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1、各专业完整优秀毕业论文设计图纸行列式的计算马志娥(西北师范大学数学与统计学院, 甘肃, 兰州 , 730070)摘要: 行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.本文介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法.关键词: 范德蒙行列式; 降阶法; 升阶法; 递推法; 数学归纳法; 代数余子式的计算; 拉普拉斯定理展开符号说明: 表示第 行 表示第列 表示行列式元素的余子式 表示行列式元素的代数余子式 表示第 行的倍加到第行 表示第 列的倍加到第列 The Calculation of the DeterminantMA Zhi-e(College of Mathem
2、atics and Statistics, Northwest Normal University,Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract: The determinant is an important tool to study many disciplines, so the calculation of the determinant is a commonly concerned problem. Several particular and effective methods of calculating the determinant are
3、introduced in this paper.Key words: Vandermonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods; mathematical induction; calculation of algebraic complement; method of Laplace expansion;引言使用行列式按行（列）展开,可以将行列式写成低一阶的行列式的代数和,从而将行列式降一阶.但是,由于展开式是项代数和,因此计算量任很大,可以考虑一些减少计算量的方法,并
4、且选择最佳计算方法.行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.课本中只介绍了几种计算方法,本文主要介绍几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法,具有针对性.一、化行列式为三角行列式使用行列式的性质将行列式化为三角行列式 箭形行列式例1.1 计算行列式解 可化为箭形的行列式例1.2 计算阶行列式解 行（列）和相等的行列式例1.3 计算阶行列式解 相邻行（列）元素差的行列式以数字为（大部分）元素,且相邻两行（列）元素相差1的阶行列式可如下计算:自第一行（列）开始,前行（列）减去后行（列）,或自第行（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为或的行列式.例1.4
5、.1 计算阶行列式解 由 例1.4.2 计算阶行列式解 二、利用范德蒙行列式结果计算当行列式各行（列）都是某元素的不同次幂的形式,使用行列式的性质将行列式整理成范德蒙行列式.例2 计算行列式解 考虑阶范德蒙行列式 三、降阶法使用行列式的性质将行列式的某行（列）化为只有一个非零元素,然后按这一行（列）展开,这样就可以将行列式降一阶,每展开一次,行列式的次数可以降低一阶,如此继续进行直到将行列式降到二阶行列式并求其值.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.例3 计算阶行列式解 四、升阶法升阶法（也称加边法或镶边法）,是在原行列式的基础上增加一行一列（即升一阶）且保持原行列式不变的情况下计算行列式
6、的一种方法.可用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点,且化简后常变成箭形行列式.例4.1 计算阶行列式解 例4.2 计算阶行列式解 五、递推法使用行列式的性质,将所求的阶行列式用同样形式的阶行列式表示出来,建立与之间的递推关系,有时还可以将用同样形式的比阶更低阶的行列式表示,建立他们之间的递推关系,从而找到递推公式,最终求出阶行列式的值.例5.1 证明证明 例5.2 计算阶行列式解 得, 联立得,六、数学归纳法当已知一个阶行列式的结果,要证明其等式对于任意的自然数都成立,常使用数学归纳法证明.如果未知阶行列式的结果,也可以先计算当时的行列式值,推导出阶行列式的结果,然后使用数学
7、归纳法证明结论的正确性.这种方法通常用在证明阶行列式的等于某个值的题目中.例6 证明证明 综上可知, .七、代数余子式的计算 例7 设阶行列式,求第一行各元素的代数余子式之和解 显然第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 八、利用拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广.为了灵活应用拉普拉斯展开定理,必须正确理解其含义.该定理是说在阶行列式中任意选定个行（列）（且这个行（列）不一定相连）,位于这行（列）中所有阶子式（共个）与其相应的代数余子式的乘积之和等于原行列式,即需要提醒的是是的代数余子式,计算时不要遗漏其符号,即 在利用拉普拉斯定理进行计算时,为使计算简便,一般
8、选含零多的个行（列）展开.例8 利用拉普拉斯定理计算阶行列式解 九、一题多解例9 计算阶行列式解法1 然后提取第一个公因子,可得,解法2 解法3 解法4 参考文献【1】徐仲.线性代数典型题分析解集.2版.西北工业大学出版社,1997【2】赵慧斌,高旅瑞.线性代数专题分析与解题指导.北京大学出版社,2007,8【3】张天德,蒋晓芸.线性代数习题精选精解.山东科学技术出版社, 2009,12【4】上海交通大学数学系编. 线性代数习题与精解.2版. 上海交通大学出版社, 2004,6【5】刘书田,王中良编. 线性代数学习辅导与解题方法.高等教育出版社, 2003,7【6】徐仲,陆全等.高等代数考研教案. 2版.西北工业大学出版社, 2009,6【7】北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数.第3版.高等教育出版社, 2003,2【8】张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解.第5版.中国矿业大学出版社, 2009,216