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1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西北民族大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 白建雄 2. 李杰 3. 杨翠娥 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 黄景廉 薛亚婷 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要本文针对医院按先来先服务安排病床所导致的资源无法充分利用，以及病人
3、等待时间过长的缺陷，提出了多阶段动态规划的病床合理安排模型。该模型以一个周期内最大的治疗病人数量作为模型的评价指标体系。由于各类病人治疗时间长短的不同，为达到治疗病人人数的最大化，根据帕累托最优原则，优先安排治疗时间短的病人住院。由原始数据统计分析得出病人入院的安排顺序依次为外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病病人，分别作为动态规划模型的各个阶段，来分配周期内空余的病床数，最终达到整个过程的总体最优目标。模型的求解使用VC编程实现，求解结果优于FCFS。根据动态规划的病床合理安排模型的求解结果，可预测出门诊病人的大致入院时间。考虑到住院部周六、周日不安排手术，各类病人的住院治疗
4、时间会有所改动。利用概率的方法求得一个周期内的各类病人的平均住院治疗时间，确定出医院的手术时间安排不作调整。对于医院病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，由于每类病人一天到达医院门诊的人数服从参数为泊松分布，住院的时间服从负指数分布，将整个医院系统安病种划分为五个相互独立的 系统，利用排队论的理论，以所有病人在系统内的平均逗留时间最小为目标函数，建立了一个非线性规划模型，模型的求解使用MATLAB7.0编程实现。关键词：病床安排；动态规划；多阶段决策；系统210. 问题的提出某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤
5、。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与
6、其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题
7、二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。1. 问题的分析从等待时间上分析医院系统对各种病的影响。设用时短的病的到达率和服务率分别为，用时长的到达率和服务率为，且两者都服从泊松分布，可以证明二者的合成仍是泊松过程，其到达率平均服务时间为: 从而有: 一般来说，用时短的病的服务时间远小于用时长的服务时间。先来先服务调度策略响应时间R为：其中：由于中包含了,所有病的平均住院时间相同，用时短的病在系统
8、中的驻留平均时间与用时长的病的驻留平均时间相同，这对用时短的病是不利的，同时降低了服务效率和资源的有效利用。为了提高医院的服务效率和资源的有效利用，需合理安排病床。经过对原始数据的统计分析，得出以下信息。表 1.1 处理时间表编号病人种类病人总数在总体中的比例平均等待时间平均住院时间平均准备时间平均观察时间1外伤6363/52706.036364052白内障（单）101103/52711.683544.236111113白内障（双）130130/52711.682697.560976124青光眼6363/52711.31259.48718175视网膜疾病168168/52711.7238811
9、.5445528 表 1.2各类病人频数统计表各类病人频数每天到达人数01234567外伤病人频数21211540000白内障（单）病人频数9231675100白内障（双）病人频数61914116410青光眼病人频数20251303000视网膜病人频数216111111811通过对表1.2的分析，可得各类病人数分布情况表。表 1.3 各类病人数分布情况表病人种类外伤白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病是否服从泊松分布服从服从服从服从服从参数63/61101/61130/6163/61168/61通过以上数据分析，病床的合理安排主要为提高对医院资源的有效利用，而病人的到达以及病人的出院是动态
10、的，因此采用动态规划的方法建立病床合理安排的数学模型，一个周期内最大的治疗病人数量作为模型的评价指标体系，由于各类病人治疗时间长短的不同，为达到治疗病人人数的最大化，优先安排治疗时间短的病人住院，由表1.1可以得出病人入院的安排顺序为外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病病人，分别作为动态规划模型的各个阶段，来分配周期内空余的病床数。根据动态规划的病床合理安排模型的求解结果，可预测出门诊病人的大致入院时间。考虑到住院部周六、周日不安排手术，会影响到各类病人的住院治疗时间，用概率的方法求出的各类病人的平均住院治疗时间，以确定是否需要调整手术时间安排。对于医院病床安排采取使各类病人占
11、用病床的比例大致固定的方案，可将整个医院系统划分为五个相互独立的 系统，从而利用排队论的理论建立一个非线性规划模型，使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短。2.模型的假设1）每种病的住院时间是一定的；2）住院时间分成多个周期，在各周期内，假设病人看成是一次性的到来；3）在每个周期内可以空出的病床数中按照每种病的性质（急诊与非急诊）和同种病症按照住院时间的长短来分配病房；4）当病床以固定比例分配后，每一类病人只能占用分配给该类病人的病床，不允许一类病人使用分配给另一类病人的病床，并且病床间相互独立；5）每类病人一天到达医院门诊的人数服从参数为（）泊松分布，即：病人以最简单流到达医院门诊；6）各类
12、病人在医院住院的时间（入院到出院）服从负指数分布，一个病床上一天平均住院完的病人数为。3.符号说明1) T：住院时间分成多个周期，其中的一个周期；2) S：在周期T内空出的病床数；3) M：医院总的病床数；4) :在周期T内各阶段空出的病床数, 其中；5) :分别代表外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼和视网膜疾病病人的住院时间，其中；6) : 分别代表周期T内外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼和视网膜疾病的等待住院的人数，其中；7. ：各类病人一天到达医院门诊的平均人数，其中；8. ：各类病人在医院的平均住院时间，其中。4. 病床合理安排模型的建立与求解4.1病床合理安排模型的建立
13、问题一：一个周期内安排的最大病人数作为模型的评价指标。问题二：病床合理安排模型的建立为了使病床的利用达到最优，根据帕累托最优原则可知将住院时间从小到大排列可以降低整体占据床位的天数，这样就会在周期T内增加住院的人数，然而，考虑到急诊病应最早入院，所以应按照每种病的性质（急诊与非急诊）和每种病症按照住院时间的长短来分配病房。根据表1.1，得出安排病人的先后顺序为外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病。进而可得如下的阶段过程： 图 1 阶段划分过程图每一阶段所分配的病床数即为该阶段的决策。各个阶段的决策有很多种，当考虑到资源的有效利用时,决策顺序应为，各个阶段可供分配的病床数为，即为
14、各个阶段的状态。根据决策顺序，对于在第T周期空出的床位数S，我们应在第一阶段安排外伤的入住。则剩下的空床数为。在第二阶段由于在第一阶段入住的外伤可能在第T周期内出院继而增加空床数，所以在模型中增加一个辅助函数f判断其是否出院，再安排入住。建立如下模型： 其中（周期为常数）由上术可知，因为周期是常数，进而（）是常数，所以第i阶段的状态与该阶段的决策一旦确定，则下一阶段的状态就完全确定，上一阶段的可用床数与实际已用床数完全决定着下一阶段的可用床数。4.2模型的求解及检验模型的求解采用VC编程实现，程序见附录一，结果见附录二。 结果说明如下：一个周期为7天，随机抽取7月27号至8月2号为一个周期。在
15、周期内各类病人等待人数如表2.1所示。表 2.1 一个周期各类病人等待人数表外伤白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病111316819若按照每种病的性质（急诊与非急诊）和同种病症按照住院时间的长短来分配病房。则在7月27号至8月2号这个周期内空出的病床数为17。在第一时间先安排外伤的病人入住，即11例外伤病人入住，剩下的6个床位安排白内障（单）病人入住，因为613,所以在第二时期可以安排6例白内障（单）病人入住。由于白内障（单）病人入住的住院时间为4天，小于周期T=7天，这样就会在第五天空出6个床位来安排后面的病人入住，所以在第5天时安排6个白内障（单）病人入住，又因为外伤的住院时间为6天
16、，小于周期T=7天。所以在第六天时安排剩下的1个白内障（单）病人入住，同时安排10例白内障（双）病人入住。所以在周期T内总共有11+13+10=34个病人分到了床位，而按照FCFS规则有17+3个人分到了床位，共有有34个病人住院。而采用FCFS原则安排的病人数为20人，所以此方法提高了病床的利用率，此模型比FCFS更优。图2 两种分配方法比较图问题三：病人大致入住时间的预测根据上面所建的病床安排模型，我们将周期T定位一天，则平均一天内出院的人数为,外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病在一天当中平均等待的人数分别为。则其入院时间与其上阶段入住的人数和其上阶段剩余的病床数（同种病
17、之间是先来先服务规则进行病床分配）有关。按照病床安排模型建立前的分析，我们可以得到如下数据：表 2.2 等待入住时间表外伤白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病等待时间（天）1-22-66-148-179-24问题三结果见附录二。问题四：医院手术时间安排不作调整根据帕累托最优原则，模型要求：病床的分配安每种病的性质（急诊与非急诊）和每种病症住院时间的长短来分配。由于每种病的性质是固定的，因此每种病的住院时间是影响模型的可变因素。当医院周六、周日不安排手术，对每种病的住院时间的影响见以下各表，由于模型以一周为周期，因此病人入院时间为星期几的概率为1/7。外伤病人周一周二周三周四周五周六周日P1
18、/71/71/71/71/71/71/7住院时间6666876表 2.3 外伤病人入院时间概率表青光眼病人周一周二周三周四周五周六周日P1/71/71/71/71/71/71/7住院时间t10101012111010表 2.4 青光眼病人入院时间概率表视网膜疾病病人周一周二周三周四周五周六周日P1/71/71/71/71/71/71/7住院时间t12121514121212表 2.5 视网膜疾病病人入院时间概率表这样就有：外伤病人的平均住院时间青光眼病人的平均住院时间视网膜病人的平均住院时间由于该院是每周一、三做白内障手术，周六、日不做手术对白内障病人不影响，因此白内障（单）病人、白内障（双）
19、病人的平均住院时间不变，分别为4、8（舍入值）。由于，外伤属于急诊；安排病人的顺序为：外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病，因此医院安排不作相应调整。5.病床比例分配模型的建立和求解5.1模型的建立根据模型假设，整个医院系统划分为五个相互独立的 系统。设为分配给外伤、白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病病人的病床数，其中由文献3，有以下等式成立. 其中： 其中：显然，五类病人的平均逗留时间为，是关于的函数，其中。为使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短，有如下目标函数：约束条件：1).给各类病人分配的病床说等于医院总的病床数，即有：2).为避免各类病人在各自系统无限等
20、待下去，需使得：，又显然，即有：问题五：病床比例分配数学模型。病床比例分配数学模型如下：求得最优解（），即为病床的分配比例。5.2模型的求解根据表1.1、表1.7（舍去小数位）可知：；。通过MATLAB7.0编程对模型进行求解，程序见附录三，程序结果如表3.1所示。 表 3.1 输出结果表8.35518.478817.235011.856633.074由于病床数为整数，对数据作适当调整，通过比较得出最优解。表 3.2 输出结果比较表目标值981712338.3743-891712338.3544最优解881812338.3922-881713338.4228-881712348.4058-;即
21、：对外伤病人、白内障（单）病人、白内障（双）病人、青光眼病人、视网膜疾病病人，病床分配的比例为。6.模型的评价与改进本文通过合理的假设，充分考虑各方面的限制条件，采用动态规划的方法，建立了一个周期内病床合理安排的数学模型，该模型实现了病床的最大利用，结果优于FCFS算法，对医院资源安排有一定的指导作用，具有实际应用价值。在建模过程中，作了一定的假设，没有充分考虑一个周期内病人陆续到达数，因此安排结果不够精确，需要从病人的随机到达方面做相应的改进。参 考 文 献1 谭凯波，基于动态规划的图书馆经费最优分配J.图书情报工作.2009年第9期.2 姜启源,数学模型（第三版）M，北京：高等教育出版社，
22、2003年3 刁在筠，刘桂真，宿洁，马建华,运筹学（第三版）M.高等教育出版社.2007年.270173页4 曹卫华，郭正，最优化技术方法及MATLAB的实现M.化学工业出版社.2005年附录一程序1#includemain()int i,j,T,S,F,x5,t5,s5,f5;F=0;scanf(%d,&S);scanf(%d,&T);scanf(%d,&t1);scanf(%d,&t2);scanf(%d,&t3);scanf(%d,&t4);scanf(%d,&t5);scanf(%d,&x1);scanf(%d,&x2);scanf(%d,&x3);scanf(%d,&x4);scan
23、f(%d,&x5);s1=S-x1;for(i=1;i6;i+)if (ti-T0)fi=1;F=F+xi;else fi=0;si+1=si +fi*xi-xi+1;if (si=0);printf(%d,S+F);附录二对不同病人住院时间的预测1视网膜疾病2008-8-152008-8-292008-8-31/2008-9-92视网膜疾病2008-8-162008-8-292008-8-31/2008-9-93白内障(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-74青光眼2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-95视网膜
24、疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-136视网膜疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-137白内障(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-88视网膜疾病2008-8-192008-9-22008-9-4/2008-9-149视网膜疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-1510白内障(双眼)2008-8-192008-9-32008-9-82008-9-102008-9-1111白内障(双眼)2008-8-192008-9-32008-9-82008
25、-9-102008-9-1112视网膜疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-1513白内障2008-8-192008-9-42008-9-8/2008-9-814视网膜疾病2008-8-192008-9-42008-9-6/2008-9-1615视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1616视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1617视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1618视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008
26、-9-1619白内障(双眼)2008-8-202008-9-42008-9-82008-9-102008-9-1220视网膜疾病2008-8-212008-9-52008-9-7/2008-9-1721白内障(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-1322白内障(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-1323视网膜疾病2008-8-222008-9-52008-9-7/2008-9-1824青光眼2008-8-232008-9-52008-9-7/2008-9-1425青光眼2008-8-232
27、008-9-52008-9-7/2008-9-1426白内障(双眼)2008-8-232008-9-52008-9-82008-9-102008-9-1327视网膜疾病2008-8-232008-9-62008-9-9/2008-9-1928白内障(双眼)2008-8-232008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1429白内障(双眼)2008-8-232008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1430青光眼2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1531视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008
28、-9-1932白内障(双眼)2008-8-242008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1433视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1834视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1935白内障(双眼)2008-8-242008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1436青光眼2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1537视网膜疾病2008-8-252008-9-62008-9-9/2008-9-1838视网膜疾病2008-8-252008-9-62
29、008-9-9/2008-9-1839青光眼2008-8-252008-9-62008-9-9/2008-9-1640白内障(双眼)2008-8-252008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1441白内障(双眼)2008-8-252008-9-72008-9-82008-9-102008-9-1442视网膜疾病2008-8-262008-9-72008-9-9/2008-9-2143白内障2008-8-262008-9-72008-9-8/2008-9-1244白内障(双眼)2008-8-262008-9-72008-9-82008-9-102008-9-1645视网膜
30、疾病2008-8-262008-9-72008-9-9/2008-9-2146视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2347视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2348白内障2008-8-272008-9-82008-9-10/2008-9-1449视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2350白内障(双眼)2008-8-272008-9-92008-9-152008-9-172008-9-2351视网膜疾病2008-8-282008-9-92008-9-11/2008-9
31、-2152白内障2008-8-282008-9-92008-9-10/2008-9-1353白内障(双眼)2008-8-282008-9-102008-9-152008-9-172008-9-1554视网膜疾病2008-8-282008-9-102008-9-12/2008-9-2255视网膜疾病2008-8-282008-9-102008-9-12/2008-9-2256视网膜疾病2008-8-282008-9-102008-9-12/2008-9-2257白内障(双眼)2008-8-282008-9-102008-9-152008-9-172008-9-1858白内障(双眼)2008-8-
32、282008-9-102008-9-152008-9-172008-9-1859青光眼2008-8-282008-9-92008-9-11/2008-9-1860青光眼2008-8-292008-9-102008-9-12/2008-9-1961视网膜疾病2008-8-292008-9-102008-9-12/2008-9-2262青光眼2008-8-292008-9-102008-9-12/2008-9-1963白内障(双眼)2008-8-292008-9-102008-9-152008-9-172008-9-1864视网膜疾病2008-8-292008-9-102008-9-12/2008
33、-9-2265白内障2008-8-292008-9-112008-9-15/2008-9-1566白内障(双眼)2008-8-292008-9-112008-9-152008-9-172008-9-1967白内障2008-8-292008-9-112008-9-15/2008-9-1568白内障(双眼)2008-8-292008-9-112008-9-152008-9-172008-9-1969视网膜疾病2008-8-302008-9-112008-9-13/2008-9-2370白内障2008-8-302008-9-112008-9-15/2008-9-1571视网膜疾病2008-8-302
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36、2008-9-87白内障2008-8-312008-9-132008-9-15/2008-9-208青光眼2008-8-312008-9-102008-9-13/2008-9-209白内障(双眼)2008-8-312008-9-112008-9-162008-9-182008-9-2110视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2411视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-15/2008-9-2412视网膜疾病2008-8-312008-9-122008-9-14/2008-9-2513青光眼2008-8-312008-9-1020
37、08-9-13/2008-9-2014白内障2008-8-312008-9-112008-9-15/2008-9-2015视网膜疾病2008-9-12008-9-122008-9-14/2008-10-116视网膜疾病2008-9-12008-9-122008-9-14/2008-9-2417青光眼2008-9-12008-9-92008-9-15/2008-9-2218白内障(双眼)2008-9-12008-9-82008-9-202008-9-182008-9-2919白内障(双眼)2008-9-12008-9-72008-9-21/2008-10-220白内障(双眼)2008-9-120
38、08-9-92008-9-20/22008-9-2821视网膜疾病2008-9-12008-9-122008-9-21/22008-10-222白内障2008-9-12008-9-102008-9-13/2008-9-2423视网膜疾病2008-9-12008-9-112008-9-15/2008-9-2824视网膜疾病2008-9-12008-9-142008-9-17/2008-9-2925白内障2008-9-22008-9-122008-9-19/2008-10-326白内障2008-9-22008-9-92008-9-18/2008-9-2827白内障(双眼)2008-9-22008-9-122008-9-212008-9-2322008-10-228白内障2008-9-22008-9-102008-9-13/2008-9-2029视网膜疾病2008-9-22008-9-112008-9-15/2008-92530视网膜疾病2008-9-32008-9-142008-9-27/2008-10-631视网膜疾病2008-9-32008-9-122008-9-25/2008-10-732白内障(双眼)2008-9-32008-9-92008-