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1、毕业设计(论文)题 目 名 称： 逆矩阵和广义逆矩阵 院 （系）： 信息与数学学院 专 业 班 级： 数学10702班 学 生 姓 名： 尹钊 指 导 教 师： 孙文 辅 导 教 师： 孙文 时 间：2010年12月30日2011年6月15日目录任务书I开题报告II指导教师审查意见III评阅教师评语IV答辩会议记录及成绩评定V中文摘要VI英文摘要VII1 前言11.1 研究的目的和意义11.2 国内外研究现状11.3 研究目标、内容、思路22 逆矩阵32.1 逆矩阵的定义32.2 逆矩阵的性质32.3 逆矩阵的计算53 广义逆矩阵的简述73.1 投影算子与投影矩阵73.2 广义逆矩阵的定义和性
2、质93.3 广义逆矩阵和的计算方法174 广义逆矩阵在线性方程组中的应用214.1 与线性方程组的关系224.2 与线性方程组的关系245 结论25参考文献26致谢27长江大学毕业设计(论文)任务书学院（系）:信息与数学学院 专业:数学与应用数学 班级:数学10702班 学生姓名 尹钊 _指导教师 孙文 1、毕业论文（设计）题目： 逆矩阵和广义逆矩阵2、毕业论文（设计）起止时间：2010年12月30日2010年6月15日3、 毕业论文（设计）所需要的资料及原始数据（指导教师选定部分）1张贤达. 矩阵分析与应用M.清华大学出版社, 2004.2何旭初.广义逆矩阵的基本理论和计算方法M.上海科学技
3、术出版社,1985.3王松桂，杨振海.广义逆矩阵及其应用M.北京工业大学出版社，1996,12.4、 毕业论文（设计）应完成的主要内容（1） 巩固逆矩阵的相关知识；（2） 介绍广义逆矩阵的定义、性质、计算及应用；5、毕业论文（设计）的目标及具体要求目标：巩固所学专业知识并学习新知识，培养毕业生灵活运用所学知识解决实际问题、吸收新知识的自学能力及初步的科研能力。具体要求：认真阅读指导老师提供的书籍和文章，主动上网查找资料，积极与老师交流，撰写完整、规范的毕业论文，并做到文笔流畅，打印格式符合学校规定的文本要求，字数不少于12000。6、完成毕业论文（设计）所需要的条件及上机时数要求条件：1、图书
4、馆借书、杂志； 2、网上查询资料；上机时数要求：60课时（计算机搜集文献、资料，整理文档等）。任务书批准日期_ _年 月 日 教研室(系)主任(签字) _ 任务书下达日期_ _年_ _月_ _日 指导教师(签字) _ _完成任务日期 _ _年_月_日 学生(签字) _ 毕业设计开题报告题 目 名 称 逆矩阵和广义逆矩阵 学 院 信息与数学学院 专 业 班 级 数学10702班 学 生 姓 名 尹钊 指 导 教 师 孙文 辅 导 教 师 孙文 开 题 日 期 2011年3月17日 开题报告广义逆矩阵 学 生：尹钊，信息与数学学院指导教师：孙文，信息与数学学院一、 题目来源在高等代数书中曾学过一些
5、关于逆矩阵的知识。由于逆矩阵在矩阵理论分析中有重要作用，而广义逆矩阵作为逆矩阵的推广且在众多领域得到应用，因此对逆矩阵和广义逆矩阵的研究产生了浓厚的兴趣。本论文题来源于理论研究。二、研究目的和意义逆矩阵和广义逆矩阵是矩阵理论的重要分支，关于逆矩阵，在高等代数书中已经介绍了一些基本的性质和计算，而广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，但对其了解并不全面，本文将在介绍逆矩阵的基础上，重点研究广义逆矩阵的性质及其在解线性方程组的应用。矩阵是现代自然科学、工程技术乃至科学许多领域的一个不可或缺的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以这么说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用得到广义逆矩阵。三、阅读的主要参
6、考文献及资料名称1Nashed M Z ed.Generalized Inverses and ApplicationsM. Academic Press, NewYork,1976.2Campbell S L.ed,Meyer C D,Jr.Generalized Inverses of Linear Transforma-tionsM.Pitman,London,1979.3同济大学数学系.线性代数M.高等教育出版社, 2007.4王萼芳,石生明.高等代数(第三版)M.高等教育出版社,2003,7.I开题报告5张贤达. 矩阵分析与应用M.清华大学出版社, 2004.6程云鹏，张凯院，徐仲.
7、矩阵论M.西北工业大学出版社,2006,9.7何旭初.广义逆矩阵的基本理论和计算方法M.上海科学技术出版社,1985.8卢树铭,郭敏学.矩阵理论及其应用M.辽宁科技出版社,1989,12.9王松桂，杨振海.广义逆矩阵及其应用M.北京工业大学出版社，1996,12.10陈永林.广义逆矩阵的理论与方法M.南京师范大学出版社,2005.11刘丁酉.矩阵分析M.武汉大学出版社,2003,8.12罗家洪,方卫东.矩阵分析引论（第四版）M.华南理工大学出版社,2006,6.13史荣昌.矩阵分析M.北京理工大学出版社,1996.14尹钊，贾尚晖. Moore-Penrose 广义逆矩阵与线性方程组的解D.
8、中央财经大学，2009.15张礼平,喻惠波.广义逆矩阵表达式及计算J.四川省凉山州劳动职业技术学校，200816曾宪雯,张玲,李安志,郝军,梁伟.广义逆矩阵行处理法J/OL中国工程物理研究院,2000.17贾正华.广义逆矩阵及其性质D.巢湖学院数学系，2005.四、国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，广义逆矩阵的思想可追溯到1903年瑞典数学家弗雷德霍姆E.I的工作,他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。1904年,德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆，而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)E.H
9、教授在1920年提出来的,他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。由于不知其用途, 该理论几乎未被注意,这一概念在以后30年中没有多大发展。我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯诺伊曼J和弟子默里FJ在1936 年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)E.H广义逆矩阵的定义,并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年,英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)E.H等价的广义逆矩阵定义,因此通称为Moore-Penrose 广义逆矩阵,从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶
10、段。现如今,Moore-Penrose 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用,使这一学科得到迅速发展, 并成为矩阵论的一个重要分支。五、主要研究内容、需重点研究的关键问题及解决思路1、主要研究内容本文内容主要分为六个部分。第一部分介绍逆矩阵；第二部分介绍广义逆矩阵；第三部分研究逆矩阵和广义逆矩阵之间的关系；第四部分介绍广义逆矩阵的计算方法；第五部分研究广义逆矩阵在线性方程组中的应用；第六部分结论。2、需重点研究的关键问题：（1）逆矩阵的求解；（2）广义逆矩阵的定义、性质和分类； （3）常见广义逆矩阵和的计算；（4）广义逆矩阵在线性
11、方程作中的应用。3、解决思路:（1）从定义着手，解决相关性质的证明；（2）利用初等变化解决逆矩阵的求解问题；（3）在逆矩阵的基础上推广出广义逆矩阵，介绍其定义、性质；（4）运用矩阵理论相关知识，解决广义逆矩阵的计算，并对其应用进行简单总结叙述；开题报告六、完成毕业论文所必须具备的工作条件（如工具书、计算机辅助设计、某类市场调研、实验设备和实验环境条件等）及解决的办法1.利用长江大学图书馆的丰富资源。2.网上查询国内外最新研究成果。3.疑难问题应勤查资料，虚心向指导老师请教。4.数学学院机房上机。5.与指导老师联系，向老师请教。七、工作的主要阶段、进度与时间安排2010年11月30日2010年1
12、2月15日 审题、查阅资料、完成外文翻译2011年02月21日2011年03月16日 整理资料、完成开题工作2011年03月17日2011年05月10日 完成论文框架结构撰写2011年05月11日2011年05月29日 初稿完成提交指导教师审查2011年05月30日2011年06月09日 论文定稿八、指导教师审查意见指导老师： 年 月 日I长江大学毕业论文(设计)指导教师审查意见学生姓名尹钊专业班级数学10702班毕业论文(设计)题目逆矩阵和广义逆矩阵指导教师孙文职 称评审日期评审参考内容：毕业论文(设计)的研究内容、研究方法及研究结果，难度及工作量，质量和水平，存在的主要问题与不足。学生的学
13、习态度和组织纪律，学生掌握基础和专业知识的情况，解决实际问题的能力，毕业论文(设计)是否完成规定任务，达到了学士学位论文的水平，是否同意参加答辩。评审意见：指导教师签名： 评定成绩（百分制）：_分长江大学毕业论文(设计)评阅教师评语学生姓名尹钊专业班级数学10702班毕业论文(设计)题目逆矩阵和广义逆矩阵评阅教师孙文职 称评阅日期评阅参考内容：毕业论文(设计)的研究内容、研究方法及研究结果，难度及工作量，质量和水平，存在的主要问题与不足。学生掌握基础和专业知识的情况，解决实际问题的能力，毕业论文(设计)是否完成规定任务，达到了学士学位论文的水平，是否同意参加答辩。评语：评阅教师签名： 评定成绩
14、（百分制）：_分长江大学毕业论文(设计)答辩会议记录及成绩评定学生姓名尹钊专业班级数学10702班毕业论文(设计)题目逆矩阵和广义逆矩阵答辩时间 年 月 日 时答辩地点一、答辩小组组成答辩小组组长：成 员：二、答辩记录摘要答辩小组提问（分条摘要列举）学生回答情况评判三、答辩小组对学生答辩成绩的评定（百分制）：_分 毕业论文(设计)最终成绩评定(依据指导教师评分、评阅教师评分、答辩小组评分和学校关于毕业论文(设计)评分的相关规定)等级(五级制)：_答辩小组组长(签名) ： 秘书(签名)： 年 月 日院(系)答辩委员会主任(签名)： 院(系)(盖章)II中文摘要逆矩阵和广义逆矩阵学 生：尹钊 信息
15、与数学学院指导教师：孙文 信息与数学学院摘要：作为逆矩阵的推广，广义逆矩阵的理论已成为数理统计、最优化理论、现代化控制理论和网络理论等学科的重要工具，是矩阵理论在最近几十年中的成就之一。本文首先回顾逆矩阵的相关知识，并结合例题对逆矩阵求解的计算方法进行说明。然后通过对逆矩阵的推广来引出广义逆矩阵这一概念，并对其定义、性质计算方法以及与逆矩阵之间的关系作了介绍。最后阐述了广义逆矩阵在线性方程组中的应用。 由于广义逆矩阵的概念是传统的本科数学教科书上没有涉及到的新内容，且自身能力有限，所以本文的主要内容只是对广义逆矩阵的相关理论知识进行归纳总结，简单叙述。关键字：逆矩阵; 非奇异矩阵; 广义逆矩阵
16、; 奇异值分解; 线性方程组; 秩AbstractInverse matrix and generalized inverse matrixYin Zhao (Information and mathematics Department)Directed by Sun Wen (Yangtze University)AbstractAs the promotion of the inverse matrix, the generalized matrix theory has become an important tool in the mathematical statistics, op
17、timization theory, modern control theory, network theory and so on. It is one of the achievements of the matrix theory in recent decades. First, the paper reviews the inverse matrix knowledge, and states the calculation of inverse matrix combined with the examples. Then draws forth the concept of ge
18、neralized inverse matrix through the promotion of inverse matrix, and its definition, pro-perties calculation method,the relationship between generalized inverse matrix with inverse matrix. Finally the generalized inverse matrix in the application of linear equations are introduced. Due to the conce
19、pt of generalized inverse matrix is a new content that didnt involve in traditional mathematics textbook, and own ability is limited, so the main content of this article only on the generalized inverse matrix related theory knowledge are summarized, simple narrative.Keyword:inverse matrix; nonsingul
20、ar matrix; generalized inverse matrix; singular value decomposition; the system of liner equations; rank前言逆矩阵与广义逆矩阵1 前言1.1 研究的目的和意义矩阵是现代自然科学、工程技术乃至科学许多领域的一个不可或缺的数学工具。就其本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的的领域。他们的创造性又极大地推动和丰富了其他众多学科的发展：许多新的理论、方法和技术的诞生与发展就是矩阵理论和线性代数的创造性应用与推广的结果。可以毫不夸张地说，矩阵理论和线性代数在物理、力学和信息处理、通信、电子
21、、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空和航天等众多学科中是最富创造性核灵活性，并起着不可替代作用的数学工具。逆矩阵和广义逆矩阵是矩阵理论的重要分支，而广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，是本世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发展，特别自50年代以来，广义逆矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展，并在概率统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和网络理论等领域得到不同的应用。因此，对逆矩阵和广义逆矩阵的研究具有很强的现实意义。1.2 国内外研究现状广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广,广义逆矩阵的思想可追溯到1903年瑞典数学家弗雷德霍姆E.I的工作,他讨论了关于积分算子的一种广义逆(称之为伪逆)。190
22、4年,德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆,而任意矩阵广义逆的定义最早是由美国芝加哥的穆尔(Moore)E.H教授在1920年提出来的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。由于不知其用途, 该理论几乎未被注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。我国数学家曾远荣在1933年、美籍匈牙利数学家冯诺伊曼J和弟子默里F.J在1936 年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔A重新发现了穆尔(Moore)E.H第 1 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年,英
23、国数学物理学家彭罗斯(R.Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔E.H.Moore等价的广义逆矩阵定义,因此通称为Moore-Penrose 广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今,Moore-Penrose 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用,使这一学科得到迅速发展, 并成为矩阵论的一个重要分支。1.3 研究目标、内容、思路 通过学习分析和总结，主要达到以下几个目标：(1)复习逆矩阵的相关知识；(2)学习广义逆矩阵的理论；(3)了解逆矩阵与广义逆矩阵之间的关系；(4)掌握逆矩阵和广义逆矩阵的计算方法。 本
24、文主要研究的内容有以下几点：(1)介绍逆矩阵定义、性质和计算；(2)介绍广义逆矩阵的定义和性质；(3)研究逆矩阵和广义逆矩阵之间的关系；(4)介绍广义逆矩阵的计算方法；(5)研究广义逆矩阵在线性方程组中的应用；(6)结论； 在完成论文的过程中，主要通过以下方法解决遇到的问题：(1)去图书馆查阅矩阵理论相关书籍，了解矩阵基础知识；(2)上网收集下载逆矩阵和广义逆矩阵相关的期刊文献，参考最新研究成果并进行学习；(3)向指导老师请教，与同学相互交流。第 2 页（ 共 27 页）逆矩阵2 逆矩阵矩阵的求逆是一种经常遇到的重要运算，特别地，矩阵求逆引理在信号处理、系统科学、神经网络、自动控制等学科中经常
25、用到。2.1 逆矩阵的定义我们知道，对于任意的级方阵都有，这里是级单位矩阵。因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位。一个复数的倒数可以用等式来刻画，相仿地，我们引入： 定义2.1.1 级方阵称为可逆的，如果有级方阵使得 （2.1.1）这里是级单位矩阵。定义2.1.2 如果矩阵适合（2.1.1），那么就称为的逆矩阵，记为。2.2 逆矩阵的性质 下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵是可逆的？如果是可逆的，怎样求？ 定义2.2.1 设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵第 3 页（ 共 27 页）逆矩阵称为的伴随矩阵。由行列式按一行（列）展开的公式立即得出 （2.2.1）
26、其中。如果，那么由（2.2.1）得 （2.2.2） 定理2.2.1 矩阵是可逆的充分必要条件是非奇异，而。 证明：当，由（2.2.2）可知，可逆，且 （2.2.3）反过来，如果可逆，那么有使两边取行列式，得 （2.2.4）因而，即非奇异。定理2.2.2 是唯一的。证明：假设，都是矩阵的逆，则，都满足（2.1.1）式，于是就有，故是唯一的。 推论2.2.1 如果矩阵，可逆，那么与也可逆，且，第 4 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述。 证明：由定理即得推论的前一半，现在来证明后一半。由两边取转置，有因之。由即得。推论2.2.2 若为对角矩阵，则其逆矩阵 定理2.2.3 是一个矩阵，如果是可逆矩
27、阵，是的可逆矩阵，那么秩=秩=秩。 证明：令，则秩；但是由，又有。所以。另一个等式可以同样地证明。2.3 逆矩阵的计算 对于逆矩阵的计算，有时候根据伴随矩阵来求逆矩阵，计算过程过于繁杂。在求逆的过程中，为简化计算，一般采用行变换或列变化来求解，即或。但是，在平时的求解过程中，一般习惯采用行变换求解。例2.3.1 已知，求。解： 第 5 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵 当然初等变换求逆对阶数较低的矩阵应用比较简便，但与有些阶数较高的矩阵，初等变换也会很繁杂，这时可利用分块矩阵求逆较方便。分块矩阵求逆矩阵的方法描述如下：定理2.3.1 若，其中，可逆，则。证明：由 = 及 =易知 。例2.
28、3.2 设，求。解：设，由伴随矩阵求逆，可知，故有，第 6 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述所以。总之，在求逆矩阵的过程中，要根据矩阵的特征来灵活运用具体的计算方法，以简化求解过程。3 广义逆矩阵的简述 逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义，但是在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即便是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑，可否将逆矩阵的概念进一步推广。为此，引进下列条件：（1） 该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2） 它具有通常逆矩阵的一些性质；（3） 当矩阵非奇异时，它还原到通常的逆矩阵。称满足以上三个条件的矩阵为广义逆矩阵。 早在1920年，摩尔（E.H.Moore）就引进了广义
29、逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程（现在称之为Penrose方程组）给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。3.1 投影算子与投影矩阵 投影矩阵在广义逆矩阵的研究中起着重要的作用，因此首先对它进行简单的介绍。 设和都是的子空间，且，于是，对任意都可唯一分解为 （3.1.1）第 7 页（ 共 27 页）逆矩阵和
30、广义逆矩阵称是沿着到的投影。 定义3.1.1 将任意变为沿着到的投影的变换称为沿着到的投影算子，记为，即。 由定义3.1.1知，投影算子将整个空间变到子空间。特别地，若，则；若，则。因此，的值域为，零空间为。容易证明，投影算子是一个线性算子，即对任意向量和任意复数，恒有。根据线性代数的结果，当取定的一组基后，投影算子可由阶矩阵表示。 定义3.1.2 投影算子在的基下的矩阵称为投影矩阵，记为。 投影算子的一个子类正交投影算子，具有更为良好的性质。 定义3.1.3 设是的子空间，则称沿着到的投影算子为正交投影算子，简记为。正交投影算子在的基下的矩阵称为正交投影矩阵，记为。 定理 3.1.1 矩阵为
31、正交投影矩阵。 证明：“”：设为正交投影矩阵，即为在子空间上的正交投影，则在上为恒等变换，在上为零变换。设为的一组标准正交基，为的一组标准正交基，则为的一组标准正交基，因而为一个酉矩阵，且，第 8 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述即。因而。“”：由知，酉相似于对角矩阵，因而由知的特征值为1或零，所以存在酉矩阵使，即 。设的列向量为，则为的一组标准正交基。令是由生成的子空间，则为生成的子空间，且在上是恒等变换，在上是零变换，所以为正交投影矩阵。3.2 广义逆矩阵的定义和性质由于Moore-Penrose逆在广义逆中占有十分重要的位置，为了后面应用的方便，首先在这里给出它的几个等价定义。 19
32、20年，E.H.Moore利用投影算子定义了一种广义逆，一矩阵形式定义如下： 定义3.2.1 设矩阵，若矩阵满足 ， （3.2.1）其中表示在子空间上的正交投影矩阵，则称为的Moore广义逆矩阵。 1955年,英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了广义逆矩阵的定义。 定义3.2.2 设矩阵，若矩阵满足以下四个Penrose方程: （I）第 9 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵 （II） （3.2.2） （III） （IV）则称为的Penrose广义逆矩阵，记为。显然，若为非奇异矩阵，则。为方便后面介绍广义逆矩阵时的引用，先介绍矩阵的奇异值分解。下面主要通过Her
33、mite矩阵的性质来介绍矩阵的奇异值分解。设，则与分别为阶和阶Hermite矩阵。 引理3.2.1 。 证明：根据齐次线性方程组的性质齐次线性方程组的解空间的维数等于未知的个数减去系数矩阵的秩，要证，只要证明。若，显然有。反过来，假设，则，即。因此。所以。同理有。但，所以引理成立。 引理3.2.2 设,则与有完全相同的非零特征值，（其中，相同的按重数计算）。 证明：因与均为正规矩阵，所以酉相似于对角矩阵，且对角线元素为其特征值。由引理3.2.1，非零特征值的个数为。设为的一个非零特征值，相应的线性无关的特征向量为（即的集合重数为。因可对角化，的代数重数等于集合重数）。则。因而 。 （3.2.3
34、）设有一组数，使。第 10 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述则。由及线性无关推出。由此及（3.2.3）说明是的对应于特征值的线性无关的特征向量。所以作为的特征值的重数不小于其作为的特征值的重数。反之亦然。引理3.2.3 设，则与的特征值都大于或等于零。证明：由引理3.2.2，只需证明的特征值都大于或等于零。因为为Hermite阵，其特征值皆为实数。由于酉相似于对角阵，即存在酉阵使其中为的非零的特征值。由上式即可推出其中为的第个列向量。所以。 定义3.2.3 设，的大于零的特征值，则称为的奇异值。 引理3.2.4 设为的非零特征值，为对应于的两两正交的单位特征向量，则为的对应于的相互正交的特
35、征向量，且。 证明：由引理3.2.2的证明知，为为的对应于特征值的线性无关的特征向量。因所以相互正交，且还得出。 定理3.2.1（奇异值分解定理） 设，且称为的第 11 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵奇异值，则有如下分解： （3.2.4）其中分别为阶和阶的酉矩阵。上式称为矩阵的奇异值分解。 证明：设和分别为和的相互正交的单位特征向量，则由引理3.2.4知。令，则=由此即得（3.2.4)。 定理3.2.2 对任意矩阵，存在并且唯一。 证明：先证的存在性：若为零矩阵，可取也为零矩阵。若，则有奇异值分解：第 12 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述 ， （3.2.5）其中分别为阶和阶的酉矩
36、阵，为的秩。令 ， （3.2.6）则满足（I）（IV）四个方程。所以总是存在的。 再证的唯一性：设与均满足方程（I）（IV），则=。所以也是唯一的。 由于Penrose的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的，叫做弱逆。除了唯一确定之外，其余各种广义逆矩阵都不是唯一确定的，每一种广义逆矩阵都包含着一类矩阵，为此引进如下定义：定义3.2.4 对任意矩阵，若矩阵满足Penrose方程中的等方程，则称为的逆。记为，其全体记为。第 13 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵由定义3.2.4和定理3.2.2知，并且中只含有一个元素。因为对任意，都
37、有，所以总是存在的。可知，满足1个、2个、3个、4个Penrose方程的广义逆共有15类，即。然而，应用较多的有，5类，分述如下：其中任意一个确定广义逆，称为的减号逆矩阵，记为；：其中任意一个确定的广义逆，称为的自反广义逆，记为；：其中任意一个确定的广义逆，称为的最小范数广义逆，记为；：其中任意一个确定的广义逆，称为的最小二乘广义逆，记为；：唯一，称为加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为。 广义逆矩阵作为逆矩阵的推广，必然和逆矩阵之间存在着联系，下面简单介绍二者之间的关系： 定理3.2.3 对于任意，若果有，即可逆，则（1） ；。（2） 的元素都多于一个，且满足；。 证明：（1
38、）因为且，则等价于，所以。又因为满足，所以，；=。（2） 因为满足，所以；。第 14 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述又因为满足，所以，的元素都多于一个。 其中，（1）揭示了8种广义逆矩阵：，是仅含单元素的集合；（2）揭示了7种广义逆矩阵：，的元素至少都含有，0。 定理3.2.4 Moore广义逆矩阵与Penrose广义逆矩阵是等价的，因此通常称为Moore-Penrose广义逆。 证明：设矩阵满足式（3.2.1），则， 又由定理3.1.1知，反之，设矩阵满足Penrose方程（I）（IV），因为，则由定理3.1.1知为正交投影矩阵，且。又，故。同理可证 。 定理3.2.5 对任意的矩阵，
39、（a） 若可逆，则。（b） 。（c） 。（d） 记 则。（e） 若，则。第 15 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵定理3.2.6 对任意的矩阵，（a）。（b）。（c）。（d）。 推论3.2.1 假设，且满足对一切，则。 定理3.2.7 设,（a） 若分别为，则。（b） 若分别为，且满足，则。 定理3.2.8 若为正规阵，则（a） 。（b） 对任一自然数，。 定理3.2.9 （a）。（b）。（c）。 证明：（a）充分性 若，则。用分别左乘和右乘此式，得，由定理3.2.6（d），上式即为。必要性 若，则第 16 页（ 共 27 页）广义逆矩阵的简述=。 于是。用类似的方法可以证明（b）和（c
40、）。定理证明完毕。3.3 Moore-Penrose广义逆矩阵和的计算方法关于普通逆矩阵的计算，文献中已经有了许多行之有效的方法。广义逆矩阵作为普通逆矩阵概念的推广，当我们要计算它时，很自然希望把它归结为通常逆矩阵的计算，这是本小节要讨论的许多计算方法的核心。本部分主要介绍求解和的计算方法。在前面的广义逆的分类中提及到，但并未给出具体的定义，因此在介绍求解之前，先给出的定义。定义3.3.1 设是矩阵，一个矩阵称为的一个-广义逆矩阵，记为，若对任意给定的维向量，只要方程组有解，则也一定是解。 定理3.3.1 矩阵是矩阵的一个-广义逆矩阵。证明：“”：对任意的，是维向量，且为的解，因而也是一个解，即。于是。由于的任意性，可推出。“”：若，设有解，则。所以也是解。由定义，是的一个-广义逆矩阵。求解，只介绍以下一种计算方法。 定理3.3.2 设矩阵，非奇异矩阵，非奇异矩阵满足第 17 页（ 共 27 页）逆矩阵和广义逆矩阵则 （3.3.1）是的一个-广义逆矩阵，且的任意一个-广义逆矩阵都可写成（3.3.1）的 形式，其中，是任意的。证明： =所以为的一个-广义逆矩阵。设是的任意一个-广义逆矩阵，由于，可逆，因此可令由于