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1、专业好文档商品期货市场尾部相关性初探韩高峰 鲍建平摘 要：本文对上海期货交易所与伦敦金属交易所铜期货价格的尾部分布与相关特性作了研究。我们发现：两交易所的日间收益率数据的样本峰度比正态分布要高，尾部呈现出Frechet分布（或厚尾）特征，而且伦敦金交所的厚尾特征比期交所的更明显；两序列的右尾有限相关度显著，但渐进不相关。而它们的左尾不仅有限相关度显著，而且也表现出很强的渐进相关度。关键词：商品期货市场；极值理论；尾部相关性作者简介：韩高峰，复旦大学经济学院博士后流动站博士后、上海期货交易所研发中心研究员；鲍建平，上海期货交易所研发中心副主任。中图分类号：F830.9 文献标识码：AAbstra
2、ct：We examine the tail characteristics of and tail dependence between return series of copper futures traded at the Shanghai Futures Exchange (SHFE) and the London Metal Exchange (LME). We find that both return series have fat tails comparing to normal distribution, and the tail fatness of LMEs is m
3、ore significant. While the right tails of the two series have strong finite dependence, they are asymptotically independent. However, the left tails are not only finitely dependent, but also asymptotically dependent in general. Key words：futures market；extreme value theory； tail dependence 引言极值理论是研究
4、极端事件统计量的理论方法，它起源于对罕见的自然灾害或自然现象的研究。从统计学角度看，这些现象是随机小概率事件。由于这些事件一旦发生，其后果非同一般，因此对它们的研究越来越受到重视。从随机序列的分布看，小概率事件位于分布图的左右尾部区域。与此相对应，极值理论着眼于对分布的尾部区域的研究。 一般的金融序列，其分布的中心区域服从正态分布，但尾部分布有别于正态分布。通常，对尾部正态分布的假设是一个比较合理的近似。该假设的优点在于它便于建模，而且一般可以得到模型的显解。典型的金融风险分析方法，比如JP Morgan的RiskMetrics就是以序列的正态分布假设为基础的。然而，现代电脑技术的发展，使复杂
5、的无显解模型的计算已不成问题。加上现代金融产品与交易日趋复杂，金融界的极端事件，比如金融危机，会给正常的经济活动造成巨大损失，所以对金融序列尾部分布的更精确描述就很有必要。研究发现，金融序列的尾部通常可以用一般Preto分布（GPD）中的Frechet分布来描述。Frechet分布通常被称作厚尾分布。厚尾分布的峰度值比正态分布要大。峰度越大，其分布越平坦，尾部就越厚（也就是说，位于尾部区域的极端事件发生的概率就越大，而位于中心区域的事件发生的概率就越小）。所以对厚尾分布用正态分布来近似，会低估风险值。如果投资者投资于两种或两种以上的金融资产，那么对风险值的估计，除了单个资产的尾部分布外，还需度
6、量资产尾部的相关性。对随机序列的相关性研究，最一般的方法就是用Pearson相关度公式，Pearson相关度基于观测值对均值的平均偏离程度，而且在求这个平均偏离度时，各观测值所赋予的权重是相等的。但是，尾部的观测值是罕见的，它们的相关特性有别于其他的中心观测值。因此，Pearson相关度对于尾部相关度的描述尚嫌不足。而极值理论为尾部相关性的研究提供了有力的工具。最近几年有国外学者把极值理论应用于信贷和股票市场。比如，Gencay & Selcuk（2001，2003）应用极值理论检验了信贷市场与股票市场的过度波动与风险极值估计。Longin & Solnik（2000）、Fernandez（2
7、003）及Poon et. al.（2003）应用极值理论分析了国际股市的尾部相关性。但目前还没有学者对国际期货市场的尾部相关性做过研究。由于期货交易是零和竞争，回报率分布的左尾和右尾都意味着高风险。加上中国作为一个生产资料流转大国的地位正在上升，SHFE与LME之间的期铜套期保值交易活跃，研究这两个市场尾部的联动对期货市场的交易与风险管理有重要的意义。理论框架衡量尾部相关性首先要给左尾和右尾选择一个临界值，大于右尾临界值或小于左尾临界值的极值数据就位于分布的尾部。我们有两个衡量尾部相关性的指标，一个为渐进相关度，另一个为有限相关度。渐进相关度是尾部分布的相关度在临界值趋于无穷大或无穷小时的极
8、限值，而有限相关度是在尾部分布渐进不相关（渐进相关度为零）的情况下在临界值足够大时的值。两个相关度指标一起刻划金融资产的尾部相关性。渐进相关性的表述是基于下面的公式：R1=R1(s) = P(T1s| T2s)。 (1)R1描述的是，给定两个时间序列T1与T2，在T2的观测值大于给定临界值s的条件下，T1的对应观测值亦大于s的渐近概率（当s时）。当T1与T2完全渐近相关时，R1=1。当T1与T2渐近不相关时，R1 = 0。如果把T1与T2 化成具有边际标准均匀分布的变量U与V，则标准均匀分布的临界值u1对应于原始分布的临界值s。 当临界值u1时，P(Uu|Vu) = P(Uu,Vu)/P(Vu
9、)2- lnC(u,u)/lnu，其中Copula C(u,u) 是U 和V的联合分布。 如果定义R1(u) = 2- lnC(u,u)/lnu, 则R1 R1(u) （1）当两个序列渐近不相关时，它们或许是有限相关的，即在临界值很大但不趋于无穷时， 相关度不为零。一个渐进不相关但有限相关的公式由Coles et.al. (1999) 给出：R2 = -1。 (2 )类似地，如果把T1与T2 化成具有边际标准均匀分布的变量U与V，则P(Uu)= 1-u,并且标准均匀分布的临界值u1对应于原始分布的临界值s, 并且。如果定义R2(u) = 2ln(1-u)/ln(u,u)-1， 其中(u,u)
10、是U与V的联合Survivor 方程，则 R2 R2(u) （2） 当R20时，T1与T2有限正相关；当R2 = 0时，T1与T2有限不相关，因而也是渐近不相关；当R20, 有限相关度R2=1。对于渐近不相关的两个序列，渐近相关度R1= 0，有限相关度为-1R2s,T2s) L(s)s-1/h, L(s)可近似为一个常数。如果令Y= min(T1,T2), 则P(Ys) = P(T1s,T2s) L(s)s-1/h。因此我们可以从T1与T2构造一个新序列Y，双变量下的临界值s的选择和参数L(s)与h的估计简化成了对于单变量Y的临界值的选择和参数的估计。根据Hill (1975),h = , L
11、(s) = （ns/n）s1/h，其中n 是样本数目，ns 是极值数目。根据Coles et. al（2002），有限相关度R2 = 2h-1. (3)当R2 接近或等于1时，渐进相关度 R1= . (4)最后我们要提一下s的估计方法。 大体而言，有3种估计s的方法，它们是：QQ-Plot, Mean Excess Function (MEF)与Hill-Plot。QQ-plot是一种比较方便的临界值估计法。通常，以未知分布的分位数作纵轴，作横轴分位数的是指数分布。如果未知分布是指数分布，则QQ线是一条斜率为正的直线。如果未知分布是厚尾分布，则QQ线是拟凹曲线；如果是短尾分布，则QQ线将是拟凸
12、曲线。由于时间序列的中央分布一般服从正态分布，有别于厚尾分布，因此，临界值s应当是正态分布与厚尾分布的分界线。第2种方法是Mean Excess Function（MEF）。MEF是超过临界值s的所有观测值的超额平均值。如果从某一高临界值开始，MEF线成为正斜率的直线，则对应的极值观测点服从厚尾GPD分布，而那一点临界值就是我们需要选择的s值。对于服从指数分布的观测值，MEF线是一条水平线；而服从短尾分布的观测值，观测值是负斜率的直线。第3种方法是Hill-Plot。如果从某一临界值开始，曲线变得平稳，则该值就是所要选择的s值。有时s的选取不是很直观，理论上可应用尾部参数的Hill估计的MSE
13、最小化方法。尽管有种种方法，但在实际研究中临界值的选取要平衡临界值与极值数目的关系，因为这关系到估计的置信水平。如果临界值过高，极值数目太少，则尾部相关度估计的置信水平就低。如果临界值过低，则会包含太多的非极值点，尾部相关度估计的相关性就不可靠。数据与结果本文的数据来自上海期货交易所（SHFE）（为方便起见，包括SHFE成立之前的上海金交所数据亦称为SHFE数据）与伦敦金属交易所（LME）。由于期铜交易在两个交易所都比较活跃，本文就选择期铜作为研究对象。原始数据是从03/31/1993至11/14/2003的三月期铜的每日结算价，分别以美元与人民币标价。对缺失数据的处理如下：如果某天只有一个交
14、易所有交易，则另一交易所的该日数据从其前后交易日的交易数据取加权平均所得。权数和该日对前后交易日的距离成正比。处理后的数据取对数后再求一价差分得到交易的日间收益率见图1与图2。从图上可以看出，LME的日间最大价格波动明显要高于SHFE。另外，LME的日间波动在样本区间内呈明显的下降趋势，而SHFE的波动幅度则比较平稳。两者的差异应当与涨跌停板有关。SHFE及之前的金属交易所都设有涨跌停板，而LME对期铜不设涨跌停板。LME波幅最大的时期发生在1996-1997年间。这主要是因为1994-1995年间全球对铜的供应存在20万-40万吨的缺口，促使随后几年铜业投资与生产的增加。但是1997-199
15、8年的全球经济危机又打击了需求，造成该期的需求缺口（参上海期货交易所上市品种和品种创新研究）。 表1列出了这两个序列基本的统计信息。表1 三月期铜日间收益率统计信息样本数均值(E-6)标准差偏度峰度最小值最大值LME262315.9450.0127-0.677410.8246-0.11360.0784SHFE26231.8140.00950.06494.695-0.04540.0385可以看出，两者的均值都接近于零，LME的标准差比SHFE的要大，说明其波动要大一些。两者的偏度（skewness）符号相反。SHFE的正偏度说明正极植比负极值占主导地位，而LME的恰恰相反，负极值占主导地位。两者
16、的峰度（kurtosis）均大于3，这说明两列数据都有厚尾特性，而且LME的比SHFE的更厚一些。为计算两序列的尾部相关度，我们要控制两个序列的边际分布效应对它的影响。为直观起见，我们先根据经验分布把两序列转化为标准均匀分布的量值。然后根据公式（1）、（2）计算R1、R2。图3 图4是标准均匀分布下右尾相关度的估计。因为时差的关系，同一日的交易上海收盘比伦敦的早，我们把它称之为SHFE领先LME一日。这些估计就是SHFE领先LME一日的情况。横轴代表从0到1 的临界值s。R1、R2的值为R1(s)、R2(s)在s 逼近1时的极限值。每个图中上下两条曲线表示R1(s)或R2(s)的95%置信区间
17、。在构造置信区间时假设各观测值是独立的。尽管某些观测值可能不独立，比如某天的涨跌停板可能会有溢出效应，但从整个时间区段看，这种暂时性的观测值关联对整个样本的影响较弱。不过我们还是得当心，忽略序列观测值的关联性会低估置信区间的大小。图3中，R1(s)在s趋于1的过程中从正值趋于零，而图4的R2(s)在s趋于1时趋向0.45, 它的置信区间在（0.3, 0.6）之间。 因此右尾有限相关，但渐进不相关。图5与图6是对左尾的相关度估计。从图6看，两序列至少是有限相关的。但是它的置信区间趋于（0.5, 0.8）， 因此难以断定两序列是否渐进相关，尽管R1(s)全程显示正值。接下来我们根据Frechet分
18、布对尾部相关度做一个正式的估计。根据上文的理论框架，把给定的两序列转化为标准Frechet分布的量值，然后按照Min（S，L）构造新的时间序列，其中S和L分别代表SHFE与LME的序列。相关度的估计由该新构造的序列得出。考虑到由QQ-Plot, MEF、Hill-Plot及其MSE最小化得出的临界值要么不是很直观，要么相应的极值数目比例太高，本文采用另一简单的替代方法：设定3%和5%的临界值（即位于临界值以外的极值数据占了整个样本的3%和5%）。受到样本容量的限制，1%的临界值不予考虑，因为该临界值下极值数目偏小，估计的方差相对较大。对3%和5%的临界值，我们分别计算以下两个相关度：LME领先
19、SHFE一日的相关度，及SHFE领先LME一日的相关度。最后，为比较不同时期尾部相关度的变化，我们把数据分成两部分。这两部分数据以1998年为界，理由如下。参考LME的数据可知，1998-1999年之后日间波动幅度相对减少。另外，根据我们的计算，SHFE与LME在价格水平上的Pearson相关度在1998-1999年急速上升并从此趋于稳定。SHFE成立于1999年初，正式运行于1999年12月，但之前的国内期铜交易一直在上海金交所进行，交易的交接相对平稳，所以以1998年或1999年为界均可接受。但是为使两部分数据量都足够大，我们选择以1998为界。我们首先检查了SHFE领先LME一日的结果。
20、总体样本与1993-1998子样本都表明左尾的有限相关度比右尾的要高， 这说明在这两个区间内市场投资者对对方市场的大跌比大涨更为敏感。然而，1999-2003子样本的左右尾有限相关度发生逆转，右尾的比左尾的要大。主要原因在于左尾的有限相关度比1993-1998区间对应的有限相关度下降很多，而在3%区域内右尾的有限相关度的下降幅度比左尾的明显要小，在5%区域内右尾的有限相关度比1993-1998区间的还略有上升。由于子样结果发生逆转，说明SHFE领先一日的结果并不稳定。与SHFE领先一日的结果相比，LME领先SHFE一日的结果很稳定，更有参考价值（因此以下的结论都是根据LME领先SHFE一日的结
21、果）。表2是1993 2003总样本的尾部相关度估计，括号内的是R1或R2估计的标准差。可以看出，在3%和5%的尾部区域内，左尾的有限相关度都要高于右尾。我们用T统计量来检验H0：R2 = 1。在3%和5%尾部区域内都不拒绝H0，因此可以认为通过渐进相关检验。左右尾的渐进相关性很接近，但都比有限相关度要低。表2 尾部相关性：LME 领先SHFE一日，1993-2003左尾右尾1993-20033%5%3% 5%临界值 u9.58366.02989.58366.541极值数目7913280132相关度R20.66150.69610.43280.4701(0.187)(0.148)(0.160)(
22、0.128)相关度R10.28880.30360.29240.3293(0.032)(0.026)(0.1)(0.028)表3是1993 1998子样本的尾部相关度估计。可以看出，左尾的有限相关度也比右尾的大，而且大很多。左尾还通过了渐进相关性检验，渐进相关度比总样本的稍小。表4是1999 2003子样本的尾部相关度估计。尽管在5%尾部区域左尾的有限相关度比右尾的大，但在3%尾部区域两者已比较接近。左右尾都通过了渐进相关性检验，而且左右尾渐进相关度也比较接近。表3 尾部相关性：LME 领先SHFE一日， 1993-19981993-19983 %5%3%5%临界值 u7.23185.18478
23、.05775.3468极值数目44744573相关度R20.79230.57040.21410.384(0.27)(0.182)(0.181)(0.162)相关度R10.22010.2653(0.033)(0.03)表4 尾部相关性：LME 领先SHFE一日， 1999-20033%5%3%5%临界值 u13.03387.448311.39178.0882极值数目36593759相关度R20.68680.89640.68680.5951(0.281)(0.247)(0.277)(0.208)相关度R10.3990.37370.35840.4058(0.066)(0.047)(0.058)(0.
24、052)由于在两个子样区间，无论是在3%区域还是在5%区域，左尾的有限相关度都不小于右尾的值，说明以伦敦市场为先导，两个市场一起大跌的可能性比一起大涨的可能性还是要大。在1999-2003区间内，除了在3%区域内左尾的有限相关度，3%区域内右尾的有限相关度和5%区域内左右尾的有限相关度均比1993-1998区间对应的有限相关度要高，说明以伦敦市场为先导，两个市场在大行情下的整合度在不断提高。而且，两个子样的左尾在3%和5%区域内都渐进相关，而且1999-2003的右尾也通过渐进相关的检验。这进一步肯定了两个市场在大行情下的整合度在不断提高。最后为便于比较，我们在表5列出本文所用日间收益率数据的
25、Pearson相关度的值。表 5 Pearson Correlations1993-20031993-19981999-2003LME 领先 SHFE0.34440.23520.5494SHFE 领先 LME0.0004-0.01660.0304表5表明，在SHFE领先LME一日的情况下，即便是Pearson相关度也很低。LME 领先SHFE一日的Pearson相关度明显高于SHFE 领先 LME一日的值。与表24相比可知，无论是总样本还是子样本，其左右尾的有限相关度在3%和5%尾部区域内基本上都比相应的Pearson相关度要大，而且在绝大多数情况下，有限相关度比Pearson相关度要大许多。
26、这就说明，如果因套保或套利需要组建LME和SHFE期货序列的组合资产，用Pearson相关度去评估组合资产的VAR会有相当的误差。结论本文对LME与SHFE 3月期铜的尾部特征与相关性作了一番探讨。两个序列的左右尾均较正态分布要厚。由于LME无涨跌停板制度，它的厚尾特征比SHFE更明显。我们对数据在不同时期、不同尾部区域的相关度进行估计，发现LME领先一日的相关度比SHFE领先一日的相关度更有规律。LME领先一日的结果表明，近期两市场在大行情下的相关度比早期的要高，说明两市场的整合度在提高。而在不同时期左尾的有限相关度不小于右尾的有限相关度，则说明两市场一起大跌的可能性比一起大涨的要大。另外，
27、各样本区间左右尾的有限相关度明显高于相应的Pearson相关度，意味着尾部特性在组合资产风险评估中的重要性。参考文献：1Coles, Stuart, Janet Heffernan, and Jonanthan Tawn,“Dependence Measures for Extreme Value Analyses,”Extremes, V3, 1999.2Fernandez, Viviana, “Extreme Value Theory: Value at Risk and Returns Dependence around the World,” http:/www.tis.cl/tis/
28、16/g-09.00-12.00-p.pdf, 2003.3Gencay, Ramazan, and Faruk Selcuk, “Overnight Borrowing, Interest Rates and Extreme Value Theory,” Working Papers #0103, Department of Economics, Bilkent University, 2001.4Gencay, Ramazan, and Faruk Selcuk, “Extreme Value Theory and Value-at-Risk: Relative Performance i
29、n Emerging Market,” International Journal of Forecasting, 2003.5Ledford, A. W., and J.A. Tawn, “Statistics for Near Independence in Multivariate Extreme Values,” Biometrika, V83, 1996. Editors note: Judson Jones is a meteorologist, journalist and photographer. He has freelanced with CNN for four yea
30、rs, covering severe weather from tornadoes to typhoons. Follow him on Twitter: jnjonesjr (CNN) - I will always wonder what it was like to huddle around a shortwave radio and through the crackling static from space hear the faint beeps of the worlds first satellite - Sputnik. I also missed watching N
31、eil Armstrong step foot on the moon and the first space shuttle take off for the stars. Those events were way before my time.As a kid, I was fascinated with what goes on in the sky, and when NASA pulled the plug on the shuttle program I was heartbroken. Yet the privatized space race has renewed my c
32、hildhood dreams to reach for the stars.As a meteorologist, Ive still seen many important weather and space events, but right now, if you were sitting next to me, youd hear my foot tapping rapidly under my desk. Im anxious for the next one: a space capsule hanging from a crane in the New Mexico deser
33、t.Its like the set for a George Lucas movie floating to the edge of space.You and I will have the chance to watch a man take a leap into an unimaginable free fall from the edge of space - live.The (lack of) air up there Watch man jump from 96,000 feet Tuesday, I sat at work glued to the live stream
34、of the Red Bull Stratos Mission. I watched the balloons positioned at different altitudes in the sky to test the winds, knowing that if they would just line up in a vertical straight line we would be go for launch.I feel this mission was created for me because I am also a journalist and a photograph
35、er, but above all I live for taking a leap of faith - the feeling of pushing the envelope into uncharted territory.The guy who is going to do this, Felix Baumgartner, must have that same feeling, at a level I will never reach. However, it did not stop me from feeling his pain when a gust of swirling
36、 wind kicked up and twisted the partially filled balloon that would take him to the upper end of our atmosphere. As soon as the 40-acre balloon, with skin no thicker than a dry cleaning bag, scraped the ground I knew it was over.How claustrophobia almost grounded supersonic skydiverWith each twist,
37、you could see the wrinkles of disappointment on the face of the current record holder and capcom (capsule communications), Col. Joe Kittinger. He hung his head low in mission control as he told Baumgartner the disappointing news: Mission aborted.The supersonic descent could happen as early as Sunday
38、.The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the troposphere)
39、where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause),
40、 he can expect a lot of turbulence.The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet (22.7 miles/36.53 kilometers). Here, Fearless Felix will unclip. He will roll back the door.Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform.Below,
41、the Earth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance, it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into the shallow end.Skydiver preps for the big jumpWhen h
42、e jumps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slow as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop him completely.If he goes too fast or spins out of co
43、ntrol, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foot (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters).In order to deploy this chute successfully, he will have to sl
44、ow to 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds.Even if everything goes as planned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to pass out, and no parachute is guaranteed to work hig
45、her than 25,000 feet (7,620 meters).It might not be the moon, but Kittinger free fell from 102,800 feet in 1960 - at the dawn of an infamous space race that captured the hearts of many. Baumgartner will attempt to break that record, a feat that boggles the mind. This is one of those monumental moments I will always remember, because there is no way Id miss this.14