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1、长春师范学院本科毕业论文（设计）几类常见的不可数集合证明摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要内容-几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.关键词：可数集 不可数集合 无理数集 实数集合 康托尔集在大学,我有幸接触到了实变函数论.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引.“实变函数”是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支，而且它的应用非常
2、广泛.在实变函数论中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：首先,不可数集合虽然是实变函数课程中最为基本的内容,但也是最繁琐的内容.本文旨在对几种常见的不可数集合证明方法作出总结和归纳,以达到化繁为简的目的.其次,不可数集合已经成为某些数学领域的重要工具,而且它在各个数学领域之中的应用,对于形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.其中康托尔集在现代物理学科研究领域上也被广泛应用.基于以上几点,本文专门对常见的不可数集合证明方法作出总结.下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：1 可数集和不可数集的定义和性质1.1 可数
3、集和不可数集的定义定义1.1 凡和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或者可列集合.由于N可按大小顺序排列成一无穷序列：1,2,3,因此,一个集合是可数集合的充要条件为: 可以排成一个无穷序列： ,.例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.自然数1,2,3,4,5,6,正偶数2,4,6,8,10,12,2,正奇数1,3,5,7,9,11,21,.这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集.整数集与有理数集都是可数集.定义1.2 不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.不可数集是无穷集合中
4、的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系和法则）,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.1.2 可数集和不可数集的性质 可数集的性质：(1) 任何无限集合都至少包含一个可数子集.(2) 可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.(3) 设为可数集,为有限或可数集,则为可数集.(4) 设都是可数集,则也是可数集.(5) 设是有限集或可数集,则也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则必为可数集.(6) 有理数全体成一可数集合.(7) 若中每个元素可由个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集=
5、 则为可数集.(8) 代数数的全体成一可数集.不可数集的性质：(1) 全体实数所成之集合是一个不可数集合.(2) 任意区间均具有连续基数.（这里）.(3) 设是一列互不相交的集合,它们的基数均为,则它们的和集的基数也为.(4) 实数列全体E的基数为.(5) 维欧几里得空间的基数为.(6) 设是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合则.(7) 若用表示全体实数所成集合的基数,用表示全体正整数所成集合的基数,则.(8) 设有个（表示连续基数）集的并集,若每个集的基数都是,则其和集的基数也是.2 全体实数所成之集合是一个不可数集合实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整
6、数和分数.通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.定理2.1 全体实数所成之集合是一个不可数集合.证法一 用反证法证明.因为实数集合与是有一一对应的,故只需说明不可数就可以了.因为：是双射函数,令=| (01) ,若能证是不可数集,则也必为不可数集.假设是可数的,则必可表示为：,其中是 区间的任意实数.设,其中,设 ,其次
7、,我们构造一个实数=使 .这样,与所有实数不同,这证明了,与假设产生矛盾,因此是不可数的,即是不可数集.在第二种证明方法之前先来回顾一下闭区间套定义以及定理.定义2.1 设有一闭区间列具有如下性质:(1) (2)则称这闭区间列为一个闭区间套,或简称区间套.定理2.2 若是一区间套,则存在唯一的使得,，,即.下面我们利用闭区间套定义和定理来证明实数集合是不可数集合.证法二 用闭区间套定理证明.假设是可数集,则可设=记=,在内作一闭区间,使其长度|且；然后又在内作一闭区间,使得|且.一般说来，设已经作好了一个包含一个闭区间：,|, (), 取,且满足|,.根据归纳法,我们就得到了一个区间套：, |
8、, ()因为0 (),所以由区间套定理,存在点 ().由于,故 ().但,因而是中的点,因此, .这与假设矛盾,因此是不可数集合.证法三 利用测度证明.假设可以排成一个序列：=.利用测度知识,知.而实际上.两者是矛盾的,所以是不可数集.证法四 利用纲定理证明.把闭区间看作完备度量空间(一维空间）的闭子集.由于完备空间内的闭集本身构成完备的子空间,所以是一完备子空间.一方面,由纲定理,我们知道任一完备空间是第二纲的,所以是第二纲集；另一方面,由于单点集是中的疏朗集.假若是可数集,则它可表示为可数个疏朗集的并,从而为第一纲集.这便推出了矛盾.这样就证明了是不可数集.证法五 利用单调有界法则证明.假
9、设是可数集,令=.现构造递归数列如下：令, ,则显然是递增数列,且=0,+1 根据单调有界法则,但不等于任一.假若不然,则有某个=,下面分两种情形讨论：(1)若,这与=矛盾.(2)若+,则此时有=,+=+,+令,两边取极限得：=+=+.故 +.这也与=矛盾.因此,不论哪种情形,总有 ().所以,.这与假设矛盾,从而是不可数集合.3 其它几类常见的不可数集证明 其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等.3.1 无理数集是一个不可数集合无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循
10、环.常见的无理数有大多数平方根、和（其中后两者同时为超越数）等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.定理3.1 无理数集是一个不可数集合.证明 第一步,先证明有理数集是可数集： 设 ,则是可数集,由可数集的性质(4)我们知道全体正有理数成一可数集.因正负有理数通过,成为11对应.故全体负有理数成一可数集,但有理数全体所成之集合,所以由可数集的性质(5)知为可数集.第二步,再证有限个可数集的并集还是可数集.容易找到一种有限个可数集的排列顺序:, , , .按照箭头顺序可将排成: =因此, 是可数集.第三步,接着证明实数集是不可数集.关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了
11、，基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾.第四步,证明无理数集是不可数集.用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集(实数集等于有理数与无理数的并).而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕.3.2 Cantor集是一个不可数集合Cantor集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集,由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔
12、集是这样构成的：定义3.1 (1)设闭区间,将三等分,并除去中间开区间=(,).得两个闭区间=0,=,1,区间长度为=.(2)分别将闭区间,三等分,并出去中间两个开区间=(,),=(,).得到四个闭区间=0,、=,、=,、=,1,区间长度为=.(3)一般地,仿此继续下去,到第次,除去了个开区间,得到个闭区间,区间长度.我们得到集合列().作集合称集合为Cantor(三分)集.定理3.2 Cantor集合是不可数集.证明 如果一个集合与11对应,则是不可数的.其中是由两个数字重复排列而得到的序列,如0.110001110构成的集合=|=0或1,=1,2,不可数.我们对于上的点,用三进位表示法来表
13、示.构建Cantor集合时,每次都把区间三等分,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为：上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为0,1,2,如下图所示： 0 1第一次三等分 0.0 0.1 0.2第二次三等分 0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22第三次三等分 0.000 0.001 0.002 0.020 0.021 0.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222由上述图示可知,Cantor集合中的点三进位表示法中仅出现数字0和2,不含数字1,即(Cantor集合),则可以表示为：,()得,()与11对应.所以
14、, Cantor集合是不可数集.3.3 可数集的幂集是一个不可数集合证明 令为全体正整数所成的集合.分别记的所有子集,所有有限子集,所有无限子集所成的集族为,和,则=,为空集.对于任意的,令,那么是一个从到上的一对一的对应.故.另一方面,可证.因此,即.即可数集的幂集是不可数集.4 总结与应用本文对几类常见的不可数集合证明做出了总结和归纳.其中在证明实数集是不可数集时用了很多种方法,并多次利用反证法证明,在用反证法证明的过程中,做了假设之后,经过推理出现了矛盾,应该的做法是： 如果推理完全正确,推翻假设是应该的. 如果推理本身有误,必先纠错而不是简单地推翻假设.不可数集合在数学领域上有着重要的
15、地位,其中康托尔集合在现代的物理科学的研究领域上,也有着它特殊的贡献.参考文献：1 薛昌兴等.实变函数与泛函分析M.高等教育出版社,2004.2 熊金城.点集拓扑讲义（第三版）M.北京高等教育出版社,2003.3 左亚丽.承德民族师专学报J.承德民族师专出版社,2007.4 张奠宙等.实变函数与泛函分析基础M.高等教育出版社,2003.5 夏道行等.实变函数论与泛函分析M.高等教育出版社,1985.6 江泽坚等. 实变函数论M.人民教育出版社,1961.7 W卢丁著.赵慈庚等译.教学分析原理M.人民教育出版社,1979.8 温邦彦.什么是康托的不可列集合J.重庆工学院学报,2009.9 熊国敏
16、.谈谈Cantor集合J.安顺师专学报,2002.10胡世耕.实变函数M.高等教育出版社,1999.THE PROVE OF SEVERAL COMMON UNCOUNTABLE COLLECTIONLI Yu-huiAbstract:Thispaperfirstlyintroducesthebackgroundofrealvariablefunktiontheory ,originandtheroleinmathematic ,andbyrealvariablefunktionraisesitsmostbasicdenumerablesetanduncountablecollection .
17、Themaincontentsofthis ,severalcommonuncountablecollectionmethodsofproof.Textfirstgiventhedefinitionsandtheoremsforcollection ,severalcommonuncountablecollection ,andthenumberofseveralcommonmethodsofproofshallset ,oneofthemostcommonisnotrealnumberoffoursetsareproved .Thismakesusinunderstandinguncountablesetmeaning ,Onthebasisofthetheorem ,skilledusethemtosolvetherelevantproofofseveralsets ,Andhowtousevariousmethodstodemonstrateasetnumberfornotset.Key words: Countable collection; uncountable collection; Irrational collection; Real collection; Cantors collection13