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1、莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文次亚（半）正定阵的探讨 摘要：文章主要是关于次亚（半）正定阵方面的探讨，这些探讨包括从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面的探讨，对于次偏序，本文则首次提出了次偏序的概念，并在这个概念下探讨了次偏序不等式的传递性、元素间的关系的方面。关键词：亚正定阵，次亚正定阵，次偏序，次转置，次对称，反次对称，M矩阵，对角占优矩阵。0 引 言 讨论矩阵的正定性，无论对代数理论或者应用都是十分重要的，1973年Johnson在其博士论文中研究了方阵的对称化阵是正定阵时的某些不等式，是正定阵的这类实矩阵称为亚正定阵，屠伯埙等学者已经对该类矩阵
2、进行过深入的研究，随着矩阵理论的发展，袁晖坪等学者则将亚正定阵的概念推广到次对称上，形成次亚正定阵的理论，丰富了矩阵的理论，本文则从亚正定阵的若干性质入手，将其推广到次亚正定阵上。如无特别说明，本文讨论的矩阵和向量都是实的，和分别表示实矩阵的转置，伴随矩阵，迹，秩和行列式，表示n维向量空间和所有矩阵构成的空间。1 基本概念定义1：设，若有则称为亚（半）正定阵。定义2：设，则称矩阵（其中）为次转置矩阵，记为，若，则称为次对称矩阵，若，则称为反次对称矩阵。利用定义2容易证明：（1），（2）设表示次对角线元素全为1，其余元素为0的n阶方阵，则， ，。定义3：设，若有则称为次亚（半）正定阵。2 基本引
3、理 由于本文是建立在亚（半）正定阵和次亚（半）正定阵现有的一些结论上，因而有必要对这些结论作一些介绍，这些介绍分两部分来进行，分别是次亚（半）正定阵方面的引理和亚（半）正定阵方面的引理。21 次亚（半）正定阵方面的引理 该部分引用了袁晖坪，马跃超等学者关于次亚（半）正定阵的一些结论，这些结论的证明可以在文献24中查到。定义4：设，若有则称为次（半）正定阵。引理1：设，则为次（半）正定阵为（半）正定阵。推论1：设，则为次正定阵（可逆）使。引理2：设，则为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理3：为次亚（半）正定阵为亚（半）正定阵。引理4：为n阶次亚（半）正定阵，则，均为次亚（半）正定阵。引理5：
4、设，则下列条件等价： （1）为次亚正定阵，（2）为次亚（半）正定阵，（3）为次亚正定阵，（4）为次亚正定阵，（5）（可逆）有为次亚正定阵，（6）为次亚正定阵。引理6：设，则为次亚正定阵为次亚正定阵。22 亚（半）正定阵方面的引理这一部分关于亚正定阵的若干性质，可以在文献611中查到。定义5：设，都是n阶方阵，如果是亚正定阵，就称大于或小于，记为或 。 定义6：设，都是n阶方阵，如果是亚半正定阵!就称大于等于或小于等于，记为或 。 引理6：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则（其中，均为正实数）。引理7：（1）若且则（亚正定阵的不等式具有传递性）； （2）其中。引理8：若且则其
5、中，。引理9：有。引理10：（1）若，则； （2）若，则，； （3）若，则； （4）若，则。引理11：设存在，则有 ，。引理12：若，则的特征根均大于0小于1，其中 表 示。引理13：设矩阵为实亚正定矩阵,为实对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, =其中,S为反对称矩阵,为对角形矩阵。定义7：如果n阶矩阵的主对角线外的元素非正,且为非负矩阵(中每个元素都非负),则称为M矩阵.引理14：若,且 (ij),则可唯一地分解为,其中为单位下三角型M矩阵, 为上三角型M矩阵。引理15：设是正线双严格对角占优阵,即满足:且，则，(其中表示k个的Hadamard积)。3 亚正定阵的一些性质本部分主要是在文章
6、的基本引理的基础上运用2.1中给定的工具将2.2的结论推广到次亚正定阵上，这些推广主要从矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面进行推广，以下是具体的推广。3.1 次偏序方面的一些性质定义8：设，都是n阶方阵，如果是次亚正定阵，就称次大于或次小于 ，记为或。 定义9：设，都是n阶方阵，如果是次亚半正定阵，就称次大于等于 或 次小于等于，记为或。 显然（1）为次（半）亚正定阵。 （2），为n阶方阵， ，事实上 ，第二个式子可类证。 性质1：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则（其中，均为正实数）。 证明：先证（4） ，（其中，为正实数）。 对于（1）只须令，即
7、可。 对于（2），。 对于（3），。性质2：（1）若且则（次亚正定阵的不等式具有传递性）； （2）其中。 证明：（1）。 （2）即。性质3：若且则，其中，。 证明：因为，所以，有， 即及，如果取其中1位于第n-i+1分量处，则有及从而知。如果取则有和又，故有性质4：有。 证明： 令有即。 32 次迹方面的一些性质定义10：设，我们把叫做矩阵的次迹，记做。性质5：（1）若，则；（2）若，则，； （3）若，则当n等于或时，；（4）若，则。 证明：首先我们由矩阵乘法及迹和次迹的定义容易得到；（1）；（2） ;（3）另一方面当且仅当其阶数n=4k或4k+1，故当的阶数n=4k或4k+1时有；（4），另
8、一方面当时，反之有故总有。33 次shur补方面的性质性质6：设，存在，则有 ，。 证明：， 存在存在， 所以有 同理有。34 次偏序下关于特征根的性质性质7：若，则的特征根均大于0小于1，其中 表示。 证明：，的特征根均大于0小于1。35 次和同方面的性质性质11：设矩阵为实次亚正定矩阵,为实次对称矩阵,则必存在可逆矩阵,使得:, 其中,为次反对称矩阵,为次对角形矩阵。 证明：， 即对称， （可逆）使得， 其中为反对称矩阵，为对角形矩阵。 ， ，以下说明为次反对称矩阵（）,为次对角形矩阵。因为为对角形矩阵，所以由矩阵乘法易知为次对角形矩阵。36 M分解方面的性质性质12：若,且 (jn-i+
9、1),则可唯一地分解为,其中为单位次上三角型M矩阵, 为上三角型M矩阵。 证明：， 除主对角线以外所有元素非正。 从而可唯一地分解为其中为单位下三角型M矩阵,为上三角型M矩阵。 ，其中为单位次上三角型M矩阵,为上三角型M矩阵。37 次线严格对角占优方面的性质性质13：设是次线双严格对角占优阵,即满足:且，则， (其中表示k个的Hadamard积)。 证明：首先我们先证， 根据Hadamard积的定义知 令，则从而 令，则从而= 所以。 其次当条件 及，成立时，对于则有和，即是正线双严格对角占优阵,从而，为亚正定矩阵，所以。4 结束语 本文先介绍了次（半）亚正定阵的概念，接着从次（半）亚正定阵和
10、亚正定阵两方面介绍了本文所用到的引理，这些引理主要是引用袁晖坪，马跃超等学者的结果，然后本文在这些基础上推广了一些次（半）亚正定阵的性质，这些性质主要是关于矩阵的次偏序、次迹，次shur补，次和同，次对角占优等方面的，但限于时间和精力，本文的探讨的深度还是不够的。 参考文献1Johnson H R. An inquality ormatrices hose symmetric art is positive definiteJ.Lin Alg, Appl, 1973(6):13-182袁晖坪.次亚正定矩阵,数学杂志,2001,21:29-32.3郭伟.亚次正定矩阵J,重庆师范学院学报(自然科学
11、版),1999,16(2);53-60.4詹仕林.次亚正定矩阵的判定J,纯粹数学与应用数学，2003(2).5黄廷祝等.矩阵理论M,第1版, 北京 ,高等教育出版社,2004：37-47.6屠伯埙. 亚正定阵理论(I)J,数学学报,1991,(4):462 471.7朱金寿.关于亚正定矩阵J ,武汉理工大学学报, 2001（9）：90-92.8王讲书.亚正定阵的一些性质J, 江苏技术师范学院学报 2003（6）：30-32.9黄敬频.一类广义正定阵的若干性质J, 柳州师专学报,1998（6）：74-78.10胡京爽.亚正定矩阵的若干性质J,青岛建筑工程学院学报, 2004（4）：58-60.1
12、1吴秀华.亚正定阵的几个充分条件J,吉林化工学院学报,1997（12）：73-75.12马跃超.亚正定阵及华罗庚定理的推广（I）J，辽宁师专学报,2000（12）：8-10.Abstract The article is a concerning a study for being partial to preface, time vestige, a shur repairing, time with together, an opposite angles occupying excellent grade primarily, inquirying into a concept for
13、being partial to preface, this text then for the very first time putting forward time being partial to preface, and very much the aspect of a relation for being partial to preface notequation delivering sex, chemical element.Keyword: Second settle, the time is second settle, the time is partial to the preface, the time turns to place, the time is symmetry, the versa time is symmetry, the matrix of M, the opposite angles occupies the excellent matrix.致 谢：感谢指导老师杨教授和各位老师多年来的悉心教导，感谢01数本的同学关心和帮助，感谢学校和系部的提供良好的治学环境。8