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1、多项式恒等定理在初等数学中的应用The Applications of Polynomial Identity Theorem in Elementary Mathematics 专 业: 数学与应用数学 作者: 指导老师: 学校二 摘 要多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用. 关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理Abstract Polynomia
2、l Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for the undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we
3、introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to factorize polynomial. Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem II
4、目录摘 要IAbstractII0 引言11 多项式恒等定理的有关理论12 多项式恒等定理在初等数学中的应用42. 1待定系数法42. 2 在三角中恒等式中的应用72. 3证明恒等式82. 4 因式分解102. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用12参考文献140 引言 多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式与恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根, 因此, 当取个不同的值时, , 那么一定有. 由此推出, 两个次数均不超过的多项式和, 如果对于的个不同的值, 都有, 那么.
5、 关于多项式恒等定理的一些研究见文3-5. 它不仅是待定系数法的理论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中, 我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用. 1 多项式恒等定理的有关理论 定义1 设是一非负整数. 形式表达式 （1）其中全属于数域, 称为系数在数域中的一元多项式, 或者简称为数域上的一元多项式. 定义2 如果在多项式与中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么与就称为相等, 记为.系数全为零的多项式称为零多项式, 记为0. 定义3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号表示恒等. 定
6、理1 若数域上的多项式恒等于零, 即, 则. 证明：对多项式（1）的次数用数学归纳法. 证定理对于成立. 设形如. 若对于的任意值, , 令, 则, 故；再令, 即, 故. 定理对于的情况成立. （2）假设定理对于成立, 推证对于成立. 设形如.由于, 用代, 得. （3）由（2）式, 又可得. （4）由于,故, . 式-（3）式, 得.上式左边是一个情形的多项式, 它恒等于零. 由归纳假定, 必须其所有系数都是零：, , , .于是, . 多项式, 化为. 令, 又得. 定理2 数域P上非零多项式恒等的充要条件是. 证明：充分性. 即由推出. 设, 即, 且对应系数相等. 那么和是同一个多项
7、式, 当然是恒等的. 必要性. 即由推出. 若次数不等, 设, 让减去, 得. 等式左边是的多项式, 由于它恒等于零, 根据定理1, , 与已知矛盾. 故与次数相等：. 所以由定理1, . 或 . 所以 . 定理3 多项式恒等定理：数域上两个多项式（或）的充要条件是. 证明：根据定理2, 的充要条件是. 只需证的充要条件是. 由定义1, , , 且同次项对应的系数相等, 即. 反过来, ,.故.特别的充要条件是. 定理4 中次多项式在数域中的根不可能多于个, 重根按重数计算. 本定理的证明过程参见参考文献2第25页. 定理5 如果多项式的次数都不超过, 而它们对个不同的数有相同的值, 即, ,
8、 那么. 证明： 由定理的条件, 有这就是说, 多项式有个不同的根. 如果那么它就一定是一个次数超过的多项式, 由定理3, 它不可能有个根. 因此, . 因为数域中有无穷多个数, 所以上述结论表明, 多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的. 数域上的多项式既可以用形式表达式来处理, 也可以作为函数来处理. 定理2、定理3和定理5从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件, 它们是等价的. 2 多项式恒等定理初等数学中的应用2.1 待定系数法 定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法待定系数法的理论依据. 所谓待定系数法, 是假定一个多项式的等式成立, 某些未知的系数先形式的写出来, 再根据变量的某
9、些特定数值或系数之间的关系, 列出以待定系数为未知量的方程组, 解这些方程组就可以得到所求的系数. 例1 已知三次多项式在=-1, 0, 1, 2时函数值分别为1, 2, 3, 2, 试写出这个多项式. 解： 令, 由条件可知解之得所以. 例2 若多项式与 相等, 求, 并把多项式写出来. 解：由条件知解之得所以. 例3 多项式在=0, 1, 2时的函数值是同一个数, 试写出这个多项式. 解：由条件知 解得所以. 例4 已知多项式, , 且. 试求的值. 解：对都有, 比较等式两边对应的同次项的系数, 得解之得, . 例5 已知为一次函数且, 求. 分析： 先将用一次函数的形式写出, 然后再根
10、据题设条件得到待定系数应满足的条件. 解： 由题设条件可设, 则 比较两边对应项系数得 , 解之得 或 . 例6 已知是三次函数, 且, , , 求函数的解析式. 解：设, 则. 将已知条件代人得方程组解以上方程组得, , , .一般已知函数的类型求函数表达式时, 先用待定系数法设出函数表达式, 然后再用方程（或方程组）求解待定系数. 2.2 在三角中恒等式中的应用 在三角恒等问题中, 某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简. 例7证明. 分析：这是一个三角恒等问题, 常规方法是利用三角函数的有关公式进行恒等变换, 这样运算量比较大, 观察等式可知左右两边均为关于的一次多项式, 因而我们可以考
11、虑运用多项式恒等定理. 证：设,则与都是的一次多项式. 令=0, 则, 故；令,则,所以,由定理4, ,即. 例8 求证的值与无关. 证： 令, 则是关于与的次数为2的多项式. 令, 则；令, 则；令, 则. 即当时, , 由定理4, 原式, 从而的值与无关. 2.3 证明恒等式 恒等式的证明是中学数学常见的问题之一. “两个多项式与相等, 对于任意的, 都有.” 根据这条结论, 在证明某些恒等问题时, 我们可以构造两个相等的多项式函数, 然后将特定的数赋值给自变量, 即可得欲证之式. 当等式两边的次数较低时, 我们还可以根据定理4, 将个特殊的函数值进行比较, 即可得欲证之式. 例9 已知,
12、 求证. 证：设, 则 因此, 而 , 因此可得令, 即得所证之式. 例10 已知数列的通项为, 其前项和为, 证明. 证：设则(当时）因此, 易算得由即得, 化简即得欲证之式. 例11 证明：. 证：设, 则从而, 又当时有因此故令原恒等式得证. 例12试证恒等式. 分析: 如果直接计算相当麻烦, 容易看出, 等式两边都是关于的二次多项式. 并且时两边的值相等, 所以我们考虑用多项式恒等定理. 证： 令 , 则与都是关于的2次多项式. 令则, 故；令, 则, 故；令则, 故. 由定理4, . 即. 例13 试证恒等式 证：令则的次数不会超过3, 由于, 所以. 即. 2.4 因式分解 “若两
13、个多项式相等, 则它们同次的对应项系数一定相等. ”用这条结论可以处理 因式分解问题. 例14 分解. 解：先分解二次项：所以原式一定能分解成的形式. 将它展开得 与原式比较对应项的系数, 得解之得 . 所以, 原式=. 例15 分解 解：先分解二次项：所以原式一定能分解成的形式. 将它展开得与原式比较对应项的系数, 得解之得 . 所以, 原式=. 例16 分解. 解：先试其中一种，即分解为两个二次式 ，则则解之得， 成立，故我们可以看到运用多项式恒等定理, 不但能解决一元二次多项式的因式分解问题, 同时也能解决二元二次多项式的因式分解问题. 2.5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 二项式
14、定理： 例17 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为, 则展开式中常数项是 . 分析 由已知条件可求出的值. 再利用通项求出. 解: 由, 得. 解得 ,(舍). 由,令 , . 故常数项. 例18 已知,求的值. 分析: 展开二项式则根据多项式恒等定理，上式即为展开式中各项系数之和. 解: 即为展开式中各项的系数之和. . 引申：已知，求、.解:比较系数发现，即为展开式中各系数之和；即为展开式中各系数之和与展开式中各系数之和相减的差的一半，；即为展开式中各系数之和与展开式中各系数之和相加的和的一半，所以.二项式定理本身是一个恒等式,对待恒等式通常利用多项式恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等). 致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献1李师正. 多项式代数M. 山东人民出版社,1981. 2北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)M. 北京:高等教育出版社,2003. 3毕明黎,王丽. 利用求导法证明恒等式举隅J. 中学数学研究,4(2008). 4刘秀英. 多项式恒等定理的应用J. 菏泽师专学报,5(1999). 5赵运锋. 因式分解之浅谈J. 甘肃教育,1(2006). 第14页, 共14页