数学建模论文-制动器试验台的控制方法与仿真.doc

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1、制动器试验台的控制方法与仿真摘要基于汽车控制器试验平台的工作原理与动力学特性，该文建立了制动器试验台的数学模型，得出了补偿电流与转速的函数关系并研究制动器试验台的控制方法。对问题1，利用等效转动惯量的物理定义，计算出车轮制动时的等效的转动惯量为52kg. m2。对问题2，推导出飞轮的转动惯量的计算公式，分别计算出3个飞轮的惯量为，进而可以组成以下8组机械惯量：10，40，70，100，130，160，190， ，应补偿的惯量为。 对问题3，建立电动机驱动电流依赖于瞬时转速的数学模型利用给出的数据计算出驱动电流为175A。对问题4，通过对可观测量数据的统计分析及连续模型的离散化，利用能量补偿原理

2、，对上述模型进行评价。对问题5，在此基础上，通过对各种影响因素的分析，设计出了一种计算机控制电流的算法，该算法通过计算机语言实现，反映了上一个时间段的顺时转速与后一时间段的电流关系，进一步利用经验数据对该方法实效性进行验证，并作出评价。对问题6，利用Matlab中的Simulink软件包进行仿真得出对应的响应曲线，并分析控制效果，给对控制器试验台控制方法的改进及建议。关键词：制动器试验台 动力学模型 转动惯量 能量补偿 计算机仿真与控制 1.问题的提出1.1汽车制动器的重要性随着人们生活水平的不断提高，汽车的拥有量越来越多，安全行驶至关重要。汽车的行车制动器联接在车轮上，作用是在行驶时使车辆减

3、速或者停止。重大交通事故往往与制动距离太长、紧急制动时发生侧滑等情况有关。因此制动器的设计成为车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在车辆设计阶段只能在专门的制动器试验台上对路试制动性进行模拟试验，以测试其各项性能指标，保证行车安全。1.2 试验台的工作原理模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。试验时只试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。通常制动试验台结构示意图如图1所示，基础底座系统主要是固定电动机、主轴和飞轮组等器件。试验台工作时，电动机为主轴和飞轮组提供转动扭矩，当主轴和飞

4、轮组的转速达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，达到设定的结束条件时称为一次制动。由于实际路测时的转动惯量不能精确地用机械惯量模拟试验，需要进行相应的补偿，方法是：首先把机械惯量设定为一个最接近于等效转动惯量的值，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则，达到与路试情况相当的效果。图1制动试验台结构示意图图中试验台各部分名称及对应编号：1、基础底座系统 2、直流调速系统 3、导向件 4、联轴器 5、 轴承器 6、锥轴 7、飞轮组 8、集流环 9、试件夹具系统 10、 尾座滑移系统 11、测力臂 12、飞轮装

5、卸系统 1.3 需解决的问题（1）设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。（2）飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？（3）建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.

6、0秒后车速为零，计算驱动电流。（4）对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。（5）按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。（6）第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。2.问题的分析制动器试验台的模拟试验是在车辆设计阶段利用制动器试验台来模拟路试。路试车辆的指定车轮在制

7、动时承受的载荷，车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量。由于等效的转动惯量不能精确地用机械惯量模拟试验，因此让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。这里的主要工作是建立电动机驱动电流数学模型，设计驱动电流控制方法，并对该方法进行评价和改进。（1）对问题1的分析根据质量连续分布刚体转动惯量的定义和已知条件分析车轮制动时的等效的转动惯量。（2）对问题2的分析。建立飞轮模型，根据飞轮的转动惯量与其密度、厚度、内外半径的关系，分析单个飞轮的转动惯量，与基础惯量排列组合得到几种不同的机械惯量，最后把机械惯量设定为一个最接近等效惯量的值，

8、不足的惯量由电流驱动电动机补偿。（3）对问题3的分析根据质量连续分布刚体的定轴转动定律推导驱动扭矩、补偿电惯量和角加速度的关系，由已知条件中驱动电流与驱动扭矩的正比关系，得出驱动电流和角加速度或转速的函数关系。进而得到驱动电流和可观测到的转速的数学模型。（4）对问题4的分析将连续模型离散化，通过对路试制动过程所消耗的能量与试验台上根据附表数据得到所消耗的能量的差值进行比较，从而通过能量的误差对该问题进行评价。（5）对问题5的分析由问题3建立的数学模型，可以通过编程或Simulink设计仿真驱动电流的计算机控制方法。（6）对问题6的分析对问题5中控制方法的不足之处进行改进，重新设计出一个更完善的

9、计算机控制方法。3.模型的假设（1）试验台的制动器是在理想的情况下进行试验的。（2）路试时轮胎与地面的摩擦力无穷大，即轮胎与地面无滑动。（3）模拟试验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。（4）制动器在制动时所产生的动力恒定，即制动时减速度为常数。（5）在制动器开始制动时，电动机拖动的主轴和飞轮已经达到与设定的车速相当的转速。（6）不考虑观察误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。4.模型的建立与求解4.1问题1的分析与求解 根据刚体的转动惯量的定义和已知条件就可以求出车轮制动时的等效的转动惯量假设试验过程中等效的转动惯量是,飞轮转动惯量是,基础惯量是,机械惯量是，补偿惯量是,车轮的滚动

10、半径是r，制动时承受的载荷是W，重力加速度g（取值9.8 m/ s2）。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，其定义式如下： 上式中 刚体中每个质点的质量， 质点离垂直轴的距离由于刚体的质量可以认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式： 本题把整个车轮看作质量连续分布的刚体，模型如图2所示，由上式得到车轮的等效转动惯量： 已知制动时承受的载荷W、重力加速度g与质量m的关系，并由式得到等效的转动惯量： 代入已知的r与W的值得到等效的转动惯量： 图2车轮模型受力图4.2问题2的分析与求解 根据飞轮的转动惯量与其密度、厚度、内外半径的关系，可以求出各个单个飞轮的惯量，在根据排列组合可得到

11、3个飞轮的8种机械惯量，最后把机械惯量设定为一个最接近等效惯量的值，不足的惯量由电动机补偿。已知飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m和0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10kgm2。飞轮模型如图3所示，假设飞轮内半径是，外半径是，厚度是d，钢材密度是，飞轮体积是v，转动惯量是J，飞轮在XY平面上任一点是（x，y），则有： 本题把飞轮也看作质量连续分布的刚体，由式得到飞轮的转动惯量： 化简上式得到飞轮的转动惯量： 分别将题中三个飞轮的参数代入上式可得三个飞轮的单个转动惯量分别为： 由于试验台的基础惯量

12、为，则可以组成10，40，70，130，100，160，190，220kgm2的8种数值的机械惯量。问题1中得到的等效转动惯量为52kgm2，不能精确地通过试 验台组成的机械惯量表示，所以需要进行补偿。电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2 ，在误差最小的原则下应选取与等效转动惯量最接近的一个机械惯量40 kgm2 ，因此电动机需要补偿的惯量是: 图3飞轮模型图4.3问题3的分析与求解 根据刚体的定轴转动定律可以知道驱动扭矩与补偿电惯量和角加速度的关系，又由已知条件可知驱动电流与驱动扭矩的正比关系，可以得出电流和加速度或转速的函数关系。从而得到驱动电流和可观测到的转速的

13、数学模型。由于等效的转动惯量不能精确地用机械惯量模拟试验，因此让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。本题中假设试验台采用的电动机的驱动电流I与其产生的扭矩成正比，其比例系数k为1.5 A/Nm，飞轮组转速为n，线速度为，角速度为，角加速度为，制动扭矩为，首先对实验台整个转动部分分析，根据刚体的定轴转动定律可知旋转刚体的总外力（扭）矩：如图4 其中： 刚体中每个质点的质量， 质点离垂直轴的距离由式可知也是质量连续分布刚体的转动惯量J，因此式写成： 又因为角加速度与角速度有以下关系： 由式可以得出： 图4刚体质点受力图 根据机械力学原理，飞轮组旋转的总外扭矩有（

14、如图5）：上式中驱动扭矩 制动力矩在制动试验过程中，等效的转动惯量需要机械惯量和补偿惯量共同完成，而补偿的那部分惯量是由电流驱动电动机实现，此时相当于只有电动机的驱动，因此，飞轮组旋转的总外扭矩只有驱动电流产生的扭矩，则有： 图5 飞轮扭矩分析图已知试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比,比例系数为k ，则有： 又有线速度与角速度的关系： 角速度与转速n的关系： 利用式、和 ，得出电动机控制电流I与瞬时线转速的微分方程模型： 同样利用式、和 ，得到电动机控制电流I与可观测离散量瞬时转速的微分方程模型： 在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.

15、0秒后车速为零，计算驱动电流。式中就是路测时单轮的减速度，因此式可以转化成： 由制动减速度为常数，初始速度为50 km/h（14 m/s），制动5.0秒后车速为零时 ，计算单轮的加速度，将代入式可以计算出驱动电流：4.4问题4的分析与求解 通过对路试所消耗的能量与试验台上的附表数据计算出所消耗的能量的差值进行比较，从而可以对该问题进行评价。在条件中指出评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差（通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差），故只需分析该能量差。对附录中的数据进行分

16、析，分别画出瞬时扭矩与时间，瞬时转速与时间，瞬时扭矩与转速，转速差值与时间的关系图如下所示：图6 瞬时扭矩与时间的关系图图6的数据反映出随着时间的推移飞轮的瞬时扭矩在不断增加，但增加到一定程度后开始出现震动。图7 瞬时转速与时间的关系图图7反映出飞轮的瞬时转速随着时间推移在减小，但前1s内变化规律不稳定，后4s变化规律基本趋近于匀减速。图8 飞轮转速与车速仿真曲线图8反映了在没有电动机补偿惯量时的转速与实际环境下的转速的变化趋势，车速仿真曲线在制动器制动力为恒力的作用下而产生的匀减直线，飞轮曲线不是一条匀减直线是因为存在电动机补偿惯量所导致的。图9 飞轮瞬时扭矩与瞬时转速关系图图10 飞轮瞬时

17、转速与瞬时扭矩关系图图11 飞轮瞬时转速与瞬时扭矩三维图图12 转速差值与时间关系图对以上数据进行分析可以得出，在每个时间段内（10ms）所损耗的能量与时间变化的关系如下图（时间与消耗能量的关系图）所示：图13 时间与消耗能量关系图图14 消耗能量与时间三维图从上图中可以发现在试验台上测试时，每个时间段内所消耗的能量不相等，说明在制动器转轴产生扭矩的同时，还有其他扭矩参与了该改变（消耗）能量的过程。由于在模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，且制动力是恒定的，故利用能量的公式可计算出路试时整个过程的能量损耗： 其中等效惯量初角速度末角速度在路试时等效的转动惯量为48 kgm2，

18、机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514r/min，末转速为257r/min，时间步长为10 ms的条件下,计算出：=52097.34J在测试台中可以计算出每个时间段的能量损耗，如图13所示。把图13中的所有时段的能量消耗做累积就是在该控制方法下整个模拟系统总的能量损耗值:其中第i段时间内能量的损耗值根据已知条件计算得：=38074.54J。试验台中制动器消耗的能量Q：其中机械惯量代入数据计算得：Q=38054.54J。路试时制动器消耗的能量与试验台总的能量损耗值之差就是能量误差。因此在本问题中的能量误差Q为：14022.80J由以上数据可以知道该控制方法存在问题，实际路试的能量消耗与模拟

19、试验台的能量消耗差距很大，也就是说在该方法的控制下通过电流补偿的能量太小，不足以弥补误差。4.5问题5的分析与求解问题3中建立的数学模型，可以通过编算法或通过Simulink仿真的方法实现驱动电流的计算机控制方法。该算法的实现过程：首先设定相应变量初值（即初始化程序），程序初始化完成后，由主函数调用由问题3所建立的数学模型所导出的算法，计算出下一时间段的电流值，用该电流值来驱动电动机，补偿在实际路测时的惯量差值。整个算法是个循环结构，控制循环的条件既是初始化时设定的末转速，因此每输出一个电流后就判断是否在满足条件的范围内（大于等于末速度），若满足条件，则重复以上步骤，否则，整个控制流程中止。控

20、制方法流程图如下所示：算法实现如下（部分代码）：由问题3所建立的模型是一个连续的微分方程，要想实现它就必须将该模型转化为离散差分方程模型，所以在算法当中把整个时间差分为N段，每段的长度相等，转速的变化取相邻两点的瞬时转速之差。#includestdio.h#includemath.h#define N0 514 / 定义初转速#define N1 257 /定义末转速#define Je 48 /定义等效惯量#define Jm 35 /定义机械惯量#define pi 3.1415926#define T 0.01 /定义时间段double mark=N0;double current(do

21、uble N) /计算电流的算法double I1,change;int J1;J1=Je-Jm;change=(mark-N)/T;I1=2*pi*J1*change;mark=N;return I1;void main() double N,I; N=N0;do I=current(N);printf(下一段时间的驱动电流是%dn,I); /输出电流的大小值 ；scanf(d%,&N); /等待观测值得输入while(N=N1);；5.模型的评价、讨论与误差分析通过分析，该控制方法具有以下优点：其基本的功能由软件实现，占用的空间小，复杂度小，减少了硬件开支，使得硬件电路结构更简单。该控制方

22、法的缺点是只要开始程序，程序就一直处于运行态，等待着下一时间段的到来，然后输入测量值，再计算出下一时间段的电流，完毕后又处于等待态，重复以上动作。计算机多数时间段都处于等待状态，这样大大减小了计算机CPU的使用效率。并且在对时间段分割时会因为分割不当而导致运算误差的累加（迭代法）。在问题3中的模型是一个连续函数，在进行分割时（将连续函数离散化），段数越少又会导致误差越大。用Simulink仿真模型也可以实现问题3所建立模型对电流的控制，只是与软件的切入角度不一样而已，最终也可以实现对电流的控制。在对问题3模型离散差分时，使每一分段尽量小，这样在计算时会使得误差变小。并能减少程序的等待时间。在改

23、进该控制方法时，该控制方法的其他一些功能改用硬件实现，以减小其响应时间。图15 电流仿真曲线6.模型的改进和推广及建议6.1模型的改进针对问题5的控制方法中CPU使用效率低这个问题，重新设计一个相对较完善的控制方法。其原理是在程序中不设置循环控制语句而增加两个读写函数用于保存上次输入的瞬时转速值，在执行完一次电流计算之前从内存中读入保存的瞬时转速值，再把当前输入的瞬时惯量保存在内存中（只在内存中开辟一个存储空间即可满足存取，每次存储采用覆盖原则），输出控制电流，结束程序运行，到下一个时钟到来之时，再启动该控制方法，重复上述动作。该控制方法中的时钟电路与问题5中的时钟电路一致。该模型的流程图如下

24、所示：开始初始化从内存中读入上一次的瞬时转速调用算法计算电流并输出电流值驱动电动机存储输入的瞬时转速结束观测得瞬时转速值设计算法如下：#includestdio.h#includemath.h#define N0 514 / 定义初转速#define N1 257 /定义末转速#define Je 48 /定义等效惯量#define Jm 35 /定义机械惯量#define pi 3.1415926#define T 0.01 /定义时间段double read()； /定义从内存中读出double current(double N) /计算电流的算法double I1,change,mark

25、;int J1; mark=read(); / 从内存中读出J1=Je-Jm;change=(mark-N)/T;I1=2*pi*J1*change;return I1;void write(double N)； /定义数据存储到内存中void main() double N1，I;Scanf(“d%”,N1);I=current(N1);Write(N1); /把数据存储到内存中End;；该控制方法刚好弥补了问题5的效率低的缺点， 两种控制方法的比较如下表1：表1 控制方法比较 属性方法系统开销系统效率复杂度适用性前种控制方法小低O（n）适合离散差分中分段较小后种控制方法较大高O（1）适合离

26、散差分中分段较大6.2模型的推广（1）第一种算法控制电流模型的推广 基本的功能由软件实现，占用的空间小，复杂度小，减少了硬件开支，使得硬件电路结构更简单。（2）用第二种算法控制电流模型的推广 在对问题3模型离散差分化时，使得每一个分段尽量小，这样在计算时会使得误差更小。并能减少程序的等待时间。在该控制方法中的其他一些功能改用硬件实现，以增加其响应时间。6.3模型的建议（1）利用算法控制电流模型应尽可能地提高cup的利用率（2）利用算法控制电流模型应尽可能地减少程序的等待时间（3）利用算法控制电流模型应尽可能地使问题3模型离散差分化时，使得每一个分段尽量小，这样在计算时会使得误差更小。参考文献1

27、 郝文化，MATLAB图形图像处理应用教程，北京：中国水利水电出版社，2004.1。2 姚俊 马松辉 ，Simulink建模与仿真，西安：西安电子科技大学出版社，2002.8。3 华东师范大学数学系 ，数学分析（下册第三版），北京:高等教育出版社，2007.6。4 程守洙 江之 永 ，普通物理学（第五版）， 北京：高等教育出版社，2005.1。5 张瑞丰 ，精通MATLAB 6.5，北京：中国水利水电出版社，2004.2。6 游登科 ，制动器特性建模与参数测试方法研究，, 2009.9.14。7 合肥学院机械系，汽车制动器综合制动性能试验台的设计，， 2009.9.13。8 姜启源 谢金星 叶俊 ，数学模型（第三版）北京:高等教育出版社，2007.7。9 杨路明 ，C语言程序设计，北京：北京邮电大学出版社， 2006.12。10 杨思宇 ，电子机械制动系统的数学建模，， 2009.9.14。- 19 -