数学与应用数学毕业论文-浅析数学分析中的若干矛盾.doc

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1、学学 士士 学学 位位 论论 文文 题题 目目 浅析数学分析中的若干矛盾浅析数学分析中的若干矛盾 学学 生生 指导老师指导老师 年年 级级 2006 级级 专专 业业 数学与应用数学数学与应用数学 系系 别别 数学系数学系 学学 院院 文理学院文理学院 哈尔滨师范大学 2010 年 4 月 目 录 摘摘 要要 1 关键词关键词 1 1 常量与变量 1 2 离散与连续 3 3 整体与局部 5 4 一与多 7 5 有限与无限 9 6 曲与直 11 7 积分与微分 13 8 结束语 13 参考文献参考文献 13 外文摘要外文摘要 14 浅析数学分析中的若干矛盾浅析数学分析中的若干矛盾 陈伶俐 摘摘

2、要要: : 恩格斯说：“纯数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系”即数 学是研究“数”和“形”的科学数学分析中充满着矛盾现象，研究和领会各个矛盾的对立 统一关系，对深入掌握数学分析的精髓有着重要作用本文就数学分析中的几个主要矛 盾进行比较与分析，着重阐述常量与变量，离散与连续，整体与局部，有限与无限，一与 多，直与曲，微分与积分等矛盾在数学分析中的体现 关键词关键词: : 数学分析 矛盾 对立统一 恩格斯在反杜林论中指出：“高等数学的主要基础之一，就是矛盾” ， 列宁在黑格尔一摘要中指出：“就本来的意义讲，辩证法是研究 对象的本质自身中的矛盾 ”在数学分析的学习中，是否能深刻认识数学分析

3、中的矛盾 现象，能否深入研究各个矛盾中的对立统一关系，就成为领会和掌握数学分析的精髓 的关键数学分析中的矛盾现象是普遍存在的，如常量与变量，有限与无限，离散与 连续，微分与积分，一元与多元等等本文仅就几个主要矛盾予以讨论 1 常量与变量 变量是运动的，不断变化的量；常量是不变的，静止不动的因此他们是对立 的由于任何事物都是运动的，因此，静止不动的常量相对的常量寓于变量之中， 变量又通过常量所体现在一定条件下，常量与变量可相互转化，因此它们又是统一 的正是运用这个重要思想，我们解决了数学分析中的许多重要的基本理论问题 例如,我们知道定积分是作为一种特殊的无穷和而定义的 定义 1.1 设是定义在上

4、的一个函数，是一个确定的实数若对任给的f , a bJ 正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集 , a bT ，只要，就有 i T ， 1 ( ) n ii i fxJ A 则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积f , a bJf , a b 分，记作 ( ). b a Jf x dx 其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个fx , a bab 2 定积分的下限和上限 当积分函数和积分区间给定以后，定积分便以变量的形式出现研究定积分是从 确定定积分的积分区间开始的当区间变化，积分值随之变化，从而引入了积分上限 函数对此函数可微

5、性的讨论，得到了微积分基本定理，该定理反过来把变量转化为 常量，最终得到牛顿莱布尼兹公式 定理 1.1 若函数在上连续，且存在原函数，即，f , a bF( )( )F xf x ，则在上可积，且 , a bf , a b ( )( )( ) b a f x dxF bF a 这一划时代的伟大成果正是由常量与变量的对立统一关系导出的 充分利用常量与变量的辩证思想，常常能是某些数学问题得到很好的解决 定理 1.2 (泰勒（Taylor）中值定理) 如果函数在含有的某个开区间( )f x 0 x 内具有直到阶的导数，则当在内时，可以表示为的( , )a b(1)nx( , )a b( )f x 0

6、 ()xx 一个多项式与一个余项之和( ) n R x 2 00 00000 ()() ( )()()()()()( ) 2! n n n fxfx f xf xfxxxxxxxR x n 其中，这里是与之间的某个值 1 1 0 ( ) ( )() (1)! n n n f R xxx x x 0 x 在这个定理的证明中，可将函数的次泰勒多项式： f xn 2 00 00000 ()() ( )()()()()() 2! n n fxfx f xf xfxxxxxxx n 的项换为 而得 0 xt 2 ( )( ) ( )( )( )()()() 2! n n ftft f tf tf txt

7、xtxt n 在上式中把原来的变量视作常量，而把原来的变成变量 ，则有x 0 xt 1( ) ( )() ! n n ft f txt n 由此证得泰勒中值定理 3 又如在数列极限定义说明了在一定条件下,变量可以向常量转化.N 定义 1.2 设是一给定数列，是一个实常数.如果对于任意给定的， n xa0 可以找到自然数，使得当时，成立NNn ， axn 则称数列收敛于（或是是数列的极限） ，记为 n xaa n x lim n n xa 有时也记为 ., n xan 在这整个过程来说正数是任意的变化的，是一个变量，但是从过程的每个瞬间 来说，正数又是固定的有限的，找到一个常量，从而刻画了数列极

8、限N 2 离散与连续 在数学分析中离散和连续的对立统一关系，最经典的体现是数列与函数，级数与 积分的相互转换关系数列的极限和函数的极限是分别定义的，实现数列极限与函数 极限相互转化的桥梁正是海涅定义 定理 2 .1（归结原则） 设在内有定义存在的充要条件是：对任何含于f 0 0 (;)Ux 0 lim( ) xx f x 且以为极限的数列，极限都存在且相等 0 0 (;)Ux 0 x n xlim() n n f x 注 1 有时归结原则也可简述为： 对任何有 0 lim( ) xx f xA 0( ) n xx n lim() n n f xA 注 2 若可以找到一个以为极限的数列，使不存在

9、，或找到两个 0 x n xlim() n n f x 都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则 0 x n x n x lim() n n f x lim() n n f x 不存在 0 lim( ) xx f x 有关函数极限定理的证明可以借助海涅定理，转换为相应数列的极限定理给予证 明，而且由数列的收敛判别法还可相应的得到函数极限存在的判别法 例 1 证明不存在lim cos x x 证明 对于，cosx 若取则而2,1,2, n xnnlim n x x 4 lim()limcos21 n nn f xn 若取则而(21) ,1,2, n xnn lim n n x lim()lim

10、cos(21)1 n nn f xn 所以，不存在lim( )lim cos nx f xx 例 2 计算 2 2 11 lim 1 n nn 解 (方法)因为 22 1 111 222 11111 1111 nnn nn nnn nn nnnnn 由归结原则得 11 lim 1lim 1, nx nx e nx 22 11 11 22 11 lim 1lim 1. nx nx nx nx e nx 故 2 11 lim 1 n n e nn (方法 2)考虑 1 2 0 lim(1)x x xx 对上式取以为底的对数，则有e 2 0 1(1) lim 2 0 lim(1) x x x xx

11、x xxe 2 0 1 2 lim (1) x x x x e 1 ee 再取，可得 1 n x n 2 11 lim 1 n n e nn 在微积分中,连续函数用不连续（离散）的函数来近似逼近，而离散的类型又用常 用连续函数来描述，它们往往是成对出现的 例如，数项级数与无穷积分是离散和连续的关系；函数项级数与含参变量的无穷 积分是离散和连续的关系；数项级数与函数项级数都是离散地求和，由它们发展起来 5 的理论都是关于离散的理论；而无穷积分与含参变量的无穷积分都是连续的求和，由 它们发展起来的理论，都是关于连续的理论 离散和连续是辨证统一的，可以相互转化 如“连续化”问题的定积分与“离散化”问

12、题的有限和（黎曼和）的联系，我们 可以利用定积分的计算方法来求出一些有限和的极限 又如， “连续化”问题的积分收敛理论（广义积分、含参量积分）与“离散化”问 题的技术收敛理论（数项级数、函数项级数） ，有很所的性质、定理都是相互对应的， 如求离散变量不定式极限的施笃兹定理与求连续变量不定式极限的洛必达法则对应 等 例 3 求 2 1 4 2 1 lim(cos) n n en n 解 令，则 1 x n 0x 2 2 1 44 22 0 11 lim(cos)lim(cos)( ) x n n x enxe nx 由泰勒公式 ， 24 5 cos1() 224 xx xx 2 24 5 2 1

13、() 28 x xx ex 2 4 5 2 cos() 12 x x xex 因而求得 2 45 4 2 4 00 1 () 11 12 lim(cos)( )lim 12 x xx xx xe xx 由归结原则 . 2 1 4 2 11 lim(cos) 12 n n en n 3 整体与局部 整体与局部是数学分析又一对重要矛盾整体性质和局部性质是相辅相成的，把 局部性质研究透了，整体性质才显露反之，弄清整体性质才能更深刻地理解局部性 质 如函数连续与一致连续的关系 定义 3.1 （函数在点连续的“”定义） 若对任给的，存在，00 6 使得当时有 0 xx ， 0 ( )()f xf x 则

14、称函数在点连续f 0 x 定义 3.2（逐点连续）设为定义在区间上的函数若任意的,且fI 0 xI 在处连续,则称函数在区间上逐点连续( )f x 0 xfI 定义 3.3（一致连续） 设为定义在区间上的函数若对任给的，存在fI0 ，使得对任何，只要，就有( )0 x xI xx ，( )()f xf x 则称函数在区间上一致连续fI 同时可以知道， “连续”反映的是函数在一点领域中的变化，因而只是局( )f x 0 x 部性的概念在区间上一致连续是的一个整体性质，由它可推出在上每一fIffI 点都连续的这一局部性质（只要在定义 3 中把看作定点，把看作动点，即得在 x x f 点连续） 而由

15、在区间上每一点都连续，并不能推出在上一致连续 x fIfI 例 4 证明函数在内不一致连续（尽管它在内每一点都连续） 1 y x (0,1)(0,1) 证明 按一致连续性的定义，为证函数在某区间上不一致连续，只须证明：fI 存在某，对任何正数（不论多么小） ，总存在两点，尽管 0 0 x xI ，但有xx 0 ( )()f xf x 对于本例中函数，可取，对无论多么小的正数，只要取 1 y x 0 1 1 () 2 与则虽有x 2 x ， 2 xx 但 7 ， 111 1 xx 所以，在内不一致连续 1 y x (0,1) 然而，对于定义在闭区间的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上的

16、 一致连续性，即有如下重要定理： 定理 3.1 （一致连续性定理） 若函数在闭区间上连续，则在上f , a bf , a b 一致连续 例 5 证明：在上一致连续，但在上不一致连续 2 f xx , a b(,) 证明 先证在上一致连续，取，则 2 f xx , a b0 2(1)ab 当，且时，有 x , a bxx ( )()()()()2() 2(1) f xf xxxxxxxab ab 故在上一致连续 2 f xx , a b 取，无论取多少，由知，总要充分大，总可以使 0 10 1 lim0 n n n ， 1 xn n 的距离，但xn 1 xx n 222 0 11 ( )()()

17、2( )1f xf xnn nn 故在上不一致连续 2 ( )f xx(,) 又如闭区间套定理的妙用，就在于把整体性质运用到某个局部而有限覆盖定理 的应用，是将涉及无限的问题转化为有限的问题，以便把局部性质归纳为整体性质 4 一与多 恩格斯指出：“一与多是不能分离的，相互渗透的两个概念，而且多包含于一中， 正如一包含于多中一样 ” “一”与“多”既是对立的，又是统一的， “一”与“多”的 辩证关系在数学中比比皆是，例如： ， 22 cossin1xx 0 sin lim1 x x x 1 1 1 2n n ( )1x 8 在数学分析中最重要的莫过于一元函数微积分与多元函数微积分的辩证统一关 系

18、没有一元函数微积分的许多概念和定理到多元函数的相应推广，没有多元函数微 积分特征研究，没有多元向一元的转化在多元微积分的学习和研究中，必须注意到 一元微积分中许多概念、定理在多元微积分中的相应推广，以及多元微积分中的许多 问题是转化为一元微积分来解决的 例 6 计算，其中 2 () D xy d 0,1 0,1D 解 2 11 00 ( , )() D f x y ddxxy dy . 3 3 1 0 17 336 xx dx 另一方面，尽管多元函数与一元函数有许多共同点，但从“一元”到“多元”决 不是简单的重复和推广，二者之间也存在着差异 例如，多元函数极限论中与一元函数极限论相比较而言的特

19、殊点是累次极限（混 合偏导数、累次积分） ，从原则上讲是一个新概念，它在一元函数极限论中是没有的 例 7 求函数的累次极限 22 ( , ) xyxy f x y xy 解 累次极限 222 0000 limlimlimlim(1)1 yxyy xyxyyy y xyy 222 0000 limlimlimlim(1)1 xyxx xyxyxx x xyx 例 8 求的所有二阶偏导数 4422 4zxyx y 解 ， 32 48 x zxxy 32 48 y zyx y ， 22 128 xx zxy16 xyyx zzxy 22 128 yy zyx 再如，在一元函数极限论中有 00 0 l

20、im( )limlim( ) xxxx xx f xAAf x 但在多元（以二元为例）函数极限论中，即使当动点沿过定点的任( , )p x y 000 (,)p xy 何射线趋向于时，二元函数都趋向于同一极限，也不能断言 000 (,)p xy( , )f x y 00 , lim( , ) x yxy f x y 存在 9 又如，在一元函数理论中“若在点处可导，则在点处连续 ”但( )f x 0 x( )f x 0 x 在多元函数中无此结论 再如，在一元函数微分学中有在处可导，在处可微但在多( )f x 0 x( )f x 0 x 元函数微分学中： 在点处可微存在及( , )f x y 00

21、 (,)xy 成立 成立不 00 (,) x fxy 00 (,) y fxy 例 9 有偏导数及，但在该点 0 ( , ) 1 f x y ,(0), ,(0), xy xy (0,0)0 x f (0,0)0 y f 连续，因为，当动点沿直线趋近点时，( , )P x y0y (0,0) ， 00 0 lim( , )lim( ,0)0 xx y f x yf x 而沿直线趋近点时，yx(0,0) 即在点处极限不存在，当然也不连续(0,0) 5 有限与无限 有限与无限是截然对立的两个概念，然而，从有限中又可以找到无限，无限中包 含着有限这充分体现了有限与无限的对立统一 极限是学生在学习微积

22、分时接触到的第一个重要概念但是，极限理论上的学习 历来是微积分学习的难点之一如果脱离有限与无限的辩证关系，仅仅以纯数学的角 度去学习极限，势必会造成一定的困难 例如，若 1111 2482n x 这是一个无穷运算，每算一步有一个得数，这些得数构成一个无穷数列：A ， 1 2 3 4 7 8 15 16 1 (1) 2n 对于，每运算一步，它取数列中的一个数值，当它按数到依次取值时，容易发xAA 现它同 1 的差是： ， 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 而这些数值越来越小，虽然数列有无穷多项，无法写出它的最后一项但是，考察A 上面这串数值的变化情况，我们可以得出：当按依次取值时，它“

23、最后”必然转xA 化为 1，这个 1 就称为的极限x 极限的得出，就是恩格斯所说的“从有限中找到无限” （自然辩证法第 212 页） 的认识方法在数学中的表现这里的“有限”是指有限步骤，是我们看得见的变化过 程；“无限”是指无限步骤以后，是“最后”的结果 10 从有限到无限的过程，往往包含着一个从量变到质变的过程这个过程在极限的 运算中同样得到了充分的体现 考察这样一个极限 2222 123 lim() n n nnnn 此处研究的数列共有项，当无限增大时，数列中的每一项其极限均为零此nn 极限即成为 型000 我们已经知道，有限个零（意指无穷小量）之和仍为零，但无限多个零之和，是 否仍是零呢

24、？答案当然是否定的，此处就等于 1 2 从辩证法的角度解释：有限个零相加，其和仍是零但随着所加零的数量的增加， 意指变化到无限多个零相加时，就会由量变引起质变，其和就不再必然等于零具体 等于什么，要由这个变化过程本身决定 又如，在微积分中，我们往往通过有限来认识无限，也通过无限确定有限为了 计算无穷级数这个无限和，先计算有限项的和：令若 n a 12nn Saaa 是个有限数，则就定义了无穷级数的和，其和是由部分和（有限和）lim n n SS SS 开始，然后求极限而得到的 再如函数的泰勒展开式： f x 2 ( )( ) ()( )( ) 2! k k fxfx f xhf xfx hhh

25、 k 左边是有限形式，右边是曲线的形式；左边是简单形式，右边是整体复杂形式； 左边整体位置，右边每一项都是已知的利用泰勒展开式，由来计( )f x 算正是通过等式右边每一个已知项在无限的过程中来把握左边()f xh 的函数没有幂次，而级数展开式中却包含了所有幂次，这无论在认识()f xh( )f x 函数性质和近似计算中都有极大地好处 6 曲与直 直与曲的对立关系是显而易见的不论从理论上还是实践中，直的问题总是容易 解决的，而对曲的问题的讨论在微积分学形成以前总是极其困难微积分学的诞生， 从本质上揭示了曲与直之间相互转化的关系，而开辟这条研究途径的重要思想方法是 极限的思想，微元分析的方法微分

26、是在局部上“化曲为直” ，而积分在整体上“积直 为曲” 例如，在微分学中曲线在上的一小段弧可以用弧微分，即直线( )yf x , a bsA 11 段来近似代替这是在小范围内将弧长“以直代曲” 222 ()()1dsdxdyy dx 然后把无数段小弧长加起来，即将弧微分在上作定积分ds , a b ， 2 1 b a Sy dx 又把直线段转化为曲线，就得到了整段曲线的弧长这是整体上“积直为曲” 且 将近似值转化为精确值在这“曲”与“直”或“直”与“曲”的矛盾转换中，我们 的问题就得到了顺利的、圆满的解决 例 10 按定积分定义证明：() a b kdxk ba 证明 对于的任一分割，任取，

27、, a b 01 , n Tx xx 1 , iiii Dxx 相应的积分和为( )f xk 111 ( )() nnn iiii iii fk xkxk ba AAA 从而，可取为任何正数，要使，就有0 T 根据定积分定义有() a b kdxk ba 此外，我们可用积分中值公式 （其中）( )( )() b a f x dxfba ab 或用近似求积公式 计算( )() () 2 b a ab f x dxba f 或用公式 1 ( )() ( )( ) 2 b a f x dxbaf af b 或用公式 1 ( ) ( )()( ) 642 b a baab f x dxf aff b

28、或一般地, 00 ( )()()( ) mm bb k kkkm aa kk f x dxP f xf xQx dx 其中,是由等式 k m Q ， 01 00 ()()() ( ) ()()() k m m kkkm xxxxxx Qx xxxxxx (0,1,)km 所有这些求曲边梯形面积的近似公式，都是用直边形面积代替了曲边梯形的面 积可见“曲”与“直”既是矛盾的，又可以转化为一个统一体 12 例 11 求抛物线与直线所围成平面图形的面积 2 yx230xyA 解 先求出抛物线与直线的交点与，用把图形分为左、右(1, 1)P(9,3)Q1x 两部分，分别求得面积为 11 1 00 4 (

29、)2 3 Axx dxxdx 9 2 1 328 () 23 x Axdx 故面积 12 32 3 AAA 7 积分与微分 积分和微分这对矛盾是数学分析中最基本、最核心的矛盾 一般来说，在数学中，一种运算的出现往往伴随着它的逆运算相应出现有加就 有减，有乘就有除，有乘方就有开方，有指数就有对数等等在微积分运算就有积分 运算 两个相互对立的事物是相辅相成、相互制约的，在一定条件下又可以互相转 化研究和解释这种关系是从本质上了解事物的关键在数学中，对各种运算与逆运 算的相互关需的研究是推动数学发展的一个重要的杠杆 微积分学中最重要的概念是以连续变量的极限来定义的导数与积分 在微分学中，函数在某点处

30、的导数定义为：( )yf xx 00 () limlim xx dyyf xx dxxx AA AA AA 只要在此极限存在，从几何意义上来说，这个极限值就是曲线在曲线点( )yf x 处的切线的斜率由定义，我们可得出基本初等函数的求导公式和求导法( ,( )x f x 则 在积分学中，定积分是如下定义的. 设函数在上有定义，对区间上的任一个分割( )yf x , a b 01 : n T axxxb 及属于它的介点集；记 12 , n 1 max i i n Tx A 若极限 0 1 lim( ) n ii T i fx A 13 存在且分割及介点的取法无关，则称极限值为函数在的定积分记T(

31、 )yf x , a b 为 ( ) b a f x dx 将微分与积分联系起来的就是微积分学基本定理： 设函数在上连续，为的在上的一个原函数，则( )yf x , a b( )F x( )f x , a b ( )( ) x a d f t dtf x dx , xa b 牛顿 - 莱布尼兹公式( )( )( ) b a f x dxF bF a 微积分基本定理不仅把微分与积分作为互逆运算联系起来，它也使我们从微分的 法则中得到了积分的法则例如：有导数的每一公式的逆转得到了相应的积分公式： (1) 由导数运算的线性性质导出了不定积分的线性性质： 定理 7.1 若函数与在区间上都存在原函数，、

32、为两个任意常数，则fgI 1 k 2 k 在也存在原函数，且 12 k fk gI 1212 ( )( )( )( )k f xk g x dxkf x dx kg x dx 这是因为 1212 ( )( )( )( )kf x dx kg x dxkf x dxkg x dx 12 ( )( )k f xk g x （2）由乘积求导法则，得到不定积分的分部积分： 定理 7.2（分部积分法） 若与可导，不定积分存在，( )u x( )v x( ) ( )u x v x dx 则也存在，并有 ( ) ( )u x v x dx ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x

33、 v xu x v x dx 由两边求不定积分，就得到上式( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x （3）由复合函数求导法则，得到到了第一、第二换元积分法： 定理 7.3（换元积分法） 设在上有定义，在上可导，( )g u , ( )ux , a b 且，并记( )x , xa b ，( )( ( )( )f xgxx , xa b 14 （）若在上存在原函数，则在上也存在原函数( )g u , ( )G u( )f x , a b ，即( )F x( )( ( )F xGxC ( )( ( ) ( )( )f x dxgxx dxg u du (

34、)( ( )G uCGxC （）又若，则上述命题（）可逆，即当在( )0x , xa b( )f x 上存在原函数时，在上也存在原函数，且 , a b( )F x( )g u , ( )G u ，即 1 ( )( )G uFuC ( )( ( ) ( )( )g u dugxx dxf x dx ( )( )F xCF xC 其次，运算和逆运算在各自领域又有各自的特征在微积分中，不仅仅是有函数 可积未必可导，而且许多特殊的积分在理论和应用中占有十分重要的地位从而成为微 积分学进一步研究的一个重要内容 8 结束语 数学分析中的常量与变量，离散与连续，整体与局部，有限与无限，一与多，直 与曲，微分

35、与积分等蕴含着丰富的辩证关系，对从学习高等数学中的其他概念也有很 的帮助高等数学内部处处蕴含着辩证思想，数学家在哲学的沧桑巨变中不断成熟， 哲学观点在数学成果下不断进步我们在学习过程中要融入哲学观点，用唯物辩证法 的观点，全面、联系地看待所学内容可以从静态中认识动态、从不变中认识万变、 从局部认识到整体，从有限认识到无限充分运用辩证法思想，培养一定的抽象思维 能力和创造思维能力、逻辑推理能力和自学能力，从这学习中获得对高等数学的综合 印象与系统了解，并在自己的专业上能自如地运用所学的数学知识 参考文献参考文献 1 宋天鉴、张玲：数学分析中的若干矛盾、曲靖师专学报 1996，15(5):913

36、2 宋天鉴、张玲：再谈数学分析中的若干矛盾、曲靖师专学报 3 张玲、宋天鉴：数学分析中的若干矛盾、曲靖师专学报 1998，17(5-6):1923 4 姬春秋、潘伟、王振东：微积分中的辩证思想 2008，1:7171 15 外文摘要外文摘要 CONTRADICTION OF MATHEMATICAL ANALYSIS CHEN Ling-li Abstract: Engels said: “The object of pure mathematics is the real world of space forms and quantity relations.“ Mathematics is

37、 the study that “several“ and “form“ of science. Mathematical analysis is full of contradictions, research and understand the relationship among the various contradictory of unities and opposites, on the understanding of the essence of mathematical analysis plays an important role. In this paper, se

38、veral major contradictions in the mathematical analysis to compare and analysis, focusing on the constants and variables, discrete and continuous, whole and part, finite and infinite, one and the many, straight and curved, differential and integral problem are the embodiment of the mathematical analysis. Key words: Mathematical analysis; Contradiction; Unities and opposites 16