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1、 本科毕业论文 题目名称: 关于”函数方程思想”在解题中的应用 学 院: 数学与统计学院 专业年级: 数学与应用数学 学生姓名: 班级学号: 指导教师: 二O一五年五月二十四日摘 要数学思想和方法作为高中数学知识的主要思维方法, 是构成数学基础知识的重要组成部分. 长期以来, 教师就是通过对数学思想和方法的学习来让学生掌握数学的真谛, 理解数学潜在的意义. 从这种角度出发, 我们尝试对数学中常用的函数方程思想进行归纳总结. 首先, 我对目前己有的研究进行相对全面的了解, 然后讨论函数方程思想在中学数学解题中的应用, 主要是在数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何中的应用, 最后讨论函数方程
2、思想方法与其它思想方法之间的联系. 函数与方程思想作为一种重要的思想, 对于中学生数学思维的培养具有重要意义. 关键字: 数学思想方法; 函数与方程思想方法; 函数思想; 方程思想 IAbstractMathematical thought and method as the main thinking methods of high school mathematics knowledge, is constitutes an important part of the basic knowledge of mathematics. For a long time, the teacher
3、is based on the mathematical thought and methods of learning to make students master the true meaning of mathematics and understand mathematical potential significance. From this perspective, we try the function equation is commonly used in mathematics thoughts generalizations. First of all, I prese
4、nt the existent research on relative comprehensive understanding, and then discuss the function equation of thought in the middle school mathematics problem solving application, mainly in the series, trigonometric function and inequality, analytic geometry, the application of solid geometry, finally
5、 discuss functional equations and the connection between the thinking method and other methods. Function and equation thought as an important thought, is of great significance for the cultivation of the middle school students mathematical thinking. Key words: Mathematical thinking method; Function a
6、nd equation method; Function; EquationII目 录摘 要IAbstractII目 录III1. 引 言12.有关”函数方程思想”的概念12. 1基本概念研究12. 2国内外研究现状23.函数与方程思想方法的应用研究43. 1函数与方程思想方法在不同问题中的应用43. 2函数与方程思想方法与其它思想方法的应用联系7结 论13致 谢14参考文献15III1. 引 言在中学数学应用中, “函数”概念是最基础、最根本的, 现实世界中的数量关系是以运动变化的观点来描述的, 所以“函数”通常作为对学生进行素质教育的重要材料. 函数所包含的内容十分广泛, 它的概念和思维方
7、法在数学的各个部分都有体现, 因此它为进一步的学习奠定基础. 函数思想与方程思想有着密切的联系, 无疑函数与方程思想是构建整个中学数学的主旋律, 在数学教学中如果有了函数与方程的观点, 很多问题就迎刃而解, 而没有函数与方程的观点则举步维艰, 函数与方程思想是解决它们的金钥匙. 因此, 教学中我们要重点培育它, 让它成为学生心中的一颗大树, 在他们认知领域中占有一个重要的地位. 近年来, 有很多学者做了关于函数与方程思想和方法的研究, 为我们的学习和教育教学提供了借鉴, 但对于函数与方程在普通数学教学中的实践研究却并不多见. 中学数学把函数方程思想作为主要内容, 在每年的高考数学试题中关于这个
8、知识点都有涉及, 已成为近年来考查的重难点, 所以函数与方程思想在解题中的应用对提高学生的思维能力具有很大的现实意义. 2. 有关”函数方程思想”的概念 2. 1基本概念研究 1. 数学思想学者们对”数学思想”的见解各有不同: 有的把数学思想认为是人们对研究数学对象统一的、本质的认知. 它不仅包含对数学本质的理解, 还包含了对数学基本特性、数学对象以及数学与其他领域、数学和客观世界的联系的认识, 也包含在数学中数学创立新的概念、理论、模型和方法的认识. 有部分学者认为数学思想就是数学观念, 认为数学观念是人类用数学的思维方式来考虑问题、解决问题的自觉意识或者思维习惯, 因此数学思想是用数学理念
9、为中心的对数学关系中最一般规律的认知. 也有部分学者把数学思想理解为对数学事实与理论的本质认识, 同时也是解决和处理函数与方程思想在数学应用中的基本见解, 以及对中学数学重难点知识的总结. 比较以上几种观点, 它们的相同点是: 首先数学思想是一种理性的认识, 是一种“隐数学性”的知识, 因此数学思想在数学定义、定理、方法等理性认识中占据着重要地位, 同时也是对整个中学数学知识点的更深一步提升与总结. 所以,数学思想是每个高中老师都该具备的教学素质, 同时也是学生透过现象看本质的逆向思维的转化. 2. 数学方法数学方法是对一般事物, 我们通常用数学语言表述它的状态、关系和过程, 从而再对它进行推
10、导、演算和分析, 最后总结出对问题的理解判断和预言的方法. 人们通常在活动中主观能动地选择和运用不同的数学手段来达到目的, 所以我们认为数学方法也是人的一种活动. 我们也认为这是对方法的真正理解. 数学家徐利治通过研究发现数学方法可以分为两个方面, 一方面是宏观的, 一方面是微观的. 所以数学工作者在研究数学发展规律的时候, 若研究的数学问题不涉及内在因素, 我们就采用宏观的方法论. 若涉及到数学内在因素, 研究就要遵循一定的方法和数学法则, 我们称之为微观的方法论. 因此, 方法可以理解成人们解决数学问题的策略、途径. 本文所说的数学方法是指数学徐利治的微观方法论中的方法, 所以是研究工作者
11、个人一定要遵循的方法与法则. 2. 2国内外研究现状我们在解决数学问题的过程中应用的数学方法各不相同, 数学家罗建宇认为, 运用函数的概念和性质去解决数学问题是函数的思想. 而通过组建数学模型是方程的思想3. 数学家郑一平认为, 方程思想其本质就是找出数学问题中的等量关系, 进而建立方程, 通过解方程解决数学问题. 数学家王太青认为, 在中学数学中函数思想的运用尤为重要, 函数是中学数学内容的重要组成部分, 高考时也是重点考察的内容, 所以说在中学数学的学习过程中运用函数与方程思想非常重要4. 国外研究表明, 其实函数作为一个备受所有数学家青睐的概念, 它并没有在产生之后就立刻进入到中小学的数
12、学教材中. 国外关于函数思想的研究主要集中在教学实践上, 发现许多学生认为变量一直是数学“变”, 而常量也永远是“常”,对于变量有时“受制”与常量有时“不常”的问题, 在数学上理解不透, 不清楚研究变量必须要通过研究其常量才能实现的道理1.这是因为他们没有以维运用唯物主义的认识论去看待事物的运动发展. 通过以上研究表明: 国内外多数教师认为, 在整个中学数学教材的内容中函数与方程的思想是主要内容, 占有很大比重, 几乎贯穿整个中学数学学习的过程, 能够联系其它的数学知识, 构成数学知识网络, 是中学数学学习的核心思想方法. 3 函数与方程思想方法的应用研究3. 1函数与方程思想方法在不同问题中
13、的应用1. 在不等式中的应用 例3.1 设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当时, , 且, 求不等式的解集. 分析 善于根据条件构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键之一本题通过构造函数, 根据题意明确该函数的性质得出函数的图像, 然后由不等式解集与函数图像间的关系使问题获得解决. 解 构造, 因为时, 所以, 即在上单调递增.因为, 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 有,.所以为R上的奇函数, 所以在上也单调递增.又因为, 所以.则的解集为. 1. 在数列中的应用例3.2 己知等差数列共有项, 其中奇数项之和为, 偶数项之和为, 求公差. 分析 这道题考查的是等差数列的定义,
14、通过解方程组得出结论. 解：设等差数列的首相为，公差为，由题意得，化简得，解得。总结: 给出一道提升题: 若项数为奇数, 且奇数项和为, 偶数项和为, 求数列的中间项和项数. 2.在三角函数中的应用 例3.3 的最小值为, 求的值. 分析 三角函数是高考中考查的重点内容, 与一元一次函数的结合是学生必须要掌握的重要题型. 本题是三角函数包装下的“动对称轴定区间”问题, 涉及了分类讨论和数形结合的思想. 解 因为,令所以在上的最小值为. 因为函数的对称轴为不确定, 所以最小值有可能在端点和顶点三个地方取得. 当时, , 所以, 满足. 当时, , 所以不满足; 当时, , 所以满足. 综上所述,
15、 总结:本题也可以把可能取得最小值的m都求出来然后逐个检验. 其次本题还可以作一些变化:（1)条件变成最大值为;(2)条件变为求的最小值的最值;(3)条件变为求有零点,求实数的取值范围. 3. 在解析几何中的应用几何中的许多问题, 例如直线与二次曲线的位置关系问题, 需要通过解二元方程组才能解决, 这些都涉及到二次方程与二次函数的有关理论. 因此, 把解析几何问题中的解析式看作一个方程, 通过解方程的手段或对方程的研究, 使问题得到解决, 这种思想方法在解析几何试题中经常使用. 例3.4 已知双曲线C: , 设顶点为A, 且上支与直线y=-x相交于P点, 一条以A为焦点, M(0, m)为顶点
16、, 开口向下的抛物线通P, 设PM的斜率为k, 且, 求实数a的取值范围. 解 由双曲线方程知A(0, 1), 则抛物线方程为.由双曲线与直线相交, 解得点P的坐标为(-a, a), 又因为点P在抛物线上, 所以,而MP的斜率为, 所以m=ak+a. 将m=ak+a代入, 得,即 . 根据题意方程在区间上有根. 令, 其对称轴方程为, .所以实数a的取值范围为. 分析: 对于曲线上一些动点, 在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量, 从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系. 此时, 用函数思想与函数方法处理起来十分方便. 4. 在立体几何中的应用例3.5 圆锥的母线长为1, 它和底面
17、所成的角为, 求这个圆锥内接正方体的棱长. 解 如图作轴截面得等腰, 及其内接矩形, 作, 交于. 设内接正方体的棱长为, 则, , 因为 ,.即解之, 得 总结: 在立体几何问题中, 有些问题直接求解比较困难, 通过适当引进未知数, 根据题意列出沟通各量之间的关系式, 通过方程思想来处理. 3. 2函数与方程思想方法与其它思想方法的应用联系1. 与数形结合思想方法的联系中学数学研究的对象可分为两大部分, 一部分是数, 一部分是形, 但数与形是有联系的, 这个联系称之为数形结合或形数结合. 它既是寻找问题解决切入点的”法宝”, 又是优化解题途径的“良方”. 因此我们在解答数学题时, 能画图的尽
18、量画出图形, 以利于正确地理解题意、快速地解决问题. 数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形象思维结合, 通过对图形的认识, 数形结合的转化, 可以培养思维的灵活性, 形象性, 使问题化难为易, 化抽象为具体. 通过 “形”往往可以解决“用”数”很难解决的问题. 高中阶段的初等函数性质的研究都离不开图像, 函数的性质勾勒了函数的图像, 函数的图像体现了函数的性质, 两者联系密不可分, 所以函数的研究来不开数形结合的思想. 运用数形结合, 借助于形象的图形来解题, 对于初次接触此类问题的学生来说, 不仅学得有兴趣, 而且还能加深对用假设法解题的思路的理解
19、, 发展学生的思维能力. 例3.6 求代数式的最小值. 分析 两个根号下均可看成平方和的形式, 可联想勾股定理, 从而构造如图所示的直角三角形. 设线段,作于, 于, 且, , 又设为上一动点, 则, 由勾股定理可得, 问题转化为求的最小值. 作点关于的对称点, 连接交于, 此时最小, 在中, 所以原代数式的最小值为. 说明 本题亦能构造平面直角坐标系, 求代数式的最小值, 相当于要在轴上求一点, 使它到和这两点的距离的和最短, 请同学们自己去思考. 2. 与分类讨论思想方法的联系 在我们所遇到的数学问题中, 每一个数学结论都有其成立的条件和适用的范围, 在解决某一类问题时, 往往在解题中并不
20、能以统一的形式进行研究, 我们可以把所有要研究的问题根据题目条件分成若干类, 转化成若干个小问题来解决分类讨论思想, 往往与函数方程思想具有很强的联系, 函数思想渗透在整个讨论过程. （1）分类对象; （2）确定分类标准; （3）逐类分类, 分别得到阶段性结果; （4)用分级标准进行求解; （5）归纳结论. 在中学数学中, 分类讨论思想方法渗透到每个章节, 分类时要不重不漏, 对问题求解要求细致的过程, 不能出现错误. 例3.7 已知实数, 函数, 若, 求的值. 分析 本题的突破口是和与分段函数的端点, 比较大小, 从而决定带入到分段函数的某一段中去. 解 当时, 而, 所以解得不满足; 当
21、时, 而, 所以解得满足. 例3.8 已知实数, 函数, 若, 求的值. 分析：本题的突破口是和与分段函数的端点, 比较大小, 从而决定带入到分段函数的某一段中去. 解 当时, 而, 所以解得不满足; 当时, 而, 所以解得满足. 3. 与化归转化思想方法的联系化归思想是将一个数学问题, 由难到易, 由繁到简, 由陌生化熟悉的思想, 在研究和解决有关数学问题时, 采用某种手段将问题通过变换使之转化, 进而达到解决, 通常从现有的知识出发, 利用事物之间的相互联系, 化抽象为直观, 化模糊为明朗, 实现这种转化的方法有: 待定系数法, 配方法, 整体法, 图像法, 函数法等. 例3.9 已知关于
22、的方程有唯一解, 求实数的值. 分析:看到这到庭, 你不禁会想: 这道题到底考察什么,这是什么方程. 我学过的那些知识对处理这道题有帮助,题目条件看似简单,其实隐藏了很多的性质,只有经过一番抽丝剥茧才能够突破难点. 解 构造函数, 所以原问题等价于函数有唯一的零点, 因为, 所以为偶函数, 所以的唯一零点为, 即, 所以或检验:当时, , 此时在递减, 在上递增, 所以有且只有一个零点, 所以满足. 当时, , 此时, , 又在上图像连续不间断, 所以在上有零点, 所以此时的零点不唯一, 所以不满足. 综上所述:. 分析 把方程有唯一解等价转化为函数有唯一的零点, 再根据偶函数的性质确定唯一的
23、零点就是, 从而解方程求出的值, 在检验结果的过程中又用到了函数的单调性以及判断函数是否存在零点的方法, 本道题是函数与方程, 划归与转化思想的完美结合. 例3.10 若关于的方程有实数根, 求实数的取值范围. 分析 方程中变量的次方由高到低非常有规律, 怎样变形把问题转化为已知熟悉的问题是关键. 解 当时, 方程不成立, 所以, ; 令, 所以 因为或, 所以总结 高次方程转化为低次方程, 分离参数转化为函数值域问题, 除了最简单的数学问题之外, 几乎都离不开划归与转化, 比如: 函数与方程的相互转化, 指数函数与对数函数的相互转化等等, 所以划归与转化思想方法在数学解题中被广泛运用. 4.
24、 与极限思想的联系极限是微积分中的基础概念, 它指的是变量在一定的变化过程中, 从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋近的值. 微积分的全部内容都涉及到极限思想, 这种思想是微积分中的主要思维模式. 极限是解决导数的工具, 又是解决函数与方程问题的有效手段10 . 极限离不开函数与方程思想, 它以函数与方程思想为基础, 结合数列, 不等式及函数图像, 对变量无限变化的过程进行详细的归纳推理, 总结出一般性的结论. 它们为后续的研究提供了有价值的理论依据. 例3.11 若, , 试证 . 解:令, 则时, . 于是 时第二、三项趋向零。现证第四项极限亦为零。事实上，因，故有界，即，使得结
25、论本文系统阐述了函数与方程思想方法的概念、实践和应用. 经过研究发现思想方法在数学学习中起着非常重要的作用, 学生如果掌握的好对解题一定会很有帮助. 函数与方程思想方法固然很重要, 但是也离不开与其它思想之间的联系. 数学家希尔伯特巴黎研讨会上曾经说过: ”数学学科是一个不可分割的有机整体, 它的生命力正在于各个部分之间的联系; 由此可见, 要想学好数学攻克解题难关就必须要熟练掌握基本知识、方法, 思想方法以及各者之间的联系. 致 谢在论文写作的全过程中, 得到了我的导师李艳红的悉心指导和帮助, 无论是在框架的构建还是在语言的提炼、主旨的把握等方面都给予耐心而且详细的指点. 不仅如此, 导师还
26、在治学作风上给予我深深的教诲, 使我受益匪浅. 在此, 对导师为我的学习与成长所付出的辛勤劳动致以最诚挚的谢意. 同时还要感谢数学与统计学院对我的培养, 感谢数学与统计学院各位老师给我的谆谆教诲, 在这里学到的东西, 对我今后的学习和工作都影响深远. 参考文献1米山国咸. 毛正中, 吴素华译. 数学的精神思想和方法M. 成都: 四川教育出版社, 1986: 14-17. 2赵华. 数学思想与方法在高中数学中的渗透研究D. 苏州: 苏州大学, 2011. 3严华祥. 数学思想与数学教育J. 数学教育学报, 1995, 12: 18-19. 4钟山.高考备考工具书M. 沈阳: 辽宁教育出版社, 2
27、010, 10: 384-386. 5江苏普通高中数学课程标准教学要求(修订稿)M. 南京: 江苏教育出版社, 2013, 08: 60-63. 62013年江苏省高考说明一数学学科M. 南京: 江苏教育出版社, 2013, 06: 90-98. 7罗增儒.数学解题学引论(第2版)M. 西安: 陕西师范大学出社, 2011, 03: 88-89. 8刘佰秋. 函数与方程思想在普通高中数学中的实践研究D. 东北师范大学, 2012. 9周亚萍. 高中数学思想方法研究J. 中华少年(研究亲少年教育), 2013, 6(3): 379-380. 10张伟刚, 严铁毅, 张严听. 专业技术人员科研方法与论文写作M. 北京: 国家行政学院出版社, 2009: 44-45. 15