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1、 关于无约束最优化问题求解的基本研究关于无约束最优化问题求解的基本研究 摘要摘要 无约束最优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题之一，快速 的求解无约束最优化问题，除了自身的重要性以外，还体现在它也构成一些约 束最优化问题的子问题.因此，对于无约束最优化问题，如何快速有效的求解一 直是优化工作者十分关心的事.论文研究求解无约束最优化问题的几种主要的导 数法，并且讨论了这些方法的优缺点以及每种方法的适用范围.同事论文分别对 每种方法给出了具体实例，并对例子进行了 matlab 软件实现 关键词：关键词：无约束最优化; 导数法 ;极值 ; 精确度 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论
2、文) 装 订 线 - 2 - AbstractAbstract Unconstrained optimization numerical calculation method is very active in the field of research, one of the most rapidly solving unconstrained optimization problems, in addition to its importance, is also reflected in some of the constraints that it also constitutes a
3、 sub-problem of optimization problems. Therefore, for unconstrained optimization problems, how fast and effective solution has been optimized workers very concerned about. Thesis for solving unconstrained optimization problems several major derivative method, and discusses the advantages and disadva
4、ntages of these methods as well as the scope of application of each method. Colleagues papers for each method were specific examples are given, and examples of the matlab software Keyword：Unconstrained optimization Derivative method Extremum Accuracy 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 3 - 目录目录 摘要摘要.- 1
5、 - ABSTRACTABSTRACT.- 2 - 第一章第一章 绪论绪论.- 4 - 1.11.1 研究背景与意义研究背景与意义- 4 - 1.21.2 问题阐述及简介问题阐述及简介- 4 - 第二章第二章 无约束问题的极值条件无约束问题的极值条件.- 6 - 2.1.2.1. 无约束极值问题无约束极值问题 .- 6 - 2.22.2 必要条件必要条件- 6 - 2.32.3 二阶充分条件二阶充分条件- 8 - 2.42.4 充要条件充要条件- 8 - 第三章第三章 求解无约束最优化的几种主要方法求解无约束最优化的几种主要方法.- 10 - 3.13.1 最速下降法最速下降法- 10 - 3
6、.23.2 牛顿法牛顿法 .- 15 - 3.33.3 修正牛顿法修正牛顿法 .- 19 - 3.43.4 共轭梯度法共轭梯度法 .- 23 - 3.53.5 变尺度法变尺度法 .- 26 - 结束语结束语.- 37 - 参考文献参考文献.- 38 - 致谢致谢.- 39 - 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 4 - 第一章第一章 绪论绪论 1.11.1 研究背景与意义研究背景与意义 追求最优化目标是人类共同的理想，最优化就是从众多可能方案中选出最 佳方案，以达到最优目标.最优化理论和算法是在第二次世界大战后迅速发展起 来的一门新兴的应用数学分支，它是一门应用性很
7、强的年轻学科.虽然最优化可 以追朔到很古老的极值问题，但是直到 1947 年 Dantzig 提出一般线性规划问题 的单纯形法之后，它才成为一门独立的学科.近三、四十年来随着现代科技的发 展和电子计算机的广泛应用，进一步推动了最优化的迅猛发展及其理论和算法 的研究.现在最优化理论已广泛应用与生产、管理、军事国防、政府决策、交通 运输、经济规划等方面. 无约束最优化计算方法不仅本身有着不少实际应用，而且与约束最优化计 算方法有着紧密的联系：一方面有些处理无约束最优化问题的方法能直接推广 应用于约束最优化问题；另一方面，还可以把一些约束最优化问题转化为无约 束最优化问题来处理.因此从这个意义上讲，
8、无约束最优化计算方法也是处理约 束最优化问题的基本方法. 研究求解无约束最优化问题的有关理论和算法，在近几十年来迅速发展并 且日趋成熟.随着计算机的发展和普遍应用，作为一种有效的最优化方法无约束 最优化方法在工程设计、管理优化、系统分析等方面的应用日益开拓，愈来愈 受到应用部门的重视，所以研究无约束最优化问题的计算方法是意义重大的 1.21.2 问题阐述及简介问题阐述及简介 无约束法指寻求 元实函数在整个维向量空间上的最优值点n f Xn n A 的方法.这类方法的意义在于：虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束 最优化方法可将有约束问题转化为若干无约束问题来求解. 无约束最优化方法大多是
9、逐次一维搜索的迭代算法.这类迭代算法可分 为两类.一类不涉及导数，只用到函数值，称为直接法.另一类需要用目标函数 的导函数，称为解析法.这些迭代算法的基本思想是：在一个近似点处选定一个 有利搜索方向，沿这个方向进行一维寻查，得出新的近似点.然后对新点施行同 样手续，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止.根据搜索方向的取法不 同，可以有各种算法.属于直接型的算法有交替方向法（又称坐标轮换法） 、模 式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等.属于解析型的算 法有：梯度法：又称最速下降法.这是早期的解析法，收敛速度较慢.牛顿法： 收敛速度快，但不稳定，计算也较困难.共轭梯度法：收敛
10、较快，效果较好.变 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 5 - 尺度法：这是一类效率较高的方法.其中达维登-弗莱彻-鲍威尔变尺度法，简称 DFP 法，是最常用的方法.本文主要研究无约束最优化问题中主要的几种解析法 的算法理论，并对各个方法进行了举例分析和 matlab 软件实现. 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 6 - 第二章第二章 无约束问题的极值条件无约束问题的极值条件 2.1.2.1. 无约束极值问题无约束极值问题 考虑非线性规划问题 （2.1） n minRfXX 其中是定义在上的实函数，这个问题是求在维欧式空间的极小 f X
11、 n R f Xn 点，称为无约束极值问题，这是一个古典的极值问题. 2.22.2 必要条件必要条件 为研究函数的极值条件，先介绍一个定理 f X 定理定理 2.12.1 设函数 在点可微，如果存在方向，使，则 f XXd 0fX d 存在，使得对每个，有.00, ffXdX 证明证明 函数在的一阶 Taylor 展开式为fXdX =+d+ T fffXdXXd （2.2） =+ T ff d XXd 其中当时，.0 0 d 由于，当充分小时，在（1.3.2）式中 0fX d d +0, T f Xd 因此存在，使得时，有00, +0 T f d Xd 从而由（2.2）式得出 安徽工业大学安徽
12、工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 7 - . ffXdX 利用上述定理可以证明局部极小点的一阶必要条件. 定理定理 2.22.2 设函数在点可微，若时局部最小点，则梯度 f XXX =fX0 证明证明 用反证法，设，令方向，则有 0fX d=fX- 2 =0 TT ffffXdXXX- 根据定理 2.1，必存在，使得当时，成立00, ffXdX 这与是局部极小点矛盾X 下面，利用函数的 Hesse 矩阵，给出局部极小点的二阶必要条件 f X 定理定理 2.32.3 设函数在点处二次可微，若是局部极小点，则梯度 f XXX ，并且 Hesse 矩阵半正定 0fX 2 fX 证明证明
13、 定理 1.3.2 已经证明，现在只需证明 Hesse 矩阵半正 =fX0 2 fX 定. 设是任意一个维向量，由于在处二次可微，且，则有dn f XX fX0 ， 2 22 1 =+ 2 T fffXdXdX dd 经移项整理，得到 （2.3） 2 2 22 1 2 T ff f dXdX dX d 由于是局部极小点，当充分小时，必有x ffXdX 因此由（2.3）式推得 ， 2 0 T fdX d 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 8 - 即是半正定的. 2 fX 2.32.3 二阶充分条件二阶充分条件 下面给出局部极小点的二阶充分条件 定理定理 2.42.4
14、 设函数在点处可微，若梯度，且 Hesse 矩阵 f XX fX0 正定，则是局部极小点. 2 fXX 证明证明 由于在的二阶 Taylor 展开式为 ,fX0 f XX （2.4） 2 2 1 2 T fffXXXXXXXXX 设的最小特征值为，由于正定，必有 2 fX min 0 2 fX 2 2 min T fXXXXXXX 从而由（1.3.4）式得出 2 2 min2 1 2 ff XX XXXX XX 当时，因此存在的邻域，当XX 2 2 0 XX XX X,NX 时，即是的局部极小点,NXX ffXXX f X 2.42.4 充要条件充要条件 前面的几个定理分别给出无约束极值的必要
15、条件和充分条件，这些条件都不是 充分必要条件，而且利用这些条件只能研究局部极小点.下面在函数凸性的假设 下，给出全局极小点的充分必要条件 定理定理 2.52.5 设是定义在上的可微凸函数，则为全局极小点 f X n A n XAX 的充分必要条件是梯度 fX0 证明证明 必要性是显然的，若是全局极小点，自然是局部极小点，根据定理X 1.3.2，必有. fX0 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 9 - 现在证明充分性，设，则对任意的，有 fX0 n XA ，由于是可微的凸函数，则有 0 T fXXX f X ， = T ffffXXXXXX 即是全局极小点X 在上述
16、定理中，如果是严格凸函数，则全局极小值是唯一的 f X 上面介绍的几个极值条件，是针对极小化问题给出的，对于极大化问题，可 以给出类似的定理 例例 2.12.1 利用极值条件解下列问题 2 222 1121 min12 def fxxxxX 先求驻点.由于 ， 3 11 1 422 f xx x 2 2 2 f x x 令，即 fx0 3 11 4220xx ， 2 20x 解此方程组，得到驻点 . 12 ,1,0 T T x xX 再利用极值条件判断是否为极小点，由于目标函数的 Hesse 矩阵X ， 2 21 1220 02 x f X 由此可知 . 2 100 02 f X 显然为正定矩
17、阵，根据定理 1.3.4，驻点是局部最小点 2 fX1,0 T X 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 10 - 第三章第三章 求解无约束最优化的几种主要方法求解无约束最优化的几种主要方法 3.13.1 最速下降法最速下降法 最速下降法又称为梯度法，是 1847 年由著名数学家 Cauchy 给出的，它 是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得 到的，因此它是最优化方法的基础.作为一种基本的算法，他在最优化方法中占 有重要地位. 3.1.13.1.1 最速下降法的算法原理最速下降法的算法原理 最速下降法的搜索法向是目标函数的负梯度方向，最
18、速下降法从目标函数 的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点. 已知目标函数在点的梯度为： ( )k X ( )( )( ) ( ) 12 . T kkk k n fff f xxx XXX X 当求目标函数的最小点时，由于函数沿负梯度方向下降最快，故在点的探 ( )k X 索方向应取该点的负梯度方向，即 ( ) ( ) ( ) k k k f f X S X 显然，为单位向量.这样第次迭代计算所得的新点为 ( )k S1k ( )( ) (1)( )( )( )( ) ( ) kk kkkkk k f f X XXSX X 负梯度仅给出了最优化方向，而没有给出步长的大小，所以可能有各种
19、各样的 最速下降的过程，它们依赖于的大小. ( ) ( ) k k f X 3.1.23.1.2 步长步长的两种取法：的两种取法： k 一种方法是任意给定一个初始步长，使满足条件： ( )( )( )( ) ()() kkkk ffXSX 另外一种方法是沿负梯度方向做一维探索，以求解一维最优化问题的最优 步长，即对目标函数极小，以得到最优步长： 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 11 - ( )( )( )( )( ) 0 min()() kkkkk ff XSXS 以此最优步长作为由点出发沿该点的负梯度方向探索的步长. ( )k X ( )k 这种方法的迭代计算
20、的收敛性，可用以下三式中的任一式或二式作为准则 来进行判断： ( ) 1 ( )(1) 2 ( ) ( )(1) 3 k kk k kk f ff f X XX X XX 3.1.33.1.3 最速下降法算法步骤最速下降法算法步骤 用最速下降法求无约束多维极值问题的算法步骤如下：min( ), n fX XA （1） 取初始点，精度 ，令 0 X 00k （2） 计算搜索方向，其中表示函数在点 ( )( ) () kk f VX ( ) () k fX( )f X 处的梯度； ( )k X （3） 若，则停止计算；否则，从出发，沿进行一维搜索， ( )k V ( )k X ( )k V 即求，
21、使得.此处的一维搜索 k ( )( )( )( ) 0 ()min) kkkk k ff XV(XV 可以用黄金分割法等算法 （4） 令，转步骤（2）. (1)( )( ), 1 kkk k kk XXV 例例 3.13.1 试用最速下降法求目标函数的极小值，设初始点 22 12 ( )4fxxX ；收敛要求. (0) 22TX 2 1 10 解：原函数的梯度，在点的梯 12 12 ( )( 28 T T ff fxx xx XX) X (0) X 度为. (0) 416TfX 梯度的模为 22 (0)(0) (0)22 12 ()() 41616.492 ff f xx XX X 安徽工业大
22、学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 12 - 梯度的负方向为 (0) 1 4160.2430.970 16.492 TT S (1) 1(1)(0)(0) (1) 2 20.24320.243 20.97020.970 x x XXS (0)(0)22 (20.243 )4(20.970 )fXS (0)(0) 2(20.243 )( 0.243)8(20.970 )( 0.970) 7.64516.492 df d XS 令，求出，算得 (0)(0) 0 df d XS * 2.157 (1)(1) 1.4760.0923 ,2.9520.738 TT fXX 梯度的模为
23、22 (1) 2.9520.7383.043f X 根据收敛准则，故未达到要求，应继续探索. (1)2 1 3.04310f X 下一步探索放向为 (1) 1 2.9520.7380.9700.243 3.043 TT S (2) 1(2)(1)(1) (2) 2 1.4760.9701.4760.970 0.09230.2430.09230.243 x x XXS (1)(1)22 (1.4760.970 )4( 0.09230.243 )fXS ，得到 (1)(1) 2.3543.0430 df d XS * 1.293 (2)(2) 0.2220.222 ,0.4441.776 TT f
24、XX (2)2 1 1.83110f X 未达到收敛要求，所以还应继续探索，下一步探索方向为 (2) 1 0.4441.7760.2420.970 1.831 TT S (3) 1(3)(2)(2) (3) 2 0.2220.242 0.2220.970 x x XXS 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 13 - (2)(2)22 (1)(1) (0.2220.242 )4(0.2220.970 ) 7.6441.8300 f df d XS XS 得到： * 0.239 (3)(3) 0.1640.0098 ,0.3280.0784 TT fxx (3)2 1
25、0.33710f x 继续探索，当探索到点时， (7) 0.00160.000096Tx ，达到预定的收敛要求，因而可认为为最 (7)2 1 0.003210f x *(7) xx 优点，而为极小值. *226 (0.0016)4( 0.000096)2.596 100f x 3.1.43.1.4 最速下降法的最速下降法的 matlabmatlab 实现实现 首先建立 M 文件： function x,val,k=grad(fun,gfun,x0) %功能：用最速下降法求解无约束问题： minf（x） %输入：x0是初始点，fun，gfun分别是目标函数和梯度 %输出：x,val分别是近似最优
26、点和最优值，k是迭代次数. maxk=5000; %最大迭代次数 rho=0.5; sigma=0.4; k=0; eps=1e-7; while(k=tol p=-inv(H)*grad; x=x+p; fval,grad,H=fun(x); count=count+1; end if nargout=3 iterations=count; end 然后编写待求函数和梯度，hessian矩阵组成的M文件fun_grad_hess1.m如下： function f,grad,hessian=fun_grad_hess1(x) f=x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-10*x(1)-4*
27、x(2)+60; grad=2*x(1)-x(2)-10;2*x(2)-x(1)-4; hessian=2 -1;-1 2; end 最后在工作窗口调用函数newton.m如下： x,fval,lamla=newton(fun_grad_hess1,0;0,1e-6) 所得结果如下： x = 8.0000 6.0000 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 19 - fval = 8.0000 lamla = 1 3.2.43.2.4 牛顿法的说明牛顿法的说明 从上例看到,用 Newton 法求解,只经一轮迭代就得到最优解.这并不偶然,由 Newton 方向的构造知,
28、对于正定二次函数,Newton 方向就是指向其极小点的方向.因 此，用 Newton 法解目标函数为正定二次函数的无约束最优化问题，只需一次迭 代即可得到最优解.对于目标函数不是二次函数的无约束最优化问题,一般地说, 用 Newton 法通过有限轮迭代并不能保证可求得最优解.但因目标函数在最优解 附近近似于二次函数,因此当先取接近于最优解的初始点用 Newton 法求解时,其 收敛速度一般是快的.可证在初始点离最优解不远的条件下,Newton 法是二次收 敛的.但初始点远离最优解时,此法并不一定收敛 Newton 法具有二次收敛的优点,但它存在下面四个严重的缺点: 虽每次迭代不会使目标函数 f
29、(X)上升,但不能保证 f(X)下降.当 Hesse 矩阵 非正定时,Newton 法的搜索将会失败. 对初始点要求严格.一般要求比较接近或有利于接近极值点,而这在实际计算 中是比较难办的. 因搜索方向要求 Hesse 矩阵的逆,在某迭代时可能求不出此方向.若目标函数 Hesse 矩阵为奇异,则不有构成牛顿方向,无法迭代 牛顿方向构造困难,计算相当复杂,除了求梯度以外还需计算 Hesse 矩阵及其 逆矩阵,占用机器内存相当大. 3.33.3 修正牛顿法修正牛顿法 3.3.13.3.1 修正牛顿法的基本原理修正牛顿法的基本原理 为了克服 Newton 法的缺点,人们保留选取 Newton 方向作
30、为搜索方向,摒弃其步 长恒取 1,而用一维搜索确定最优步长,由此产生的算法称为修正 Newton 法. 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 20 - 3.3.23.3.2 修正牛顿法的迭代步骤修正牛顿法的迭代步骤 （1） 给定初始点，及精度，令； (0) X00k （2） 若，停止，极小点为，否则转步骤（3） ； ( ) () k fX ( )k X （3） 计算，令； 1 2( ) () k f X 1 ( )( )( ) ()() kkk Hf SXX （4） 用一维搜索法求，使得，令 ( )( )( )( ) 0 ()min() kkkk k ff XSXS
31、，转步骤（2）. (1)( )( )kkk k XXS1kk 例例 3.33.3 用修正牛顿法求解下列问题： ， 22 121122 min22fxxxx xxX 初始点 ， . 0 0 0 X 6 10 解解 计算及 . fX 2 fX , , 12 12 142 122 xx f xx X 2 42 22 f X 故有 ， ， 0 1 1 f X 02 42 22 f X 1 02 11 22 1 1 2 f X 因而牛顿方向为 1 0002 11 1 1 22 3 11 1 2 2 ff SXX 从出发，沿牛顿方向 作一维搜索，令步长变量为，记最优步长为， 0 X 0 S 0 安徽工业大
32、学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 21 - 则有 ， 00 1 0 33 0 22 XS 故 2 2 00 2 333 22 222 55 42 f XS 令 00 55 0 22 fXS 则有 ， 0 1 故 100 0 11 0 1 33 0 22 XXS 计算： 1 fX ， 1 3 1412 0 2 30 1212 2 f X 故有 ，停止计算，输出，即为极小点. 1 fX 1 X 1* 1 3 2 XX 3.3.3 修正你顿法的 matlab 实现 首先建立 m 文件： function x,val,k=revisenm(fun,gfun,Hess,x0) %功能
33、：用修正牛顿法求解无约束问题：minf(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun,Hess分别是求 % 目标函数值，梯度，Hesse矩阵的函数 %输出： x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数. 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 22 - n=length(x0);maxk=150; rho=0.55;sigma=0.4;tau=0.0; k=0; epsilion=1e-5; while(k=0.0) d=-g; end end if(norm(g) x0=2,2; x,val,k=frcgfun,gfun,x0 3.4.43.4.4 共轭梯度法的
34、说明共轭梯度法的说明 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 27 - 实际上,可以把共轭梯度法看作是最速下降法的一种改进.当令时,就变0 k 为最速下降法.共轭梯度法由于不涉及矩阵,仅仅有向量运算,因而存储量小,适 合于维数较高的优化问题.另外,共轭梯度法可以不要求精确的直线搜索.但是, 不精确的直线搜索可能导致迭代出来的向量不再共轭,从而降低方法的效能.克 服的办法是,重设初始点,即把经过次迭代得到的作为初始点重新迭代.1n 1n X 计算实践指出,用比用重作初始点要好. 1n X n X 3.53.5 变尺度法变尺度法 变尺度法是在牛顿法的基础上发展起来的，它和梯
35、度法亦有密切关系.变尺 度法避免了 Newton 法在每次迭代都要计算目标函数的 Hesse 矩阵和它的逆矩阵 而导致随问题的维数增加计算量迅速增加. 3.5.13.5.1 变尺度法的基本原理变尺度法的基本原理 在 Newton 法中，基本迭代公式 1kkkk t XXP 其中，1 k t ， 21 ()() kkk ff PXX 于是有 （1） 1 1 ,0,1,2 kkkk k XXG g 其中是初始点，和分别是目标函数在点的梯度和 Hesse 矩阵. 0 X k g k G f X k X 为了消除这个迭代公式中的 Hesse 逆矩阵，可用某种近似矩阵 1 k G 来替换它，即构造一个矩
36、阵序列去逼近 Hesse 逆矩阵序列 kk HH X k H 1 k G 此时上式变为 1kkkk XXH g 事实上，式中无非是确定了第次迭代的搜索方向，为了取得更大 kkk PH gk 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 28 - 的灵活性，我们考虑更一般的的迭代公式 （2 2） 1kkkkk t XXH g 其中步长因子通过从出发沿作直线搜索来确定.式（2）是代表 k t k X kkk PH g 很长的一类迭代公式.例如，当（单位矩阵）时，它变为最速下降法的迭 k HI 代公式.为使确实与近似并且有容易计算的特点，必须对附加某些条 k H 1 k G k H
37、 件： 第一， 为保证迭代公式具有下降性质，要求中的每一个矩阵都是 k H 对 称正定的，理由是，为使搜索方向是下降方向，只要 kkk PH g 0 TT kkkkk g PgH g 成立即可，即 0 T kkk g H g 成立.当对称正定时，此公式必然成立，从而保证式（2）具有下降性质. k H 第二，要求之间的迭代具有简单形式.显然， k H （3） 1kkk HHE 是最简单的形式了.其中称为校正矩阵，式（3）称为校正公式. k E 第三，必须满足拟 Newton 条件.即： （4） 111 ()() kkkkk HggXX 为了书写方便也记 1kkk ygg 1kkk SXX 于是拟 Newton 条件可写为 (5) 1kkk HyS 安徽工业大学安徽工业大学 本科毕业设计(论文) 装 订 线 - 29 - 有式（3）和（5）知，必须满足 k E () kkkk