数学与应用数学毕业论文-函数的连续性和可微性论文.doc

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1、潍坊学院本科毕业论文目录引言11一元函数的连续性和可微性11.1一元函数的连续性11.1.1 定义11.1.2 定理21.1.3 间断点及其分类41.2 一元函数的可微性81.2.1 可微的定义81.2.2微分的运算法则91.2.3 可导、可微以及连续之间的关系92.二元函数的连续性和可微性112.1二元函数的连续性112.1.1 定义112.1.2 定理112.2二元函数的可微性132.2.1 二元函数可微性的定义132.2.2 偏导数的定义132.2.3 定理142.2.4 微分的几何应用152.2.5 偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系.17结束语24参考文献25致谢

2、26引言 连续性和可微性是函数的重要特性，从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标系上的图像是一条连续不断的曲线，下面就简单的介绍一元函数的连续性和可微性和二元函数的连续性和可微性.对一元函数，连续性和可微性是等价的，它是函数增量与自变量增量之间关系的另一种表达式，函数的微分是函数增量的线性主要部分，可微和可导是等价的，因而求一元函数的导数和微分的方法是相同的.一元函数的可导性是比连续性更强的性质，可导必连续，而连续未必可导.微积不但是数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域的基本数学工具，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微分所反映的数学思想也是日常生活与工作中

3、认识问题、研究问题所难以或缺的.函数的连续性、可导性与可微性是高等数学中最基本、最重要的概念，这三个概念是微积分的重要组成部分，本文在对比函数连续性、可导性与可微三个概念的基础上，深入讨论了三者之间的联系与区别，为学生深入理解和学习微积分学理清了思路.一元函数连续性、可导性与可微性的概念连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数.连续性是函数的一个重要特性，它反映了许多自然现象的一种共同特征.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，连续性和可微性是不等价的，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存

4、在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系，在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.1一元函数的连续性和可微性1.1一元函数的连续性1.1.1 定义 定义1 设函数在某内有定义，若，则称在点连续由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可以直接用方式来叙述，即：若对任给的，使得当时有，则称在点连

5、续若在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数定义2 设函数在某内有定义.若，则称在点右（左）连续.1.1.2 定理 定理1 函数在连续的充要条件是：在点既是左连续，又是右连续.定理2（局部有界性）若函数在点连续，则在某内有界.定理3（局部保号性）若函数在点连续，且（或)，则对任何正数（或），存在某，使得对一切，有例1.1 “在连续”是在点处连续的（ ）条件（）必要非充分（）充分非必要（）充要（）既非充分又非必要解：在连续，在连续，在连续在连续，如，在连续，但在间断.故选（B）定理4（四则运算）若函数和在点连续，则，（这里）也都在点连续.定理5 若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续.证

6、 由于在点连续，对于任给的，存在，使得当时有 （1.1）又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有.联系（1）得：对任给的，存在，当时有.这就证明了在点连续.例1.2 设在处连续，在处间断，又，则（）（）处间断， （）处间断，（）处间断， （）处间断解： 分析一 连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故（A），（B）不对.不连续函数的相乘可能连续，故（C）也不对，因此，选（D）.分析二 在处连续，在处间断，又，处间断，若不然，在连续，与已知矛盾，选（D）.定理6（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值和最小值.推论 （有界性定理）若函数在闭区间上连续，则在上有界.定理7（介值

7、性定理）若函数在闭区间上连续，且，若为介于与之间的任何实数，则至少存在一点，使得推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且与异号（即，则只是存在一点，使得，即方程在内至少有一个根.例1.3 证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得（称为 的次正根（即算术根），记作）证 先证存在性.由于当时有，故必存在正数，使得，因在上连续，并有，故由介值性定理，至少存在着一点，使得再证唯一性.设正数使得，则有由于第二个括号内的数为正数，所以只能，即定理8（反函数的连续性）若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域上连续.例1.4 由于在区间上严格单调且连续，故其反函数在区间上连续.定理9 （一致连续性定理

8、）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.定理10 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理11 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.1.1.3 间断点及其分类定义2 设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义而不连续，则称点为函数间断点或不连续点.若为函数间断点，则必出现下列情形之一：（）在点无定义，或极限不存在.（）在点有定义，极限存在，但.据此，我们可对函数的间断点作如下分类：（） 可去间断点 若而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点.（） 跳跃间断点 若函数在点的左、右极限都存在，但 则称为的跳跃间断点.（） 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存

9、在的那些点，称为第二类间断点. 图1.1 可去间断点 图1.2图1.3 跳跃间断点 判断函数连续性的方法：（）若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续.（）用连续性运算法则.（）分别判断左右连续性或按定义判断.例1.5 设有定义在上的函数：（A） （B）（C） （D）（1)在定义域上连续的是（ ），(2)函数以为第二类间断点的是（ ）解 （1） 时上述均分别与某初等函数相同，故连续只需在考察哪个函数在处连续.注意到,其中在连续，在连续，因在左连续，若又有右连续，因此在连续.(B)的满足又均连续连续，因此，（B）中的连续，应选（B）（） 关于（A）：由 是的第一类间断点（跳跃间断点）.关于（C

10、）：由， 是的第一类间断点（可去间断点）已证（B）中在连续，因此选（D），我们也可以直接考察（D），由， 是的第二类间断点例1.6 设在均不连续，则在处（ ）.（）吗，均不连续.（）不连续，的连续性不确定.（）的连续性不确定，不连续（），的连续性均不确定解：如：，在均不连续，但在均连续.又如：，在均不连续，而，在均不连续，因此选（D）例1.7 讨论下列函数的连续性并判断其间断点的类型.（），（）， () 解：（）这是初等函数，它在定义域（）上连续，因此时均连续，时，故是第一类间断点（跳跃间断点），又，故也是第一类间断点（可去间断点）.（）在区间，上，函数分别与某初等函数相等，因而连续，在处无定

11、义，而，是第一类间断点（可去间断点）（) 记，又变限几分的性质及复合函数的连续性，知是连续函数，再由连续函数的运算法则，知时连续，由于，而不存在，所以不存在，即是的第二类间断点1.2 一元函数的可微性1.2.1 可微的定义 设函数，当自变量有增量时，若存在于无关的常数，使得函数的增量可表为 ，则称在处可微，称为在处的微分，记为微分的几何意义：是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处的切线相应于自变量增量的纵坐标的增量.如下图所示 图1.4定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，而且上式中等于，即1.2.2微分的运算法则 ，其中例1.8 求的微分解： 1.2.3 可导、

12、可微以及连续之间的关系一元函数的可导性与可微性是等价的，函数的可导性是比可微性更强的性质，可导必连续，连续未必可导，例如，在连续，但不可导.例1.9 设，在连续，则在可导是在可导的（ ）（）充分非必要（）充分必要（）必要非充分（）非充分非必要解：由，因在连续，则在某邻域是保号的，即，当时，因此选（B）例1.10 设，则（ ）（）在处不连续（）存在（）不存在，曲线在点处不存在切线（）不存在，曲线在点处存在切线解： 由，故连续 ， 的图形如图1.5所示， 图1.5在的左右极限都不存在，因此不存在存在切线，选（D）例1.11 讨论函数在的连续性和可导性.解：我们可先讨论函数在的可导性，因为当在可导或

13、,均存在但不相等时，均可得在连续，由分段定义的具体形式，可按定义求出,来讨论是否存在.，因此，即在可导，因而也必连续.2.二元函数的连续性和可微性2.1二元函数的连续性2.1.1 定义设为定义在点集上的二元函数，（它或者是的聚点，或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有，则称关于集合在点连续.若在上任何点都关于集合连续，则称为上的连续函数.2.1.2 定理定理1（复合函数的连续性）设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，.则复合函数在点也连续.证 由在点连续可知：任给正数，存在相应正数，使得当，时有，又由在点连续可

14、知：对上述正数，总存在正数，使得当，时，都有，综合起来，当，时，便有，所以说复合函数在点连续.定理2（有界性与最大、最小值定理）若函数在有界闭区域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值.定理3（一致连续性定理）若函数在有界闭区域上连续，则在上一致连续.即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对于一切点、，只要，就有定理4（介值性定理）设函数在有界闭区域区域上连续，若，为中任意两点，且，则对任何满足不等式，的实数，必存在点，使得定理5（有界性与最大值最小值定理）若函数在有界闭区域区域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值证 先证则在上有界.倘若不然，则对每个正整数，必存在点，使得 （2.1）

15、于是得到一个有界点列，且总能使中有无穷多个不同的点.由聚点定理的推论，有界无限点列必存在收敛子列，设，且因是闭区域，从而.由于在上连续，当然在点也连续，因此有，这与不等式（2）相矛盾，所以是上的有界函数.下面证明在上能取得最大值、最小值.为此设，可证必有一点，使（同理可证存在，使）.如若不然，对任意，都有.考察上的连续函数，由前面的证明知道，在上有界.又因不能在上达到上确界，所以存在收敛点列，使，于是有，这导致与在上有界的结论想矛盾.从而证得在上能取得最大值.2.2二元函数的可微性2.2.1 二元函数可微性的定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为： （2.2

16、）其中是仅与点有关的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点可微，并称（1）式中关于的线性函数为函数在点的全微分，记作 （2.3）由（2.1）、（2.3）可见是的线性主部，特别当充分小时，全微分可作为全增量的近似值，即.全微分的几何意义： 函数在点的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上点的竖坐标的增量.2.2.2 偏导数的定义设函数，若，且在的某邻域内有定义，则当极限，存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作或若在点存在与，称在点可偏导.偏导数的几何意义：即曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率；即曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率.2.2.3 定理定理1（可微的必要条件）若二元函数在

17、其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且（1）式中的，依此函数在点的全微分可唯一地表示为与一元函数类似，由于自变量的增量等于自变量的微分，即， 所以全微分又可以写为定理2（可微的充分条件）若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且，在点处连续，则函数在点处可微.证 我们把全增量写作 在第一个括号里，它是函数关于的偏增量；在第二个括号里，则是函数关于的偏增量.对它们分别用一元函数的拉格朗日中值定理，得 (2.4)由于与在点连续，因此有 （2.5） （2.6） 其中当时，将（4），（5）带入（3）式，则得，故函数在点可微.定理3 设函数在点的某邻域内存在偏导数，若属于该邻域，则存在

18、和，使得定理4 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微.求分段函数在分段点的全微分 用定义求，即求和，若偏导不存在，则不可微，若存在，则计算，若极限为0，则可微，否则不可微，可微时，2.2.4 微分的几何应用1空间曲面的且平面与法线若空间曲面的方程为，是上的一点，则在点的且平面方程为法线方程为其中在点处有连续偏导数且例2.1 试求抛物面在点处的切平面方程与法线方程.解 因为，过的切平面方程为 ，由于，化简为过的法线方程为2 空间曲线的切线去法平面若空间曲线的参数方程为，又是上的一点，则在点的切线方程为法平面方程为其中，在可导且.3 近似计算例2.2 求的近似值解 设，令，则有2

19、.2.5 偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续性的关系.可以从可微性的定义看出，函数在可微点处必连续，但在函数的连续点处不一定存在偏导数，更不能保证函数在该点连续.如下图所示 图1.6定理5 如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微分证明：因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一领域内必然存在的意思设点为这领域内任意一点，考察函数的全增量 在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看做是的一元函数的增量于是，应用拉格朗日中值定理，得到 又依假设，在点连续，所以上式可写为 （2.7）其中为的函数，且当时，同理可

20、证第二个方括号内的表达式可写为 （2.8）其中为的函数，且当由（2.7）、（2.8）两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为容易看出，它是随着而趋于零的.这就证明了在点是可微分的.定理6如果函数在点可微分，那么函数在该点必定连续证明：由全微分定义可知：函数在点的全增量可得.从而因此函数在点处定理7如果函数在点可微分，则函数在点的偏导数必定存在，且函数在点的全微分为.证明：设函数在点可微分于是，对于点P的某个领域内的任意一点，式子(2.9)总成立 (2.9)特别当时，（2.9）式也应成立，这时，所以（2.9）式成为上式两边各除以在令而取得极限，就得，从而偏导数存在，且等于A.同样可证.所

21、以该定理得证例2.3 下列函数在处不连续的是（ ）(A)(B)(C)(D)解（A）中， ， 故有， （A）连续.(B)中，则有,在点连续(C），当沿直线趋于时，因此，在点不连续.(D)，有界， 在点连续.例2.4 设函数在点的两个偏导数和都存在，则（ ）(A)存在(B)及都存在(C)在点必连续(D)在点必可微解 函数和已成为一元函数，二元函数在点对的偏导数等于一元函数在点倒数，因为偏导数在点存在，所以在处必连续，从而存在，同理存在.选(B).如上例中，在点不连续.例2.5 讨论函数，在点处的连续性，并判断偏导是否存在.解 先判断在点处是否可偏导，由于即，同理，因此偏导数都存在，考察在点的连续性

22、，令，则 ，即当沿不同直线趋于时有不同的极限，因此在点不连续.例2.6 设，讨论在处的连续性和可微性，并求.解 当时，当时，因，于是.同理可得，当时，.考察，在的连续性，注意到 ，故， ,， 即，在点处均连续，因此在点可微.于是 例2.7 证明函数在点连续但偏导数不存在.证明 因为，所以在点连续，又，当时，极限不存在，因此不存在.同理可得，也不存在.例2.8 证明函数在点连续且偏导存在，但偏导在不连续，而在原点可微.证明 要证明在连续，即证，由，所以在连续.当时 当时 而，不存在，因此不存在，从而在点不连续.同理可证在点不连续. 然而 所以在原点可微.例2.9 证明函数在原点两个偏导存在，但不

23、可微.证明 由偏导数定义: .同理可求得.下面利用可微的定义来证明其不可微性.用反证法.若函数在原点可微，则应是较的高阶无穷小量，为此考察极限.当动点沿直线趋于时，则.这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数在原点不可微.结束语以上就是本文所讨论的函数的连续性和可微性，深刻的掌握其定义和用法很重要，掌握其解法能够简化或解决很多问题，这不仅可以体现在理论研究中，而且在处理许多实际问题时也别具特色.函数连续性和可微性的应用贯穿于初高等数学各部分的内容中，对其整理归纳可以提高我们分析问题和解决问题的能力.由于可微性在社会科学和自然科学的许多方面

24、都有应用，它的解法灵活多样，因此本文的重点是能够运用初高等数学的相关知识灵活地解决实际问题；但有些题目只能用一些固定的方法来解决，这些方法有一定的局限性,因此本文的难点是掌握求积分的一些特殊的解法.本文主要是对函数连续性和可微性问题的类型和相应的解题方法进行较深入地探讨，以形成较完整的理论体系.通过本文的论述，我们可以更全面地了解连续性和可微性以及他们之间的联系，具有一定的应用价值.另外，熟练掌握此部分内容对数学的学习也大有帮助.在这一过程中，我们更系统地分析了连续性可微性问题的类型和解决方法，使我们更能体会到前人探索的艰辛，以及获得成功时的喜悦之情，从而激发了我们对数学的兴趣，当然由于多元函

25、数连续性和可微性关系复杂，证明的方法也很多，加之我们的专业知识有限以及研究方法不成熟，文中难免出现不足之处.例如：对问题类型的讨论不够深刻和全面，由于求解解法的灵活性，本文只是归纳了部分连续性和可微性问题类型和解法，因此不能囊括所有的问题.总之，这篇论文还有很多地方值得商榷，望老师和同学们提出宝贵的意见.参考文献1 张禾端，高等代数（第三版），北京：高等教育出版社，1992年4月第九版 2 马小土，硕士研究生入学考试1000题，第三版，北京：中国人民大学出版社，2000，4 3 华东六省工科数学系列教材编委会.高等数学学习指导书M.沈阳：辽宁科学技术出版社，19914 李永乐，数学复习全书（理

26、工类）.高等数学M.北京：国家行政学院出版社，2011 5 徐森林，薛春华.数学分析（第二册）M.北京：清华大学出版社，2006 6 裴礼文.数学分析中的典型问题和解题方法M.北京：高等教育出版社，1993 7 清华大学数学科学系微积分编写组.微积分M.北京：清华大学出版社，2004 8 电子科技大学应用数学系编.微积分M.成都：电子科技大学出版社，2000 9 童武.全国硕士研究生入学考试历年试题精解（数学三）M.北京：北京大学出版社，2004 10 同济大学应用数学系编.高等数学M.北京：高等教育出版社，2004，12 11 同济大学应用数学系编.高等数学习题集M.上海：上海财经大学出版社

27、.2006，9 12 童雪耐，对称区域上的积分，数学通报，1991 13 刘玉链，数学分析讲义（下册，第三版），北京：高等教育出版社，1996 14 张志军，熊德之.微积分及其应用M.北京：科学出版社.2007 15 华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）M. 北京：高等教育出版社.1991 致谢逝者如斯，不舍昼夜，四次春去春又来，岁月稍纵即逝.此时，回头想想这段短暂的求学路，时而喜悦，时而惆怅.在这个美丽的校园里，原本天真幼稚的我如今已蜕变成一个睿智、沉稳的青年，感谢命运的安排，让我有幸结识了许多良师益友，是他们教我如何品味人生，让我懂得如何更好的生活！人生处处是驿站，已是挥手作别之时，在

28、此，向所有帮助过我的人献上我最诚挚的谢意！本学位论文是在我的指导老师宋强的亲切关怀与细心指导下完成的.从课题的选择到论文的最终完成，宋老师始终都给予了细心的指导和不懈的支持，并且在耐心指导论文之余，宋老师仍不忘拓展我们的文化视野，让我们感受到了可微性的美妙与乐趣.值得一提的是，宋老师宅心仁厚，不慕荣利，对学生认真负责，在他的身上，我们可以感受到一个学者的严谨和务实，这些都让我们获益菲浅，并且将终生受用无穷.毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向宋老师表示最衷心的感谢！此外，本文最终得以顺利完成，也是其他同学的帮助分不开的，虽然他们没有直接参与我的论文指导，但在开题时也给我提供了不少的意见，提出了一系列可行性的建议，在此向他们表示深深的感谢！26