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1、数学化归思想及其应用【内容摘要】 数学思想方法是人们从具体数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式。数学化归思想方法是最基本、最常用的思想方法。当前对化归思想的定义、化归原则、化归方法的研究都有一定的理论深度， 本文根据前人的研究成果，首先分析了目前思想方法在数学教学研究中的重要意义 ,进而概述化归的含义、化归原则、化归模式及化归方法，然后通过实例详细介绍了化归思想方法在中学数学教材中的具体体现，力求通过对数学化归思想的研究来指导自己的教学，达到从实践上升到理论的地步。【 关键词 】 化归思想 化归原则 化归方法 化归模式当今世界各国都非
2、常重视数学教育，尤其重视数学思想方法，美国把“学会数学的思想方法”作为培养“有数学素养”的社会成员五项标志性的条件之一。我国在新一轮数学课程改革中也注重加强了能力培养和数学思想方法渗透，在数学课程改革的总体目标中提出“倡导学习有价值的、必须的数学知识、技能和思想方法”。在内容安排和教学中更加强调在数学知识的传授时注重知识发生过程中数学思想方法的教学，在揭示知识发生、揭示解决方法规律的抽象过程时，使学生学会正确的思维方法。数学思想是人们认识、理解、掌握数学的意识，数学方法是人们解决数学问题的方略。数学思想方法是数学意识和数学方略的总称。数学思想是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，反之，数
3、学思想对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作用。随着教育改革的深入发展，人们把学习数学知识，渗透数学思想方法的教育，作为数学教育的出发点和落脚点如果将“问题”比作数学的心脏，那么方法就是数学的行为，思想则是整个数学的灵魂所在。纵观古今，无论是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此我们在教学中，不仅要重视知识的形成过程，还要重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法:化归的思想方法。所谓
4、“化归”可理解为“转化”与“归结”的意思，就是根据已有的知识，通过观察、联想、类比，以及逻辑推理等手段，把需要解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题，即将“未知”转化为“已知”的数学思想方法。化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化直到化成已经解决或容易解决的问题的思想。即是以变化、运动、发展，以及事物间相互联系和制约的观点去看待问题，善于对所要解决的问题进行变形。学生一旦形成了化归意识，就能熟练地掌握各种转化，化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等等。在课堂中注意并正确运用“化归思想”进行教学，不但可以促使学生把握
5、事物的本质，促进学生思维的转化，有时可达到“润物细无声”的效果。一、 化归思想遵循的基本原则1、熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。2、简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 3、和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 4、直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 5、正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反
6、面去探求，使问题获解。二、化归思想方法化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。在古往今来的数学研究中，人们广泛使用化归方法来处理各种问题，例如解析几何的建立就是一个例子。法国著名数学家笛卡儿在研究思维原则时曾提出过一个期望，即所谓的能用以解决各种问题的“万能方法” ：把一切问题化归为数学问题；把一切数学问题化归为代数问题；把一切代数问题化归为方程式的求解。显然，如果认为能用这一方法解决所有的问题是不可能的。但是我们必须承认笛卡儿的思想中的确包含有相当合理的成分，那就是“数学化”、“代数化”、“计算化”的思想方法。笛卡儿虽然没能实现他的“万能方法”，但他通过建立坐标系把几何问题化归为代数问题，
7、开创了用代数方法研究几何问题的新纪元，不仅由此创立的解析几何是数学发展史上不朽的里程碑，而且他的研究也是应用化归思想方法解决问题的光辉范例。化归思想的特点就是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化未已知的、复杂的化为简单的、抽象的化为具体的、一般的化为特殊的、非基本的化为基本的，从而使问题得到解决。现在，化归思想方法已成为一种普遍的研究方法，不仅在数学家的研究工作中，就是在我们中学数学中也经常应用它解决许多具体问题。化归思维方法已成为一个十分重要的数学方法。1 抽象问题向具体问题转化例如在函数、方程引进了变量、未知数，把待求的量化归成了可表示的量，这就为问题的解决创造了
8、条件。所以把一个实际问题化归为函数、方程问题又是另一种重要的解题方法。例如图 AOC=900，OD平分COE，OB平分AOE，求BOD的度数。在这个问题中，如果直接去求BOD的 E D C B度数不太容易；但如果假设BOC=x COD=y，则有：2y+x=900x ，这样，我们就把这个几何问题化归为了方程问题。 O A接下去可轻松的地求得，BOD=x+y=450。 再如，等腰三角形的一个底角平分线，把周长分为63和36两部分，求它的腰长。 A 分析 如果设AB=X，BC=Y，则由三角形的内角D平分线定理可得：，再由AB=AC 得 63-X+36-Y=X， 联列得： 63-X+36-Y=X B
9、C 2X+Y=63+36 这样我们就把问题化归成了方程组的问题。只要解出方程组中的X、Y，就行了。2未知问题向已知问题转化例1 面积问题圆面积 多边形面积 三角形面积例2二次方程求解这两个例子都是把未知问题归为以知问题的求解，其核心内容是简化和转化，其方向是由难到易，化繁为简。3复杂问题向简单问题转化例如在讲平行四边形和三角形人面积时已经渗透了“转化”的思想，所以在讲授梯形的面积时，我大胆放手，让孩子们根据信息窗中梯形的有关信息，自己去探索、发现梯形的面积，我只是在适当的时机启发点拨他们：平行四边形、三角形的面积公式是如何推导的？有的孩子马上就想到转化的方法，转化成什么图形呢？经过思考，孩子们
10、想出了不同的转化方法。有的将两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形；有的将梯形沿着一条高线切下来补成一个长方形；有的通过做两条高线把梯形转化成一个长方形和两个直角三角形；还有的通过移动腰将梯形转化一个平行四边形和一个三角形来计算面积等等。除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答。例如我们学完了一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程，我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的。以后我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一
11、次或一元二次方程来解的。对其它代数方程和一元不等式也有类似的做法。在平面几何中，我们在学了三角形的内角和与面积计算等有关知识后，对n边形的内角和与面积的计算，也是通过分解、拼和为若干个三角形来加以解决的。在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线（新坐标系中）来实现的。其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来解决的例子就更多了。化归思想方法不仅直接培养学生辩证思维和创造性思维的能力，而且使学生感到学习数学非常有趣，收到了寓教于乐的效果。数学
12、思想方法作为基础知识的重要组成部分，渗透在学习新知识和运用解决问题的过程中，教师在教学过程中，要善于引导学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法，去解决实际问题，在这里，化归方法充分显示了它在数学发现、发明中的巨大作用。三、 化归模式一位科学家用用比喻十分生动地说明了化归思维的实质。“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些开水，应当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放在煤气灶上。”接着又提出了第二个问题：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经放了足够的水，这时你又应当如何去做？”这时，人们往往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是
13、这位科学家指出，这一回答并不能使她感到满意。因为，更好的回答应该是这样的：“只有物理学家才会这样去做；而数学家们则会倒去壶中的水，并声称我已经把后一个问题化归成先前的问题了。”把水倒掉-这是多么简洁的回答。 当然，上面的比喻确实有点夸张，但它和前面几个例子相比，也许更能体现数学家的思维特点-与其他应用科学家相比，数学家特别善于使用化归思想和方法。 应用化归原则解决问题的一般模式为： 把所要解决的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归思想。我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高
14、维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把乘法变为加法，把几何问题化为代数问题，把偏微分方程问题变为常微分方程问题，化无理为有理，化连续为离散，化离散为连续。由以上的分析，我们了解了化归的一般模式，我们还可以把化归的模进一步归纳为：作为一个合格的数学教师，不仅要有一定的传授知识和解题能力，而且要站在数学整个系统的高度，研究数学的内涵和外延，使中学生具备初步的数学逻辑思维能力，学到真正有用的数学，为以后的学习和工作奠定良好的基础. 【注释】：岳志义,化归思想论，2002年10月。岳志义，化归思想论，2002年10月。邱刚，数学思想方法的探究，1998年4月。【参考文献】： 1、钱佩玲著数学思想方法与中学数学 人民教育出版社 2000年8月。 2、黄雪燕著浅谈数学思想方法及其教学 陕西教育出版社 2001年10月。3、王林全 林国泰著中学数学思想方法概论 人民教育出版社 1999年8月。 9