极限求解的若干方法 毕业论文.doc

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1、 学科分类号 0703 本 科 毕 业 论 文 题 目（中文）： 极限求解的若干方法 （英文）： Some methods of limit solving 姓 名 学 号 院 （系） 数学与计算机科学学院 专业、年级 2008级数学与应用数学 指导教师 二一二年五月湖南师范大学本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承

2、担。 本科毕业论文作者签名： 二一二年五月 四日 湖南师范大学本科毕业论文开题报告书 论 文 题 目极限求解的若干方法作 者 姓 名 所属院、专业、年级 数计院 数学与应用数学专业 2008年级指导教师姓名、职称 预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际

3、问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。主要内容： 极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用定义求极限；2、利用极限的四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限；6、利用单侧极限求极限；7、利用导数的定

4、义求极限；8、利用函数的连续性求极限；9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。研究方法：研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法 措施：查阅资

5、料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳. 完成期限和采取的主要措施： 2011年12月16日2012年4月22日，严格按照本科生毕业论文质量标准完成论文写作工作。 3月31日前完成初稿，交给指导老师评阅； 4月15日前完成二稿，交给指导老师评阅； 4月22日前完成三稿，交给指导老师评阅。 4月22日30日，根据指导教师整改意见修改论文、完善论文指导程序和论文各项规范工作。 5月1日5月12日，成立论文答辩分组，组织论文答辩.主要参考资料：1 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版M，高等教育出版社.2 毛钢源.，高等数学解题方法技巧归纳M，华中科技大学出版社.3 郝涌，卢士堂等，

6、数学考研精解M，华中理工大学出版社.4 陈纪修，数学分析习题全解指南M，高等教育出版社.5 李小光，求极限的若干技巧J，西安航空技术高等专科学校学报，1，2002.3， 20-21.6 冯丽珠，变形法求极限的变法技巧J，武汉职业技术学院学报，1，2003.3， 35-36.7 范钦杰，关于极限求法的进一步探讨J，松辽学刊，3，1990.2，24-27.8 Mark J.Schervish，Limit Cycle of Lienard EquationJ，Journal of Mathematical Research and Exposition，1，1990.2，17-24.指导教师意见：

7、签 名： 年 月 日开 题 报 告 会 纪 要时间 地点与会人员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）会议记录摘要：会议主持人签名：记录人签名：年 月 日指导小组意见负责人签名： 年 月 日学 院 意 见负责人签名： 年 月 日湖 南 师 范 大 学数学与计算机科学学院指导教师指导毕业论文情况登记表论 文题 目极限求解的若干方法学生姓名陈明波所属专业、年级数学与应用数学专业2008级指导教师姓名李小燕职 称教授学 历博士指导时间指导地点指 导 内 容学生签名备 注 二、湖南师范大学本科毕业论文评审表 论文题目极限求解的若干方法作者姓名陈明波所属院、专业、年级数学与计算机科学学院

8、 数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称李小燕 教授字 数7000定稿日期2012.5.4 中文摘要极限一直是高等数学中的一个重点内容，高等数学的许多基本概念都是用极限来描述的。极限的一般求法有定义法，四则运算，夹逼法则，单调有界法则等。本文在这些基础上，加入了一些比较繁琐、新颖的方法，如泰勒展开式，定积分的定义，海涅定理，Stoltz公式等。经过大量采集材料和归纳总结，本文得出了求极限的十六种方法。关键词（3-5个）极限；导数；无穷小量；海涅定理；Stoltz公式.英文摘要Limit has been of higher mathematics is one of the key

9、content, the higher mathematics the many basic concepts are described with limit. The limits of the general method to have definition method, arithmetic, clamp force law, drab bounded law, etc. In this paper based on these, add some more tedious, novel methods, such as Taylor expansion, the integral

10、 definition, Heine theorem, Stoltz formula, etc. After harvesting materials and sum-up, this paper concluded that for the limits of the 16 kinds of methods.关键词（3-5个）Limit; Derivative; Infinitely small amount; Heine theorem; Stoltz formula.毕业论文指导教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分实评分选题质量30%目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专

11、业特点和综合训练的基本要求10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或方法问题进行研究，具有一定的实际价值10选题恰当题目规模适当5难易度适中5能力水平35%查阅文献资料能力能独立查阅相关文献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果，并恰当运用5综合运用知识能力能运用所学专业知识分析、研究和阐述问题；论文内容有适当的深度、广度和难度10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息10外文应用能力能

12、阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平5论文质量35%文题相符较好地完成论文选题的目的要求5写作水平论点鲜明；论据充分；条理清晰；语言流畅10写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准10论文篇幅文科类不少于10000字，理工科类不少于7000字，艺体类不少于5000字，外国语言文学类不少于5000个实词。5成果的理论或实际价值成果富有一定的理论深度和实际运用价值 5正文部分成绩（上表）：总成绩：评定等级：外文资料译文成绩：指导教师评审意见： 指导教师签名： 说明：此表指标部分为正文部分计分

13、表，正文部分成绩实评总分0.9，外文资料译文成绩满分为10分。总成绩正文部分成绩外文资料译文成绩。评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，总成绩90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及格，60分以下记为不及格。若译文成绩为零，则不计总成绩，评定等级记为不及格。 毕业论文评阅教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分实评分选题质量30%目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专业特点和综合训练的基本要求10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或方法问题进行研究，具有一定的实际

14、价值10选题恰当题目规模适当5难易度适中5能力水平35%查阅文献资料能力能独立查阅相关文献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果，并恰当运用5综合运用知识能力能运用所学专业知识分析、研究和阐述问题；论文内容有适当的深度、广度和难度10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息10外文应用能力能阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平5论文质量35%文题相符较好地完成论文选题的目的要求5写作水平论点鲜明；论据

15、充分；条理清晰；语言流畅10写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准10论文篇幅符合学校文件（处发200768号）要求5成果的理论或实际价值成果富有一定的理论深度和实际运用价值 5正文部分成绩（上表）：总成绩：评定等级：外文资料译文成绩：评阅教师评审意见： 评阅教师签名： 说明：此表指标部分为正文部分计分表，正文部分成绩实评总分0.9，外文资料译文成绩满分为10分。总成绩正文部分成绩外文资料译文成绩。评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，总成绩90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及格，6

16、0分以下记为不及格。若译文成绩为零，则不计总成绩，评定等级记为不及格。三、湖南师范大学本科毕业论文答辩记录表论文题目极限求解的若干方法作者姓名陈明波所属院、专业、年级数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称李小燕 教授答 辩 会 纪 要时间地点答辩小组成员姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）姓 名职务（职称）答辩中提出的主要问题及回答的简要情况记录：会议主持人签名：记录人签名：年 月 日 答辩小组意见评语：评定等级： 负责人（签名）： 年 月 日学院意见评语：论文学院最终评定等级： 负责人（签名）： 学院（公章） 年月 日学校意见评语：评定等级： 负责人（签名）：

17、年月 日目录中文摘要1英文摘要11 引言22 极限的求法3 2.1 函数极限的求法3 2.1.1 利用定义求极限3 2.1.2 利用极限的四则运算性质求极限4 2.1.3 利用两个重要极限公式求极限5 2.1.4 换元法求极限6 2.1.5 利用单侧极限求极限6 2.1.6 利用导数的定义求极限7 2.1.7 利用函数的连续性求极限8 2.1.8 利用无穷小量的性质求极限8 2.1.9 利用中值定理求极限9 2.1.10 洛必达法则求极限11 2.1.11 利用泰勒展开式求极限12 2.1.12 利用海涅定理（归结原理）求极限13 2.2 数列极限的求法13 2.2.1 利用两个准则求极限13

18、 2.2.2 利用级数收敛的必要条件求极限15 2.2.3 利用定积分求和式的极限15 2.2.4 利用Stoltz公式法求极限16结束语17参考文献18致谢195极限求解的若干方法数学与应用数学专业 2008级 陈明波摘要 极限一直是高等数学中的一个重点内容，高等数学的许多基本概念都是用极限来描述的。极限的一般求法有定义法，四则运算，夹逼法则，单调有界法则等。本文在这些基础上，加入了一些比较繁琐、新颖的方法，如泰勒展开式，定积分的定义，海涅定理，Stoltz公式等。经过大量采集材料和归纳总结，本文得出了求极限的十六种方法。关键词 极限；导数；无穷小量；海涅定理；Stoltz公式.Some m

19、ethods of limit solvingAbstract Limit has been of higher mathematics is one of the key content, the higher mathematics the many basic concepts are described with limit. The limits of the general method to have definition method, arithmetic, clamp force law, drab bounded law, etc. In this paper based

20、 on these, add some more tedious, novel methods, such as Taylor expansion, the integral definition, Heine theorem, Stoltz formula, etc. After harvesting materials and sum-up, this paper concluded that for the limits of the 16 kinds of methods.Key Words Limit; Derivative; Infinitely small amount; Hei

21、ne theorem; Stoltz formula.1 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。 极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学1中许多基本概念，如连续，导数，定积分，无穷级数都是建立在极限的基础上，极限方法又是研究函数的一种最基本的方法，因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义。极限的求法2-7多种多样，本文列举了求极

22、限的一些方法：利用定义求极限、函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求极限、微分中值定理、积分中值定理、夹逼准则等等。那么在运用这些方法时应该注意一些细节问题。本文在求极限的基础上，也详细的介绍了一些应该注意的地方。在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。求极限必须是在极限存在的前提下进行的，根据不同的形式可以选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更加简单。2 极限的求法 从高中开始我们就已经开始接触极限这一概念了，在大学的学习中，我

23、们更加深入的了解了何为极限以及如何求解极限。极限大体上可分为函数极限和数列极限，因此极限的求法也就分为函数极限的求法与数列极限的求法。以下我们就分情况具体地探讨极限求解的一些方法。2.1 函数极限的求法 我们都知道在高等数学里很多关于函数的性质概念都是可以用极限来表述的，如导数的定义，连续的定义等等。所以，我们就可以用导数、连续等性质反过来求函数极限。经过整理和总结，本文给出了函数极限的十四种方法。2.1.1 利用定义求极限设为定义在,+）上的函数，为定数。若对人给的0，存在正数，使得当M时有：，则称函数当趋于+时，以为极限，记作：. 此方法一般用于证明极限或者那些可以看出极限的计算题，根据已

24、知或者可以看出的答案取合适的和，从而得出结果。例1 求证.证明 = = +，先限制在点（2，1）的=1的方域：（x,y）|1，1内讨论，于是有 +45=+57,7+57（+）.设为任给的正数，取=min1，则当，(2,1)时，就有： 7=14.用极限的定义时，只需要证明存在，故求解的关键在于不等式的建立，在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧。但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需要加入一些限制条件。限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑。2.1.2 利用极限的四则运算性质求极限 极限的四则运算法则叙述如下: 若 ， (1) ；

25、(2)； (3)若，则： ； (4)（c为常数）. 上述性质对于时也同样成立。 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例2 求极限(1) (2)已知 ，求. 解：(1) =4. (2) 因为 所以 =1. 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形，例如分子，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。2.1.3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式； . 但我们经常使用的是它们的变形： 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形

26、进行化简后才可以利用公式。例3 求的极限. 解： = . =1.2.1.4 换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例4 求. 解：令，则， =1. 换元的好处在于化繁琐为简单。但是，在换元的时候要特别注意趋近量。也就是说，当我们把关于的一个整体用来替换时，这时候，趋于的某个数并不是趋于的那个数，而是关于的整体趋于的那个数。2.1.5 利用单侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例5 . 求在的左右极限。 解：=1，=

27、1 2.1.6 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数在附近有定义，如果存在，则此极限值就称函数在点的导数记为，即. 在这种方法的运用过程中，首先要选好，然后把所求极限表示成在定点的导数的形式。此时，所求极限就是在定点处的导数。例6 求. 解：取，则 = = =.2.1.7 利用函数的连续性求极限 若函数在点处连续,则在点有极限,且极限值等于函数值.可以用连续性的一种推广定理：设复合函数是由函数，复合形成的，并且，则在处的极限存在且 =. 这种方法适用于求复合函数的极限。如果在点连续且，而在点连续，那么复合函数在点连续，即。也就是说极限符号可以与符号互换顺序。 例7 求. 解：令， 因为在点处

28、连续, 所以=1.2.1.8 利用无穷小量的性质求极限 (1)无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）. 如果,在某区间有界，那么. 这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 (2)当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价， 即有 .当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面 的等价关系成立，例如：当时，； .（3）如果函数都是时的无穷小，且，则当存在时，也存在且等于，即=.例8 求下列极限 (1) (2). 解：(1)因为 , =0， 所以 =0. (2)由于 , 时，,，, 故有 =.2.1.9 利用中值定理求极限微分中值定理：

29、若函数在a,b连续且在(a,b)可导，则在(a,b)内至少存在一点，使 . 例9 求的极限。 解： 由微分中值定理得， （介于与之间）= = =. 积分中值定理：设函数在闭区间a,b上连续；在a,b上不变号且可积，则在a,b上至少有一点使得 。例10 求. 解： = = =0.运用微分中值定理和积分中值定理做题时可以使题目变的更加简单易懂，但是在用微分中值定理和积分中值定理求函数极限的时候一定要注意这两个中值定理使用的条件。微分中值定理的条件是函数在闭区间a,b内连续且在开区间(a,b)内可导，一定要注意区间的开与闭。如果一个函数只是在开区间(a,b)内连续且可导，这时候仍然不能使用微分中值定

30、理。同样的，在使用积分中值定理的时候也要注意一个函数在闭区间a,b内是连续的，而另一个函数在同样的区间a,b内是不变号且可积的。这时候，我们把某点的函数值代替这个函数提到积分符号前面的那个函数一定是在区间a,b内是连续的那个函数，而不是那个在区间a,b内不变号且可积的那个函数。2.1.10 洛必达法则求极限 若(1),; (2)与在的某空心邻域内可导，且; (3)（可为实数，也可为），则 =. 此定理是对,型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求

31、整个分式的导数。 当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例11 (1)求 (2) 求. 解：(1) 为型. n由对数恒等式可得 = . (2) = , 但用洛必达法则时：，极限不存在。2.1.11 利用泰勒展开式求极限 若在点有直到阶连续导数，那么 (其中在0与1之间).例12 求极限 . 解 : 泰勒展开式 于是 所以=. 利用泰勒展开式，可以求那些含有、等型式而结构又比较复杂的函数极限。这类题目一般都比较复杂，用其他的方法都不好求。这时候，我们可以把题目里面的、等这些函数结构用泰勒展开式展开到适当的阶数和此阶数的高阶无穷小的型式，利用高阶无穷小的极限是0这

32、一性质，可以方便的计算出最终的结果。因为高阶的无穷小的极限是0，可以先放在一边，我们只需对那些已展开的式子进行整理，整理所得出的式子的极限就是最终所要求的极限。2.1.12 利用海涅定理（归结原理）求极限 设函数在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。 此定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理，通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在。 例13 求极限 . 解: 设,显然有, 则,所以, ， 则由归结原理可得：该极限不存在。2.2 数列极限的求法 数列极限的求法比较难找，本人翻阅了大量的资料，到目前为止也只找到了四种方法。主要就是夹逼法则和单调有界

33、必有极限两个准则，数列收敛通项趋于零，在这基础上再加上数列的变形，也就是把数列和化成定积分和Stoltz公式。2.2.1 利用两个准则求极限 函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数，当时，有且，则有. 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得，然后由迫敛性就可以得出所求数列的极限。例14 求极限. 解：因为， 所以. 因 ，再由迫敛性知 . 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 这种求数列极限的方法，关键在于唯一性。当我们判断出一个数列是单调并且有界的时候，我们就知道这个数列极限是存在的而且是唯一的。正因为有了这唯一性，我

34、们立马就可以设所求数列的极限为常数，然后对关于这个数列的等式两边求极限，这个数列的等式就会变成关于常数的等式，然后就可以很容易的求出这个常数，也就是所求数列的极限。例15 求极限（个根号）. 解：设， 又由，设，则. 因，故单调递增。 综上知单增有上界，所以收敛。 令由， 对两边求极限得，故.2.2.2 利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件：若级数收敛,则. 运用这个方法首先判定级数收敛，然后就可以求出它的通项的极限，这时候所求极限就是0.例16 求极限. 解： 因级数收敛，由级数收敛的柯西准则知，对， 存在，使得当时， ， 此即 ， 所以 .2.2.3 利用定积分求和式的极限

35、 利用定积分求和式的数列极限时首先选好恰当的可积函数.把所求数列极限的和式表示成函数在某区间a,b上的待定分法（一般是等分）的积分和式的型式，这时候，所求的数列极限就是函数在对应区间a,b上的定积分值。例17 求. 解：由于 = 可取函数，区间0,1，上述和式恰好是在0,1上n等分的积分和。 所以 = = =.2.2.4 利用Stoltz公式法求极限Stoltz公式：对于给定的数列、，若发散，则Stoltz公式在求数列极限时特别有效。 例18 求. 解： （Stoltz公式） = （二项式定理） =.结束语以上求极限的方法各有条件、各具特色，它们所采用的技巧方法都不尽相同，我们必须根据其条件来判断极限的类型，进而根据类型来找到解决问题的方法。本文归纳了求极限的一些方法，或许并不全面。数学知识博大精深，我们应不停的接受新知识，这样我们才能掌握更多的方法，在做题时得心应手。参考文献1 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册