。第四章 结论通过以上几个例子我们可以简单的
16、了解到归纳与类比在中学中的应用十分广泛的，几乎可以在中学数学的所有内容中看到。本文结合实例，对数学归纳法进行了介绍和论述大量实践表明：解数学问题时，首先必须按照问题的要求确立一个解题目标，然后比较初始条件、中间状态、解题目标之间的差异，以此确定和控制解题方向，再进行推理运算，使差异逐步缩小，最终实现解题众所周知，数学归纳法与类比法是重要的证明方法，是数学教学中的一大难点，为了解决这一难点，可以将目标意识运用在数学归纳与类比法中。经过多年的探索和尝试,数学归纳与类比法在人类的各个领域内都有很大的贡献，是科学研究最基本的方法.参考文献【1】 黄寿钰归纳与类比在高中数学学习中的应用数学教学通讯，2
17、0 0 0，（ 1 1）【 1 】【2】 陈吉云，郭朋贵，蒋永红数学创新方法漫谈（二）归纳法与类比法高等函授学报(自然科学版)2006，（2） 【2】致谢值此论文完成之际,谨向关心、帮助、支持和鼓励我的老师致以最真诚的谢意和最衷心的祝福！在我们论文撰写之初，我拟定的论文提纲比较简单，论文思路不是很清晰。我的指导老师袁南桥教授，他渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解， 在百忙中抽出时间，帮助我修改论文提纲，理清论文思路，指出不足、提出建议，对我产生了深远的影响，使我终身受益.能够成为袁南桥老师的学生，乃人生一大幸事. 在此成文之际，谨向导师袁南桥教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝袁南桥老师及家人身体健康，生活幸福.11