毕业论文---定积分的性质及其应用.doc

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1、新疆财经大学本科毕业论文题 目： 定积分的性质及其应用学 号：2005101339 学生姓名：帕提古丽.喀迪尔院 部：应用数学学院 专 业：应用数学 年 级：2005 级 指导教师姓名及职称：买买提热依木.玉努斯（讲师）完成日期：2010 年 5 月 14 日摘要牛顿，莱布尼兹以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。它的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照，定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与

2、无穷有关的悖论的困扰，对于培养人的思维方法、品质，提高分析问题、解决问题方面有极好的促进作用。定积分是函数的一种特定结构总和式的极限。这种极限不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具，而且也是计算许多实际问题的重要工具，可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量。本文主要讨论定积分的一些性质从而推出在经济学和其他领域的运用。通过几道常见的定积分证明例题，从不同角度分析、研究定积分的特点，归纳总结出构造辅助函数。利用定积分的一些公式、性质、定积分中值定理来解决了几何、物理、经济上的实际问题。定积分作为数学知识的基础 ，是学习经济学的必备知识 ，主要讨论了经济学中的应用，在几何，物理及其计算收入

3、、收入流、消费者剩余和生产者剩余并解释其经济意义，寻求收入流现值和收入流将来值的一系列策略。关键词:定积分、性质、定理、应用目录第一章 定积分21.1 问题的提出21.2.1变力所作的功31.2.2 定积分的定义41.2.3求平面图形的面积51.2.4牛顿莱布尼兹定理71.3定积分的基本性质91.3.1 积分中值定理12第二章 定积分的实际应用152.1定积分在几何方面的应用152.1.1立体的体积152.1.2旋转体体积问题162.2定积分在物理上的应用172.3定积分在经济上的应用182.3.1收入流182.3.2消费者剩余和生产者剩余20结论22致谢23参考文献24第一章 定积分定积分是

4、微积分中的重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具。由于篇幅有限，这里只有定积分在平时计算中常用的几种性质，定理来解决实际问题。1.1 问题的提出1.曲边梯形的面积。 设闭区间上的连续函数，且。由曲线直线，以及轴所围成的平面图形（图1.1.1），成为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积。图1.1.2 图1.1.1在初等数学里，圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的。现在我们仍用类似的办法来求曲边梯形的面积。在区间内任取个分点，它们依次为 ，这些点把分割成个小区间 ，。再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（图1.1.2）。在每个小区间 上任取一点，作以为高，为底的小

5、矩形。当分割较细密时，由于为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积。于是，这个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积的近似值，即 （1）注意到（1）式右边的和式即依赖于对区间的分割，又与所有中间点的取法有关。可以想象，当分点无限增多，且对无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点和中间点的选取无关，则就把此常数作为曲边梯形的面积1。1.2.1变力所作的功图1.2.1设质点受力的作用沿轴由点移动到点，并设处处平行于轴（图1.2.1）。如果为常力，则它对质点所作的功为。现在的问题是， 为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标，即，为一连续

6、函数，此时对质点所作的功又该如何计算？由假设为一连续函数，故在很小的一段位移区间上可以近似地看作常量。类似于求曲边梯形面积那样，把细分为个小区间，；并在每个小区间上任取一点，就有 ，。于是，质点从位移到时，力所作的功就近似等于，从而 （2）同样地，对作无限细分时，若（2）右边的和式与某一常数无限接近，则就把此常数定义作为变力作为的功1。1.2.2 定积分的定义设函数在上有定义，用分点将闭区间分成个小区间，每一个小区间长度为 ，在每个小区间上任取一点，作乘积，并作和式，记。当 无限增大且时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在区间上的定积分，记为，即。由定积分的定

7、义可知，要求出定积分，关键是找出积分区间，写出被积表达式（或。更容易地看出被积表达式和积分区间写出被积表达式（或）。更容易地看出被积表达式 和积分区间1。1.2.3求平面图形的面积设连续曲线，轴及直线， 所围成的曲边梯形的面积为：（1）当时，由定积分几何意义可知，（图1）（2）当时，作出曲线关于轴的对称曲线，则曲线，轴及直线，围成曲边梯形的面积与相等（如图 1）即因此，一般的连续曲线， 轴及直线，所围成的曲边梯形的面积为由定积分的几何意义可知，由曲线及直线与轴所围成的平面图形的面积（如图 2）。（图2）这里表示为高，为底的小矩形的面积，它表示上区边梯形的面积的近似值，称为面积元素。在计算曲边梯

8、形的面积时，只要找出它的面积元素，并用定积分表示出来即可。这种方法称为微元分析法（元素分析法）。用微元分析法可以求一些平面图形的面积。常见的类型有两种：（图3）（1）（X型）：由曲线，直线所围成的平面图形（图3）。其面积元素，面积为。（图4）（2）（Y型）：由曲线，直线所围成的平面图形（图4）。其面积元素 ，面积为。下面我们看用定积分概念解决实际问题的四个步骤：利用定义求曲线梯形的面积可分四步： 分割 近似代替 求和 取极限。这样通过求曲边梯形面积得出定积分的定义。观察我们上述四步我们发现，第二步是最关键的，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式中的变量记号改变一下即可

9、换为，换为，而第三，第四两步可以合并成一步。在平面直角坐表系中求图形面积，首先要看它是由几个曲边梯形的面积的和或差得来的，然后确定出积分区间。其被积表达式（或）就是面积元素，面积元素 都是一个矩形面积，这个矩形的宽度是（或），长是（或）。我们通过下面例题的分析，来领会这种思路2。例1 ：用定积分定义计算。解：因为被积函数在区间上连续，所以在区间上可积(可积性的充分条件)，既定义中和式的极限存在。下面我们就用特定的分法和特定取法求这个极限值。为计算方法方便起见，把区间分成 等分，分点为：，每个小区间的长度都是，在每个小区间 ，在每个小区间上都取，于是和式 当时，有，即。1.2.4牛顿莱布尼兹定理

10、由和式的极限求定积分的值是十分复杂的，在多数情况下是行不通的，而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径，我们有下面的定理：定理1：（牛顿莱布尼兹定理）设函数在上连续，且是在该区间上的一个原函数，则 证：由定理条件可知，（变上限积分）是在区间上的一个原函数，而也是在区间上的一个原函数，则 ， ， 是某一个常数，既，在上式两边令 ， ，有 ，有。再令 ，就有 既 。于是称为牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，这是数学分析里面非常重要的公式之一，它给出了定积分与不定积分之间的联系，通过它我们可以利用不定积分来计算定积分，而不必用求和式极限的方法来计算，这个公式是定积分计算的基

11、础，也是积分学的基本公式。该公式的重要性在于把定积分的计算问题转化为求被积函数的原函数在上下限的函数值之差的问题，从而为定积分的计算提供了一个简便而有效的方法，使积分学得到广泛的应用。设为对上任一分割.由在上有界，它在每个上存在上、下确界：作和 ，分别称为关于分割的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）.任给，显然有. 定理2：函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应的一个分割，使得 设，称为在上的振幅，有必要时也记为.由于（或记为），因此可积推则又可改述如下：定理 函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应的某一分割，使得1.3定积分的基本性质我们平时求积分时，用和式的极限方法来

12、计算定积分不是很方便，在很多情况下在定积分概念的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。那我们看一下定积分的基本性质，由于篇幅有限，这里主要介绍定积分计算中常用的几种性质：性质1： 若，在上可积，则在上也可积，且。证： 性质2：若，在上可积，则 在 上也可积。证：, ，使 ， ， 因为 在 上可积，故 在 上有界，令，则 记 ，故在可积。但一般 。性质3：（积分区间的可加性）对，在可积的充要条件是：在和都可积，且 证略 。 例：设若，当时，得，当，求。解： 只有当时才有意义，而当或时本来是没有意义的。但为了运用上的方便，对它作如下规定：规定1

13、当时，令；规定2 当时，令.有了这个规定之后，对于的任何大小顺序来说性质三都能成立.例如：当时，只有在上可积，则有 性质4：（保号性）如果在区间上 且可积，则 。证：由于在上，因此的任一积分和都为非负.由在上可积，则有 。 性质5：（积分不等式性）如果在区间 上，则 。证：令，由性质1知道在上可积，且由性质4推得 .于是上式方程为成立。性质6：若 在 上可积，则 在 上也可积，且。证：分别记函数 与 在区间上的振幅为与，由于是 既 ， 故。（注：性质6是可积的充分条件而不是必要条件。如，狄里克里函数来说，在 可积，在 上不一定可积。如：当 为有理数， . 当 为无理数，那。在 不可积，但 在

14、可积）。1.3.1 积分中值定理当我们在实际中测量函数值的平均值时，常常是测得其近似值，但一次测量不是很保险，必须进行若干次测定，将测得数据的平均值，作为较好的近似值，即 称为个数 的平均值。在自然科学和工程技术中，不仅要求个数的平均值，也常常要求一个函数在某个区间上所取得充分多个值的平均值，例如，气温在一天中的平均温度等等。那么如何求一个闭区间上连续函数的平均值呢？首先将闭区间分个相等的小区间（区间长度），则每个小区间上的任何点对应的函数值近似看成相等，取区间 的右端点的函数值 ，则 。可近似地表示区间 上函数的一切值的平均值，越大时，这个算术平均值就能更好地代表在区间 上函数的一切值平均值

15、。故当时，这个算术平均的极限就称为函数 在 上的平均值，记作，即 。故函数在区间 上的平均值计算公式为 。这正是积分中值定理的中。例：求初速度为运动规律是，试求从时刻到时刻之间的平均速度。解：我们知道，速度故从而根据函数平均值公式可知从到的平均速度为：其中，分别代表在时刻，的速度。 （物理意义：平均速度等于初速与末速之和的一半）。在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，它是沟通函数与导数之间的桥梁，应用微分中值定理的基本方法是做辅助函数，证明积分第一中值定理时运用做辅助函数的方法。定理2（积分第一中值定理）如果 ，则

16、存在 ，使得证：，在上有原函数（可积性充分条件），记为的一个原函数。于是，由（Lagrange中值定理）其中， 。定理：（定积分估计定理）设 及分别是可积函数在上的最大值及最小值，则 。证：因为 ，由定积分不等式概念可得 .例：估计，则对 ，有 ， 在上单调递减。上界，下界 。第二章 定积分的实际应用定积分是微积分中的重要内容，它的应用范围很广，题目繁多，应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。凡是复杂图形的研究,化学反映过程的分析,物理方面的应用,以及弹道气象的计算,人造卫星轨迹的计算,运动状态的分析等等,都要用得到。但它的每一类型都有

17、一定的规律可循，只要掌握其要领，用定积分来解决所遇到的问题，将不是一件难事。本文在要谈的是定积分在几何，物理和经济上的应用。2.1定积分在几何方面的应用（图2.1.1）2.1.1立体的体积例：设有底面半径为的圆柱，被一与圆柱的底交成角且过底之直径的平面所截，求截下的楔形的体积。解：取坐标系如图，这时垂直于 轴的截断面都是直角三角形，它的一个锐角为 ，这个锐角的邻边长，故断面（三角形）面积为，则所求楔形的体积 为.2.1.2旋转体体积问题下面讨论旋转体的体积。设是上的连续函数，是由平面图形，绕轴旋转一周所得的旋转体。那么易知载面面积函数为，。于是得到旋转体的体积公式为（图2.1.2）例：求椭圆分

18、别绕轴与轴旋转而成的旋转体的体积。解：由于如图图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。1.求（绕轴旋转而成的旋转体的体积）由椭圆的方程得绕轴旋转而成的旋转体的体积为：。2. （绕轴旋转而成的旋转体的体积为）：解： 。（特别地，当时，得半径为的球体积为）。2.2定积分在物理上的应用例：设有一直径为20米的半球形池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。 图2.2.1 解：本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度的单位质点所需作的功不同，而对同一深度的单位质点所需作的功相同，因此如图建立坐标系，即轴在水平

19、面上，将原点置于球心处，而轴向下（此时表示深度）这样，半径可看作图在第一象限中部分绕轴旋转而成旋转体，深度的变化区间是 。因同一深度的质点升高的高度相同，估计算功时，宜于用平行于水平面的平面载半球成许多小片来计算。1. 选取区间 相应的体积 所以抽出这层水需作的功其中 是一立方米的水重，2. 3. 2.3定积分在经济上的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。例：已知某产品总产量的变化率为 （件/天），求从第 5 天到第10天产品的总产量。解：所求的总产量为2.3.1收入流当我们考虑支付给某人的款

20、项或某人获得款项时，通常把这些款项当成离散地支付所获得，既在某些特定时刻支付或获得的，但是一个大公司的收入，一般来说是随时流进的，因此，这些收益是可以被表示成为连续的收入流，既然收入流进公司的速率是随时间变化的，故收入流就被表示成。注意表示的是速率（其单位为，例如），而这速率是随时间（通常以从现开始算起的年份计算）变化的。正像我们可以求得某单独款项的现值和将来值一样，我们也同样可以求得某一款项流的现值和将来值和以前一样，其将来值表示这样获得一笔款项，它等于把收入流存入银行帐户并加上应得利息后的存款值，其现值等于这样一笔款项，你若现在把它存入可获利息的银行帐户中，你就可以在将来从收入流获得你预期

21、达到的存款值。当我们处理连续收入流时，我们会假设利息是以连续复利方式盈取的，这样假设是因为如果一笔款项和其利息都是连续变化的，则我们要得到的近似值（用定积分表示）会变得比较方便。图（2.3.1）假设我们要计算由（）表示的收入流，求从现在开始到年后的将来这一段时期收入流的总现值和总将来值，设年利率为总现值和总将来值分布在时间区间，1.选取，在这一段时间内所应收入的数额，在区间上收入的现值2.在区间上收入的将来值。因此，总现值。总将来值。例：求以每年都为100元流进的收入流在20年的期间内的现值和将来值，假设以10的年利率按连续复利方式盈取利息。解：现值元将来值已知总产量的变化率求总产量。例：设某

22、产品在时刻总产量的变化率为（）求从到的总产量（的单位为）。解：设总产量为，由已知条件，则知总产量是的一个原函数，所以有即所求的总产量为单位。图（2.3.2-1）2.3.2消费者剩余和生产者剩余供给函数的反函数为也称为供给函数,为递增，需求函数的反函数设为也称为需求函数递减。 在平衡点，有一定数量的消费者已经比他们原来打算出的价钱低的价格购得了这种商品（例如，有一些消费者，他们本打算以甚至接近的价钱来购买这种商品），同样地，也存在一些供给者，他们本来打算生产价格低一些这种商品（实际上，可能低到价格），因此，有下面的定义：所谓消费者剩余，是指消费者因以平衡价格购买了某种商品而没有以比他们本来打算出

23、的价钱较高的价格购买这种商品而节省下来的钱的总数。所谓生产者剩余，是指生产者因以平衡价格出售了某种商品而没有以比他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品而获得的额外收入。图（2.3.2-2）假设所有消费者都是以他们打算支付的最后价格购买某种商品，如果所有打算以比高的价格支付商品的消费者确实支付了他们所情愿支付的，先考虑选取消费者消费量消费者消费总量是到之间需求曲线下的面积。现在，如果所有商品都以平衡价格出售的，那么消费者实际上的消费额，为两条坐标轴及直线 ，所围成的矩形的面积，于是消费者剩余可以从下面公式计算出来，消费者剩余 = 需求曲线以下，直线以上的面积，同理是生产实际售出商品的收入总额，

24、是生产愿意售出商品的收入总额，因此，生产者剩余如下，生产者剩余 = 供给曲线与直线之间区域的面积。结论编写论文中遇到的艰辛让我感觉到以前学习的不足。经过多查资料和与指导老师交流感觉到，讨论会是问题清晰化，更容易发现问题，解决问题，也积累了编程经验。通过完成毕业论文的过程中，我感受到定积分在解决问题中的独特魅力，通过积分中值定理及其证明的学习，感受世界各国对数学“真，善，美”不懒追求的情怀以及我国灿烂辉煌的数学文化，了解数学对社会发展的推动作用领悟教学的人文内涵和文化价值。著名数学家哈尔莫斯曾经说过；“问题就是数学的心脏！”考虑到知识方面，我上大学就接触过定积分，但那时我对它没什么兴趣，况且不知

25、道利用它能解决很多实际问题。知识的增多对它有所认识。定积分是用函数的概念解决实际问题并且是蕴含着体积、面积、功、利润等实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，努力提高自己的知识面。致谢在论文即将完成之际，又一段宝贵的人生经历即将结束，在我进行毕业编写的过程中，得到了很多人不遗余力的帮助，谨以此文对他们深表谢意。我从毕业论文题目选择到具体的编写过程中，无不凝聚着老师的心血和汗水。买买提热依木老师的学识、平易近人的待人风格、宽广的胸襟和对学生无微不至的关心使我明白了许多治学为人的道理。在四年的学习中，我要感谢数学学院的各

26、位老师，他们的热情鼓励，为我的成长付出了辛勤的劳动，在此，向他们表示衷心的感谢!我还要感谢我的家人我的父母，有了父母的大力支持我才能够顺利地完成学业没有你们,就不会有今天的我! 我一直感恩,感恩于我可以拥有一个如此温馨的家庭,让我所有的一切都可以在你们这里得到理解与支持,得到谅解和分担.我爱你们,爱我们的家!最后，在此向为我创造良好的生活和学习条件的所有人表示深深的感谢和崇高的敬意！参考文献1 华东师大数学系编.数学分析（上册）.第三版。2辛春元.定积分的应用研究.现代上贸工业，2008年第11期。3 徐建豪，刘克宁等.微积分.高等教育出版社，2001。4 同济大学数学系主编.高等数学（上册）.第五版。5郭大钧，陈玉妹等.数学分析.山东科学技术持出版社，1982。6聂烧俊.定积分的应用旋转法.科技情报开发与经济.2006年第16卷第二期。7徐建豪，刘克宁等.微积分.高等教育出版社，2001。8李辉来，孙毅等.微积分.清华大学出版社，2005年第一版。24