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1、数学建模 教室用电的优化设计摘 要学校教室的资源优化配置问题，是现如今各大学比较普遍的管理问题，教室开放座位数与上自习的学生人数之间始终难以得到协调统一。一方面，学校希望节约用电，提高基本资源的利用率；另一方面，学生希望能在环境较好，人数不多的教室上自习，即学生上自习的满意度要求较高。本文提出了0-1整数规划，多目标规划等两种方法来对教室用电等相关问题进行求解。针对问题一，求解安排开放教室的方案。即以各教室用电的总功率最小为目标函数，建立一个整数规划模型（0-1整数规划，利用LINGO软件进行求解）得到问题一的（教室）开放方案，结果见表1。针对问题二，以节约用电和提高学生的满意程度为目的，重新
2、求解安排开放教室的方案，给出合理的满意程度的度量。即考虑节约用电和提高学生的满意程度，建立了一个多目标整数规划模型。利用“极差标准化法”对教室用电的总功率和学生的满意程度指标进行了标准化处理，最后进行综合加权将多目标转化成单目标。以教室容量，上自习人数，学生满足率，教室满座率和开放的教室集中程度为约束条件，引入分散度，对开放的教室集中程度进行衡量，使决策更具有有效性。运用LINGO软件进行求解，得到了问题二新的（教室）开放方案结果见表6。针对问题三，以节约用电和提高学生的满意程度为目的，求需要搭建的教室的个数和位置。即考虑节约用电，提高学生的满意程度和每个自习区最多只能建一个教室，建立了一个多
3、目标整数规划模型。利用线性权值法将多目标加权优化为单目标的0-1优化问题。以教室容量，上自习人数，学生满足率，教室满座率，开放的教室集中程度和每个自习区最多只能建一个教室为约束条件，然后，运用LINGO软件进行求解，得到了问题三求出需要搭建的教室的个数和位置，结果见表8.关键字：资源优化配置 整数规划 分散度 极差标准化法 LINGO软件1、 问题重述1.1要求近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，即要求提供一种最节约、最合理的管理方法。1.2已知条件管
4、理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00-10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。表1、表2是某学校收集的部分数据：表1 教室相关数据教室座位数灯管数开关数一个开关控制的灯管数灯管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w41935051048w51283621845w61203621845w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w1164273940w122477551545w131904831648w142105051050w1570423144
5、0w16854231440w171924841250w181955051048w191283621845w201203621845w21120364948w221203631245w231103631240w24160364945w2570273940w262567551545w271904831648w282105051050w291904831648w302055051050w311103631240w32160364945w3370273940w342567551545w351904831648w362105051050w371904831648w381904831648w3921050
6、51050w402004831648w411505051050w421504831648w431804831648w4470255550w451204531548w表2 学生区（标号为A）到自习区（标号为B）的距离（单位：米）B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A4324541320466422650306607688A5696616475499386557428684591A64655984074766735733856
7、36552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A10482477441361570580591491522所有数据仅供计算参考.并非完全真实. 1.3需要解决的问题1、假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.2、假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，
8、按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3、假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教
9、室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。二、问题分析考虑问题的题设条件和要求，要解决的是学校自习教室的资源优化配置问题，在满足每题要求的前提情况下，设计出教室开放的最节约，最合理的优化方案，从而达到节约用电并且满足同学们需求度，资源优化配置问题是一类典型的规划问题，对于规划问题的求解步骤基本是：第一步，建立目标函数；第二步
10、，搜索约束条件；第三步，对规划函数进行求解。2.1 对问题一的分析问题问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的，即以节约用电为目标，通过安排是否开放教室，设计出一个最优化的合理方案。因此可以引入0-1变量，运用整数规划模型建立目标函数，再以题目中需要上自习的同学满足程度即满座率要求得出约束条件，最后用LINGO编程求解出教室管理安排的最优方案。2.2 对问题二的分析问题要求给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。即首先考虑第一区的教室数是否满足学生上自习的人数，然后建立目标函数，求出最优解，并且考虑两个方面，一是对学校来讲，节约用电是最优
11、目的，即所使用电的总功率最小；二对于学生来说，应该尽可能的提高学生的满意度，达到学生的需求。对于学生的满意度的度量问题，我们以宿舍区和自习区的距离来度量满意度，对于开放同区的教室，引入分散度的概念来进行规划，将用电量与学生满意度加权之差最小作为目标函数，建立0-1规划模型，利用Lingo软件对其求解。2.3 对问题三的分析问题问需要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。由于临近考试，学生上自习的人数增加，满意程度增大，用电量与满意度的模型同问题二，根据问题三的要求，每个自习区最多只能建一个教室，对此建立0-1规划模型，则问题三转化为一个多目标的整数规划问题
12、。将用电量、满意度与每个自习区最多只能建一个教室加权优化为单目标的0-1优化问题，并以此为目标函数，利用Lingo软件对其求最优解。3、 模型假设1、全校学生是否上自习是相互独立事件；2、假设教室所有的座位完好，且环境相同，不存在同学愿不愿去坐的状况， 每位同学仅占一个座位；3、假设教室的灯管都完好，如果一个教室被使用，即将教室内所有灯管全 部打开；4、假设学生去上自习概率不受外界客观因素的影响，如天气，病假等；5、假设学生到各个教室的意愿相同，无不想去的教室；6、假设学生上晚自习的时间相同，不存在早退晚回的情况；7、需搭建教室时，忽略不同型号教室之间搭建费用的差异；8、假设仅考虑正常上课的情
13、况，不考虑假期教室空闲、临近考试阶段紧张 复习等因素；9、所有同学都有一个相同的满足的标准，即在满座率低于一定水平时认为 得到满足。四、符号定义与说明符号定义与说明第个教室是否开放（0表示不开放，1则表示为开放）开放的第个教室的座位数开放的第个教室的灯管数开放的第个教室每只灯管的功率从宿舍区到自习区的学生人数从宿舍区到自习区的学生满意度总体学生满意度第个教室的满座率第个教室的用电量5、 模型的建立与求解5.1问题一模型建立和求解5.1.1模型建立学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时
14、尽量不超过90%，问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。设表示学生满足率、表示第个教室的满座率，代表所有开放的教室消耗的电功率，考虑到用电的总功率与开放教室的方案有关，同时用0-1规划模型来确定教室开放的方案，所以建立如下模型的目标函数：首先，目标是达到节约用电的目的，即目标函数应该为。然后，需要上自习的同学满足程度不低于95%，即上自习的人数至少为人。 最后，需要满足的限制条件为开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%，即即整数规划模型为：目标函数：约束条件：5.1.2模型求解根据题目中建立的整数规划模型，运用LINGO软件进行编程求解，可以得到45个教室的开放情况及教室的满
15、座率如下表1所示：表1 各个教室的开放情况及教室的满座率情况教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率100.901010.901910.902810.903710.90200.851100.852010.902910.903810.90310.901210.902110.903010.903910.90410.901310.902210.903110.894010.90510.901410.902310.893210.904100.87610.901500.852410.903300.854200.90710.901600.852510.883
16、410.904310.90810.901710.902610.903510.904400.80910.901810.902710.903610.904500.80其中，开放情况中0表示对应教室关闭，1表示教室开放。总共开放教室35个，占教室总数的77.78%，其中第1，2，11，15，16，33，41，42，44，45教室关闭，开放的教室消耗的最少电功率为74093.0W。5.2问题二模型建立和求解5.2.1模型建立首先，对满意度做一个合理的规定。如果纯粹用路程的倒数来作为满意度的衡量未免有失偏颇，所以假设在每个宿舍区的学生到各个自习区都有一个最大满意度，并把这个度量规定为1，即表示每个同学都
17、有一个最满意的自习区，当满意度的量值为1 的时候学生们最满意。如果学生不是最满意， 则满意度将小于1。又将某个宿舍区到最近的一个自习区的学生满意度定为最大，这个宿舍的学生到其他自习区的满意度为这两段路程的比值。举例如下表表2所示：表2 满意度举例B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326满意度395/3551305/658305/380305/419305/565305/414305/488305/326则依据以上对学生上自习满意度的度量标准可得各个宿舍区到各个自习区的学生满意度。如下图图一所示，对应的学生满意度表如表3所示。表3 从A宿舍区
18、到B自习区的学生满意度表B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.85921.00000.466350.80260.72790.53980.73670.62500.9356A20.56120.73170.83160.77080.89860.82451.00000.73310.6457A30.75000.69061.00000.84960.62640.67130.79340.72870.6214A40.98770.59151.00000.68670.75830.49231.00000.52720.4651A50.55460.62660.81260.77351.00000.69300.90190
19、.56430.6531A60.82800.64380.94590.80880.57210.67191.00000.60530.6975A70.87850.81200.57270.56340.69420.58680.64660.97801.0000A80.71761.00000.67180.53230.90500.97130.55960.56170.9967A91.00000.81650.57380.95050.68680.55520.52300.53210.9192A100.74900.75680.81861.00000.63330.62240.61080.73520.6916下来对满意度作如
20、下规定：表示从第宿舍区到自习区的学生人数；表示从宿舍区到自习区的学生满意度；设满意度的函数指标为，每个学生从宿舍区到自习区的满意，其中可由从 A 宿舍区到 B自习区的学生满意度表表三查得。最后，再设为从宿舍区到自习区的学生人数。规定满意度的指标函数等于所有上自习学生的满意度之和，即：用电量指标的目标函数与模型一相同。而模型二考虑了两个目标，为了同时使用电功率和满意度达到最优，定义一个综合指数作为和的衡量标准，这里使用的是线性权值法。但是由于不同的指标性质不同，量纲不同，之间不具有可比性和可加性。为了得到一个实用性更强的资源配置模型，将各指标抽象成同质的统一标准化指标进行加权处理，得到单一目标。
21、先对用电量指标进行标准化，采用的是极差标准化法： 是各教室的用电量，表示标准化后的各教室的用电量。则可计算得到标准化后的各教室用电量，如下表4所示。表4 标准化后的各教室的用电量(15)0.2610.2610.5750.5750.235(610)0.2350.2820.2350.1570.235(1115)0.0001.0000.5330.6190.261(1520)0.2610.5750.5750.2350.235(2125)0.2820.2350.1570.2350.000(2630)1.0000.5330.6190.5330.619(3135)0.1570.2350.0001.0000.
22、533(3640)0.6190.5330.5330.6190.533(4145)0.6190.5330.5330.0740.471再对学生满意度指标进行标准化：表示从宿舍区到自习区的学生满意度；表示标准化后的学生的满意度，如下表表5所示。表5 学生满意度标准化B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.74610.0330.6440.5090.1710.5250.3240.883A20.2090.5160.6960.5870.8170.68310.5190.361A30.5490.44210.7290.3270.4080.6270.5110.318A40.8990.2170.9210.3810
23、.5040.04610.1060A50.1970.3270.6620.59210.4470.8230.2150.375A60.6900.3580.9020.6550.2290.40910.2890.455A70.7810.6610.2300.2130.4490.2550.3630.9601A80.49110.4080.1570.8280.9480.2060.2100.994A910.6690.2320.9100.4350.1980.1400.1570.854A100.5470.5620.67310.3390.3190.2990.5230.444现在定义和分别为用电功率和学生满意度的权值，有如下
24、目标函数关系式：即：下来我们找出相应的约束条件：1、 若表示这个教室开放；反之表示这个教室不开放2、 因为从每个宿舍区到各个不同的自习区上自习的人数等于现在所有开放 的教室所容纳的人数，所以有如下关系： 3、用表示学生能上自习的满足率，根据已知条件有： 4、用表示第个教室的满座率，根据已知条件有： 5、假设每个宿舍区人数相等均为800人，而上自习的可能性为0.7，则每 个宿舍区需要上自习的学生为560人；且有到各个自习区的第宿舍的 人数之和为，应等于第宿舍区上自习的人数。即满足关系： 6、去每个自习区的人数不能超过其最大容量与满座率的乘积。去每个自习 区的人数为，第个自习区的最大容量与满座率的
25、乘积 ，则对于第个自习区来说，它满足的关系为： 7、另外题目要求尽量安排开放同区的教室，据此定义为自习区教室的 分散度，然后定义为第个自习区的教室开放比例，因为每个区 有5个教室，所以的取值只有 5个，即 下面说明的值怎么确定： 第自习区开放的教室数量为，那么第自习区的开放比例为由此，可以确定所有开放教室的分散度为：由于当开放教室的数量一定，即是定值。因为所有之和为定值，所以之积越大，则说明之间的差异越小，也就是说教室的开放越分散；反之，之积越小，分散度越小，说明之间的差异越大，表示开放的教室越集中。即建立如下数学模型：这里的表示可以承受的最大分散度，计算的时候可以给它赋予一定的值，以此来求出
26、教室开放的方案。 求解时，学校安排教室最主要的目的是节约用电，所以教室的用电量占的权重较大，分配为0.6，其次考虑学生满意度的问题，分配权重为0.4。5.2.2模型求解对以上模型利用 Lingo软件求解，由于本题中的分散度没有指定要求，先指定当分散度为 0.1的时候，教室的开放情况及各个教室的满座率方案如下表6所示：表6 教室的开放情况及各个教室的满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率教室开放情况满座率110.8910001910.902810.903710.90210.9011002010.902910.893810.90310.901210.9021
27、10.903010.903910.90410.901310.892210.903110.904010.90510.901410.902310.903210.904110.9060015002410.903310.894210.907001610.902510.903410.904310.90810.901710.902610.903510.9044009001810.902710.903610.904510.90各个宿舍区A到各个自习区B的学生人数如下表7所示： 表7 各个宿舍区A到各个自习区B的学生人数B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10104001111446A21111035311
28、961A30040341101460A4224017301115510A5111051635001A600041154810A711010005511A811110551000A93710188111191A1000154911120合计599108581648521945707899540综合表6，表7可得，共开放教室38个，与模型一求解的结果相比多增加开放了3个教室，在45个教室中，第6,7,9,10,11,15,44教室关闭，可以看出6，7，9，10属于第2自习区，即符合题中的尽量安排开放同区的教室。每个自习区在满足自习人数的条件下，B1自习区有599名学生上自习； B2自习区有108名
29、学生上自习；B3有581名学生上自习；B4有648名学生上自习；B5有521名学生上自习；B6有945名学生上自习；B7有707名学生上自习；B8有899名学生上自习；B9有540名学生上自习。5.32问题三模型建立和求解首先构造新建教室所在位置的决策矩阵，其中决策变量表示教室建立在第区，并且与第区的某个教室规模相同；表示教室不建立在第区，或不与其中教室规模相同。关于用电功率部分的目标函数同模型5.1，5.2；学生满意度部分的目标函数同模型5.2。下面来找出相应的约束条件：根据问题要求，搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），则需满足：要
30、使用电功率，满意度与搭建的教室的所产生的综合指数要求达到最优，分析可知搭建的教室所产生的用电功率的权值与模型二中用电功率权值相同，仿照模型二建立模型，这里使用线性权值法。搭建的教室所产生的用电功率为：综合模型二建立模型三，即有如下的目标函数：总的模型三的数学模型为：对以上模型利用 Lingo软件求解，可得至少要搭建7个教室，搭建的位置如下表表8所示：（0表示不搭建，1表示搭建）表8 所需搭建教室的位置自习区1自习区2自习区3自习区4自习区5自习区6自习区7自习区8自习区9第1教室000000000第2教室001000000第3教室110100001第4教室000010100第5教室000000
31、000由表可知在自习区6和8中不需要搭建教室，其他自习区均需要搭建一个教室位置如上表所示，例如对于自习区1要建立一个同第3个教室一样规格的教室。六、模型评价及推广6.1 模型优点1、 引入了“分散度”的概念，很好的衡量了教室的集中性问题；2、 合理的将宿舍区和教室之间的距离问题转换为学生的满意度来衡量；3、 运用极差标准化将用电量与学生满意度进行了统一，简化了问题的求解过程； 4、以用电总功率最小为目标函数建立优化模型，采用0-1整数规划模型进行求解，并且利用LINGO软件编程得到比较合理的教室开放方案，此方法计算复杂度低，合理性强，并能够达到优化目的；而且模型比较简洁。6.2 模型缺点1、将
32、多目标优化问题加权规划成单目标优化问题，确定各目标的权值时人为的对各因素条件赋予不同权值，即主观性比较强。 2、对问题没有考虑周全，缺乏严谨性。7、 模型的改进与推广本文的模型针对此题目做出了详细的解答，原因是考虑因素少、约束条件明确，但还需考虑许多细致的约束条件；对于将多目标优化问题加权规划成单目标优化问题，确定各目标的权值时，可以采用层次分析法来确定各权值；此模型可以应用到很多地方，例如校园路灯的问题，商品的买卖，物体的存储等各个方面。八、参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社,2003.2 赵静,但琦.数学建模与数学实验.高等教育出版社,2000.3 谢金星,薛毅.优化建模与LINGO/LINGO软件.北京：清华大学出版社， 2004.4 张兴永.数学建模简明教程.江苏徐州:中国矿业大学出版社,2001.15