毕业论文-特征值与特征向量的应用12404.doc

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1、本科生毕业论文设计 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的应用 作者姓名：卢超男 指导教师：兰文华 所在学部：信息工程学部 专 业：数学与应用数学 班级（届）：2013 届 2 班 二一三年四月二十六日 目目 录录 摘要摘要.1 绪论.2 1 特征值和特征向量3 1.1 特征值与特征向量的概念.3 1.2 特征值与特征向量的性质.3 2 矩阵的特征值和特征向量的求法4 2.1 具体的数字矩阵.4 2.2 抽象的矩阵.4 2.3 相似矩阵.5 2.4 实对称矩阵.6 3 特征值和特征向量在生活中的应用.8 3.1 经济发展与环境污染的增长模型 8 3.2 莱斯利（Leslie）种群模型 .11

2、 参考文献18 英文摘要19 摘要摘要 特征值与特征向量是高等代数中一个重要的部分，并在理论和学习及实际生活，特 别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性 质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应 用有着非常重要的价值. 正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质的充分总 结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部分，是具体的将矩 阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹配，具体的解决问题并有相 关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在生活的具体事例，来展示他的应用

3、性。 特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、性质， 在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。 关键词：特征值，特征向量，矩阵 2 绪论绪论 在已有研究的基础上，该文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特 征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加简捷便 利，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽例子的阐述和说明.该文重点介绍了对特 征值与特征向量在不同类型矩阵中的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的 作用，在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，使问题更简单，运算上 更方便，是简化有关复杂问题的一种很好而

4、有效途径.该文就是通过大量的例子加以说明 运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃 而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性得到了很大的展现。 3 1 特征值和特征向量特征值和特征向量 1.11.1 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 定义 1，设是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中的一数A ，存在一个非零向量 ，使得 0 0 = A 那么 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值的一个特征向量。 0 AA 0 定义 2，设 是 n 阶矩阵，若存在数 及非零的 n 维列向量 ，使得A A 成立，则称是矩阵特征值，称非零向

5、量是矩阵 属于特征值的特征向AA 量。 （注：特征向量是非零向量） 行列式称为矩阵的特征多项式。称为矩阵的特征( )fAA0A A 方程。 1.21.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 1）如果 都是特征值 所对应的特征向量，则 的线性组合 12 ， i 12 ， 1 122 k ak a （非 0 时）仍是属于 的特征向量。 i （注：该性质说明的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个 i 特征值。 ） 2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当时矩阵的 k 重特征值时，矩 i A 阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过 k 个。A i （注：因 A 只有

6、 n 个特征值，故 A 的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多有 n 个，并且若 是矩阵 A 的不同特征值， 分别为的特征向量，则 与 12 , 12 , 12 , 1 的线性组合不再是 A 的特征向量。 ） 2 1 122 k ak a 3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵 A 行列式的值，即 111 , nnn iiii iii a A 4）n 阶矩阵 A 和他的转置矩阵 有相同的特征值。 A 5）n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是，他的任一特征值均不等于零。 4 6）若 是矩阵 A 的特征值，则对任何正整数 k, 是 的特征值。 k k A 2 矩阵的特征值

7、和特征向量的求法矩阵的特征值和特征向量的求法 2.12.1 具体的数字矩阵具体的数字矩阵 对于具体的数字矩阵的步骤如下： 1）先有具体的特征方程 求出矩阵 A 的全部特征值 0A i （i=1,2,3,、 、 、n,）,其中可能有重根， 2）对每个不同的特征值，分别解齐次方程组 ， i (A)x0 i 3）求出方程组的基础解析 （注：设 ，基础解析为 、 、 、 ，则矩阵 A 属于特征值的() ii rrA 12 , , i n r i 全部特征向量为 （其中 ， 是不全为零 1 122n +, ii n rr kkk 、 12 ,k k i n r k 的任意常数。 ） 例 1，求矩阵 的特

8、征值和特征向量？ 324 262 423 A 解：本题可以由特征方程，即0A 22 324724 262062 423723 (7)(514)(7) (2) A 当 时， 得 7 424212 7212000 , 424000 A 12 11 2,0; 01 当 时， 得 2 524141 2282021 , 425000 A 3 2 1 , 2 当所以 A 的特征值是 相应的特征向量分别是 123 7,2, 其中 112233 ,kkk 123 (k ,k )(0,0),k0. 2.22.2 抽象的矩阵抽象的矩阵 抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及性质推导出特征值的取值。 5 例 2，

9、设 A 是 3 阶矩阵， 是 3 维线性无关的列向量，且 123 , 112321233 3,435,0AAA 求矩阵 A 的特征值和特征向量。 解：由 知 是 A 的特征值， 是的特征向量。 33 00,A0 3 0 由已知条件，有 123123123 123 (,)(3,435,0) 140 =-1-30 , 350 A （，） 记 由线性无关，知矩阵 P 可逆， 123 (,), 123 , 其中 140 130 , 350 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B 的特征多项式 2 140 130(1) , 35 所以矩阵 A 的特征值是-1，-1,0. 对于矩阵 B， 240120 1

10、20011 . 351000 所以矩阵 B 关于特征值 的特征向量是 =-1=- （2, 1, 1）。 若 即 那么矩阵 A 关于特征值的特征向量是= ，= A（），=-1 123123 -2 =1=-2+ 1 （，）。 因此， 分别是矩阵 A 关于特征值和 的特征 1 k 12323 ( 2),k=-10 向量， （ ） 。 12 0k k 6 2.32.3 相似矩阵相似矩阵 定义 1：设 A，B 是 n 阶矩阵，如存在可逆矩阵 P，使 则矩阵 A 与 B 相似，记, A A: 利用特征值和特征向量解决矩阵的相似对角化，其解题步骤： 第一歩，先求出矩阵 A 的特征值 ： 12 , n 第二步

11、，再求出所对应的线性无关的特征向量 12 ,. n 第三歩，构造可逆矩阵 P =（） ，则 12 ,. n 1 2 =. n A 例 1，已知 求可逆矩阵 P，使得 110 220 , 213 A . A 解：由 2 1 10 1 1 220(3) 22 213 (3)0 A 得矩阵 A 的特征值 123 3,0. 当 时，对 3 210210 (3)0,3210000 , 210000 AA 的特征向量 12 (1, 2,0) ,(0,0,1). 当 时，对 0 120110 (0)0,0220000 , 213000 AA 得特征向量 3 ( 1, 1,3) . 那么，令 有 123 10

12、1 (,)201 , 011 3 3. 0 A 7 2.42.4 实对称矩阵实对称矩阵 实对称矩阵的性质 （1） ，实对称矩阵的必可对角化； （2） ，特征值全部是实数； （3） ，不同特征值得特征向量相互正交； （4） ， 重特征值必有个线性无关的特征向量，或者说必有秩 i n i n()n n . i rA 解题实对称矩阵的一般步骤： 第一步，当 A 的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵 P； 第二步，当特征根有重根 时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向 i i 量用 Schmidt 正交化处理，才能构造出正交矩阵 P。 例 2：设矩阵 的特征值有重根，试求正

13、交矩阵 Q，使 为对角形。 122 24 242 a A Q AQ 解：A 的特征多项式 122122 2424 2422202 aa A 2 322 32 104(2) 10 002 (2)(3a)(3a20) , a a 由于判别式 没有实数根，即 2 4(320)0a（3-a） 所以只能 是重根。于是 22 (3)(3a20)(k) ,a2 必有 的因式， 2 (3a)(3a20)2 因此由 得 a=-2. 2 22(3a)(3a20)0, 对于 由 即 2,(2)x0,A 122122 244000 244000 ， 得到线性无关的特征向量 用 Schmidt 正交化方 12 =,(2

14、,0,1) . （-2, 1, 0） 法，现正交化，有 8 21 11221 11 2222 (,)41 1,014 , (,)55 0105 再将 单位化，得 12 , 12 12 12 22 11 1,4 . 53 5 05 对于 由 即 7, ( 7)x0, A 8222-5-4 254011. 245000 得特征向量 单位化为 3 (1,2, 2), 3 1 (1,2, 2) . 3 那么，令 即有 123 221 35 3 5 142 ( ,), 353 5 52 0 33 5 Q 1 2 QQ=Q AQ=2. 7 A 3 特征值和特征向量在生活中的应用特征值和特征向量在生活中的应

15、用 矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、生命科学和环境保护等领域都有 着广泛而重要的应用.结合数学模型来研究经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利 （Leslie）种群模型这两种模型，还有很多相关的生活实例，在本文中着重介绍经济发 展与环境污染的增长模型和莱斯利（Leslie）种群模型这两种模型。 3.13.1 经济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.党的十八大也做出了 重要的决策。为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可以建立如下数学模型： 设分别为某一地区目前的经济发展水平与环境污染水平，分别为该地 00

16、, y x 11, y x 9 区若干年后的经济发展水平和环境污染水平，且有如下关系： 令 则上述关系的矩阵形式为 该式反映了该地区目前和若干年后的经济发展水平和环境污染水平之间的关系. 如 则由上式可得 由此可以预测该地区若干年后的经济发展水平和环境污染水平. 一般地，若令分别为该地区 t 年后的经济发展水平与环境污染水平，则经济发展 tt yx , 与环境污染的增长模型为 令 则上述关系的矩阵形式为 由此，有 由此可预测该地区 t 年后的环境污染水平和经济发展水平.下面可以作出进一步地相关讨 论： 由矩阵 A 的特征多项式 001 001 22 3 yxy yxx 1 1 1 0 0 0

17、, y x y x 22 13 A . 01 A 1 1 0 0 0 y x 001 4 1 1 4 4 4 1 1 22 13 A ),2, 1( 22 3 11 11 kt yxy yxx ttt ttt t t t y x ktA tt , 2, 1, 1 . )(, , , 01 0 3 23 0 2 12 01 t tt AA AA AA A ) 1)(4( 22 13 | AE 10 得A 的特征值为 对度 ，解方程得特征向量4 1 0)4(XAE 对，解方程得特征向量 1 1 0)(XAE 显然, 线性无关 21, 下面分三种情况分析： Case 1 一个性质:若是矩阵 A 的属

18、于特征值的特征向,则也是的属于特征值的特征向 k A k 量度 (*) 由(*)及特征值与特征向量的性质知， 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水 平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势. 不讨论此种情况 02 0 y 不是特征值, 不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来 0 0 21 ， 210 23 1, 4 21 1 1 1 2 1 2 1 1 10 1 1 4 1110 tttt t AA 1 1 4t t t y x t tt yx4 2 1 2 20 Case 7 1 3 0 Case 11 由(*)及特征值与特征向量的性质

19、 即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平. 因无实际意义而在 Case 2 中未作讨论，但在 Case3 的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中 成功的被应用. 3.23.2 莱斯利（莱斯利（LeslieLeslie）种群模型）种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。 设某一动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年） ，将区间0,L作n等分得n 个年龄组 每个年龄组的长度为 设第i个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为 i，存活率（即第i个年龄组中

20、可存活到第i+1 个年龄组的雌性动物的数目与 第i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为bi 。 令 , 2211 21210 443 243 2 1 12 1 1 4323 23)23 ( t t tttt ttttt AAAA , 443 243 t t t t y x , 243 t t x443 t t y 2 , 1 L n i L n i , 2 , 1ni . n L , 1 L n i L n i )0( )0( 2 )0( 1 )0( n x x x X 12 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。 取 设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为 令 则X(

21、k)即为时刻tk该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化， 该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化. 易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段tk-1,tk 内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即 （2.1） 又tk时刻该动物种群的第i+1 个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1 时刻第i个 年龄组中雌性动物的存活量，即 （2.2） 联立（2.1）和（2.2）得 （2.3） 即 （2.4） )0( X , L n k tk , 2 , 1k , )(k i x ni, 2 , 1 ,2, 1k , )( )( 2 )( 1 )( k n

22、k k k x x x X ) 1() 1( 22 ) 1( 11 ) 1( 2 ) 1( 21 ) 1( 1 )( 1 k nn kk n k n kkk xaxaxa axaxaxx , )1()1()( 1 k iii k i k i xbbxx 1, 2 , 1ni 1, 2 , 1, ) 1()( 1 ) 1() 1( 22 ) 1( 11 )( 1 nixbx xaxaxax k ii k i k nn kkk ) 1( 11 )( ) 1( 22 )( 3 ) 1( 11 )( 2 ) 1() 1( 11 ) 1( 22 ) 1( 11 )( 1 k nn k n kk kk k

23、 nn k nn kkk xbx xbx xbx xaxaxaxax 13 令莱斯利矩阵 则（2.4）即为 于是 （2.6） 由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X(0)，则可计算出tk 时 刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X(k)，从而对该动物种群中雌性动物的数量作 出科学的预测和分析. 例例 3 31 1 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 15 年，且以 5 年为间隔将雌性动物 分为 3 个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3 个年龄组的雌性动物 的生育率分别为 0，4，3，存活率分别为 0.5，0.25，0，初始时刻 3 个年龄组 的雌性动物的

24、数目分别为 500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种 群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析. 解： 由（2.6）得 000 000 000 1 2 1 121 n nn b b b aaaa L , ) 1()( kk LXX , 2 , 1k . , , , , )0()1()( )0(3)2()3( )0(2)1()2( )0()1( XLLXX XLLXX XLLXX LXX kkk , 3,15nL , 3, 4, 0 321 aaa.25 . 0 , 5 . 0 21 bb , 500 1000 500 )0( X 025 . 0 0 005 . 0 340

25、 L 250 250 5500 500 1000 500 025. 00 005 . 0 340 )0()1( LXX 5 . 62 2750 1750 250 250 5500 025 . 0 0 005 . 0 340 )1()2( LXX 14 下面求 由矩阵L的特征多项式 得L的特征值为 由矩阵L可相似对角化. )0()1()( XLLXX kkk . k L ) 4 1 2 3 )( 2 3 ( 25 . 0 0 05 . 0 34 | 2 LE 4 53 , 4 53 , 2 3 321 得特征向量，解方程组对0) 2 3 ( 2 3 1 XLE 18 1 3 1 1 1 特征向量

26、 得，解方程组对0) 4 53 ( 4 53 2 XLE 53 5614 51636 2 特征向量 得，解方程组对0) 4 53 ( 4 53 3 XLE 15 令矩阵 则P可逆，且 于是 从而 53 5614 51636 3 5353 18 1 56145614 3 1 51636516361 ),( 321 P 3 2 1 1 LPP 1 3 2 1 PPL )0(1 3 2 1 )0()( XPPXLX kkk )0(1 1 2 1 2 1 )0(1 3 2 1 )0(1 3 2 1 )( )( 1 XPP XPPXPP k kk k k k k 16 两边取极限得 500 1000 5

27、00 5353 18 1 56145614 3 1 51636516361 )( )( 1 1 1 2 1 2 1 k kkP 500 1000 500 380 5117255 760 595 380 5815 380 5117255 760 595 380 5815 19 8 19 27 19 9 )( )( 1 1 2 1 2 1 k kkP 19 529006125 19 525005875 19 27500 )( )( 1 1 2 1 2 1 k kkP 19 529006125 19 525005875 19 27500 )( )( 1 1 1 2 1 2 )( 1 k kk k P

28、X 19 529006125 19 525005875 19 27500 )( )( 1 lim 1 lim 1 2 1 2 )( 1 k k k k k k PX 17 于是，当k充分大时， 由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将 趋于稳定，即 3 个年龄组中雌性动物的数目之比为 且时刻该动物种群的 3 个年 龄组中雌性动物的数目分别为 19 529006125 19 525005875 19 27500 )( )( 1 lim 1 2 1 2 k k k P . 19 27500 0 0 19 27500 ),( 0 0 19 27500 ) 1, 1

29、( 19 529006125 19 525005875 19 27500 0 0 1 3321 1 2 1 2 P P 18 1 3 1 1 ) 2 3 ( 19 27500 19 27500 19 275001 11 )( 1 )( 1 kkk k k X X , 18 1 : 3 1 :1 18 且其总和为 参考文献参考文献 1 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003. 2 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究J.山东行政学院山东省经济管理干部 学院学报，2008， （91）:4648. 3 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究J.重庆三峡学院学报，2009,25（

30、117）： 135138. 4 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系J.连云港师范高等专科学 校学报，2004,（4）：7576. 5 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报，2009,11（3）：139 140. 6 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法J.甘肃联合大学学报（自然科学版） ， 2006,20（3）：2022. 7 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题J.大学数学，2004,20（4）： 9295. 8 姚幕生.高等代数M.上海:复旦大学出版社,2002 9邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究J.菏泽学院学报，2006，（5）：20

31、 23. 10奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J.枣庄师专学报，1991,（2）： 2630 11郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用J.渝州大学学报（自然科学 版），2000,17（2）：7275. 12同济大学数学教研室.线性代数（第二版）M.北京：高等教育出版社.1993,115 137 13矩阵的特征值、特征向量和应用J.临沂师专学报，1994，（5）：17. ,) 2 3 ( 19 27500 k ,) 2 3 ( 57 27500 k .) 2 3 ( 342 27500 k .) 2 3 ( 171 343750 k 19 英文摘要 Applicatio

32、ns of eigenvalue and eigenvector Abstract: Characteristic value and characteristic vector in higher algebra is an important part of, and in the theory and the learning and real life, especially in the modern science and technology has a very important role. This article mainly discusses and summariz

33、es the properties of eigenvalues and eigenvectors, through examples show the superiority of eigenvalue and eigenvector and convenience, eigenvalues and eigenvectors and their applications has very important value. Text has divided into three parts, the first part, the concept of eigenvalue and eigen

34、vector, properties of fully summarized. This is in order to better use of the definition and properties to solve the related matrix of the problem; The second part, is concrete matrix to classification, according to the type of matrix and characteristic value and characteristic vector matching and t

35、he properties of concrete problem solving and a related example. The third part, it is name eigenvalue and eigenvector in the concrete facts of life, to show his application. Characteristic value and characteristic vector has a wide range of USES, this paper only on characteristic value and characte

36、ristic vector concept, properties, application in mathematical matrix and life carries on the brief research conclusion. Keywords: characteristic value of characteristic vector matrix 20 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）评议书 姓 名学部信息工程专业数学与应用数学 年级（班） 2009 级 1 班 论 文 题 目特征值与特征向量的应用完成时间4 月 26 日 论 文 内 容 摘 要 本篇论文，通过对特

37、征值和特征向量的基础性阐述，应用到矩阵的解题实 例中，最后进行对生活中应用的论证。而且特征值与特征向量是高等代数中一 个重要的部分，并在理论和学习及实际生活，特别是现代科学技术方面都有很 重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特 征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常 重要的价值. 正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质 的充分总结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部 分，是具体的将矩阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹 配，具体的解决问题并有相关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在 生活的具体事例，来展示他的应用性。 特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、 性质，在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。总体的思路很明确， 有最基础的知识，到相关书本上的应用，最后来阐述在生活中现有的实例，来 证明特征值与特