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1、矩阵在计算机三维图形变换中的应用(山东师范大学数学科学学院信息与计算科学系)摘要：论述如何利用矩阵的变换性质实现计算机的三维图形变换，主要是通过平移、缩放和旋转三种基本变换的组合来实现的，利用矩阵可以使图形处理高速化关键词：平移 缩放 旋转1.引言三维图形图象的处理，显示和形体构造需要使用三位几何变换，这些变换是通过基本的平移，缩放和旋转组合而成的，每一个变换都可以表示为矩阵变换的形式，通过矩阵的相乘或连续可以构造复杂的变换。2矩阵与图形变换计算机对图形的处理，经常用到各种变换，若用解析式表示坐标变换，计算过程和缩放程序都很复杂，用矩阵表示图形的坐标变换，特别是复合变换就显得比较简单，利用矩阵
2、进行计算，可使图形处理高速化。事实上，对于一个空间图形，图形上每一个点都对应着唯一的坐标(x，y，z)，它的标准化齐次坐标为一个四维的向量。几何变换及配准和运动估计的几何代数方法研究摘要自从70年代中期计算机图形学出现以来，基本上都是用线性代数为其数学框架。现在将要使用的另一个数学系统是几何代数，尤其是五维共形几何代数，它统一了图形学中使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的方式应用于图形学。本文探讨了几何代数在计算机图形学中的应用。主要研究了(1)对几何代数的结构特性、对几何变换的描述、计算手段等方面做了系统的分析研究。几何代数是在Clifford代数的基础上，建立的一种更具概括性数学
3、语言。本文在分析传统矩阵代数,Herman,G-rassman向量代数和WRHamilton四元数代数与几何代数的区别和联系的基础上，由几何代数的运算性质，推导了三维空间几何变换的线性表达。实验验证分析表明一些变换的表达采用几何代数法It,Goldman四元数代数的结果表达式更简洁、高效，且数学描述等价。(2)欧拉空间中旋转操作是一个线性操作，而平移操作不是。由于平移位移操作的非线性特性，刚体位移不再具有线性操作。应用几何代数旋量代数、马达代数得到了三维刚体位移的线性表达，并将其应用于了刚体运动描述，实验验证它对三维运动的几何解释比基于矩阵代数的方法更简单。(3)应用几何代数对最小平方距离的问
4、题表达式于多边形模型配准与运动估计，采用一个能同时解决线段模型的配准与运动估计的算法，通过最小化模型线段与待配准线段集的距离，来求得最佳运动估计中的运动变换。关键词：几何代数，几何变换，运动估计，刚体运动第1章前言11课题来源、提出背景及意义本课题来源于国家重点基础研究发展计划973计划课题数学机械化在几何建模中的应用研究(项目编号：2004CB318006)。Clifford代数由WK Clifford在1878年建立，它结合Hamilton的四元数和Grassmann的扩张代数，能够进行高维的几何计算和分析，被C1ifford取名为几何代数。在历史上，ECartan，RBrauer，HEe
5、yl，MRiez，CChavalley等著名数学家对它做出了重要贡献。特别是自1960年起，几何代数在微分几何，理论物理，经典分析等方面取得了辉煌的成就，其发展突飞猛进。尤其是美国物理学家，数学家David Henstenes嘲删驯的研究尤为重要，他把几何代数的思想运用到经典物理分析等方面，并指出几何代数是一种统一的数学语言，通过这种语言的描述，可以在研究工作中获得大量的有效方便的研究方法。20世纪计算机科学的发展复兴了一大批长期沉寂的代数语言，例如线性代数和矩阵(1940s)： 数值计算射影几何的齐次坐标(1950s)： 计算机图形学对偶四元数(1970s)： 机器人C1ifford代数和几
6、何代数(1970s)： 理论物理GrassmannCayley代数(1980s)： 计算机视觉距离几何(1980s)： 蛋白质分子构型这种复兴的背后反映了信息技术的一种迫切的需求，即迫切需要“新的代数工具来更好的解决几何问题，包括通用，简洁的几何建模和快速，鲁棒的几何计算。在此形势下，设计真正的几何语言进行几何计算的问题，重新引起人们的重视。于是一种的新的几何语言共形几何代数(CGA)产生了。1 997年，李洪波在DHcstcnes教授和ARockwood教授nomlm龇133领导的NSF基金项目Modeling Workstation中做博士后工作，建立了共形几何代数(Conformal G
7、eometricAlgebra，简记CGA)。共形几何代数是基于高级几何不变量的代数表示和计算系统，是Clifford代数的一个新的分支，主要内容包括表示和计算两部分：(1)十九世纪几何的统合代数表示。CGA为初等几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。(2)拥有高效符号几何计算方法的不变量第1章前言代数。几何学的研究主题是几何不变量。不变量系统在几何代数化中具有明显的优点，但原有的系统代数计算效率低下，一般还不如直接使用坐标方便。在计算机图形学发展的早期，人们认识到投影几何非常适用于表示点和变换，现在人们认识到这个局面就要发生变化了。将要使用的另一个数学系统是几何代数，尤其是五维CGA，它统一了
8、图形学中使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的方式应用于图形学。几何何代数作为新兴的强力工具可用来进行三维形状的描述。在CGA提供的简洁计算公式中，各种维数的平面和球的几何度量与其几何构造对偶，几何上的交和扩张对应刁=Cayley代数交和并，距离和夹角对应于表示的内积，而所有的几何关系都包含于Clifford乘法。各种几何变换可以用旋量和转量显式表示。由于CGA与坐标的选取无关，处理几何问题的过程和结果具有内蕴性的，因而可以直接进行几何解释。由于CGA对初等几何的表示是统一的，因而一个代数公式可以在各种几何中解释成不同的几何定理。CGA是高级协变量系统和高级不变量系统的结合，其不变量子
9、系统称为零括号代数m1(Null BracketAlgebra，简记NBA)。NBA具有高效的展开、消元、化简和分解算法，从而可以用来进行极其复杂的符号几何计算。NBA可以将实际的几何不变量表示成基本不变量的有理单项式形式，因而是初等几何的最实用的不变量系统，在几何数据处理和几何建模方面表现出巨大的优势。由于共形几何代数与坐标的选取无关，可以在高维空间中，对于非线性问题用线性的方法处理，直接在高维空间中得到合理解决方法。采用共形几何代数的方法来获得在图形学和视觉中有广泛应用的不变量还是有很有意义的。共形几何代数的建立刚刚度过三、四年的时光，已经展现的它的应用泛围之广令人惊讶。它的应用前景仍有广
10、阔的空间，科研人员正在进一步探索它在不同的领域的应用。12研究现状从19世纪后期开始，Clifford代数被多次引用到各个领域并得到发展和完善。目前国内研究几何代数的比较少，中国科学院的李洪波和GSommer等H妇人建立了计算机视觉中与坐标无关的射影几何，并建立了小孔成像模型，为用几何方法研究计算机视觉问题开辟了新方向。中国科学院的吴毅红在导师李洪波的指导下，应用几何代数的子代数一具有不变性的括号代数于几何定理的机器证明。吴毅红订基于平行圆准仿射不变性的摄像机标定，从圆的最小个数出发，计算圆环点图像简单，只需要从拟合的二次曲线出发，不需要任2中国石油大学(华东)硕士学位论文何匹配，不需要计算圆
11、心，可应用基于转盘的重构，可对人的视线、对车辆行驶的方向进行定位。而3D物体的几何不变量研究有一定难度，3D射影空间中的扭三次曲线没有基于不变量的建模，吴通过过6个通常的点的唯一的一个扭三次曲线H明证明，以扭三次曲线的弦乙为轴，且过扭三次曲线的4个固定点组成的平面束的交比，不依赖于L的位置。扭三次曲线与三维重建的退化图紧密相连。吴给出了一个6点不变性的完备系统，详细证明了投影几何、仿射几何、以至欧氏几何(包括二次曲线、曲面)的种种关系的括号代数H们咖1表达形式，由此获得了种种几何定理的简短的可读证明，为各种已知方法所不及。目前吴正在利用其不变性于计算机视觉的研究，内容涉及摄像机定标，三维重建“
12、引，摄像机定位，图像匹配，多视几何学，基于图像的测量等。国外诸如美、英、德、加拿大、日本、墨西哥、新西兰、荷兰、西班牙等国的学者建立的研究小组正在用几何代数的方法来进行实验和应用，将共形几何代数作为新兴的强力工具应用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、动画等高技术领域，以及数学、理论物理、宇宙学、教育学等基础研究领域。在SIGGRAPH 2000(Special Interest Group on GRAPHics)上，ARockwood组织了关于几何代数的课程，重点是CGA及其应用。在此课程中，ARockwood等n町指出：对于计算机图形学、几何建模和交互技术中使用的数学而言，几何代
13、数是一种新的基本语言，由于它对几何的描述是内蕴和无维数间隙的，因而对于处理几何问题极为有用。它提供了新的见解和革新的算法，在计算机图形学有着广泛的应用，如运动学和动力学，单纯形计算(多边形和有限元)，流体的流动，碰撞检测，分级的界限球和框，球面的四元数样条，弹性形变，曲线和曲面，向量场等。在计算机图形学和动画中的应用具体主要有：英国剑桥大学的工程系几何代数研究小组，以Lasenby教授为领导，研究应用刚体运动的旋量表示进行曲面变形喳引、运动插值n73和空间曲线拼接阳1等，他们认为几何代数表示会对不同几何问题带来处理方法的统一和简化。荷兰阿姆斯特丹大学智能识别小组，以道斯特H51为领导，热衷于发
14、展基于几何代数，尤其是CGA的计算机图形学新算法。他们与加拿大滑铁卢大学计算机系和罗马尼亚布加勒斯特技术大学计算机系合作，应用CGA于碰撞检测，Voronoi图表，光线追踪嘶1，网格曲面n钔，点云运动n鄙等，在IEEE TransComputer Graphics and Applications和Computers&Graphics等杂志上发表多篇文章，介绍、探索和应用CGA，发展基于几何代数和CGA的图形学软件。3第i章前言英国、加拿大和德国的一些学者和工程师应用CGA开发了新的触觉技术和动画技术。在计算机视觉和机器人中的应用具体主要有：德国基尔大学在2001年用几何代数进行了欧式空间的变
15、换估计。就是通过标定摄像机，确定好3D物体的初始3D姿态，然后通过几何代数的扭量表示方法来确定参数，从而根据其单孔图像顺序来跟踪物体的移动过程H引。在2002年用几何代数对于扭曲的曲面和平面进行姿态估计，提出了自由形状曲线和曲面的扭量运动参数表示n羽。通过几何代数基于扭量的算法，首先表示出曲线和点，然后利用参数估计的方法，确定出刚体运动。最后完成姿态估计，达到了良好的效果。在2003年通过几何代数的方法，进行了自由形状物体的姿态估计射，认为CGA提供了物体的紧凑表示，采用几何方法的插值对轮廓逼近，极大地节省了计算时间。他们应用CGA于姿态估计的工作获得2002年德国模式识别学会奖(DAGMPr
16、eis)：他们CGA于神经元设计的工作获得2003年德国模式识别学会奖。由于该实验室成员Rosenhahn在应用CGA于姿态估计方面的出色工作，2003年他获得一项大奖-Siegfried Werth奖。2007年提出了一种新型的二维图像结构模型。二维图像信号嵌入到几何代数，获得了更多的自由度，二维结构图像信号的相旋转不变量，对基于相的计算机视觉任务处理过程有重要作用。由基尔大学的研究可见，在姿态估计方面，CGA有着很大的应用，但是由于CGA的性质丰富人们只是研究了它的有限一部分。墨西哥国家高等技术研究所几何计算机视觉实验室，以白若科若查诺(EBayroCorrochano)为领导，应用CGA
17、于照相机定位口力和神经元设计。对3D眼部运动建模n踟，相比四元数、矩阵方法，得到了几何代数方法的线性方程。在几何代数框架提出了模型容积数据及非刚性模型的配准算法n钔，相比结合球方法，减少了3D数据建模的实体。方法基于遍历立方体，非刚性配准，由确定性退火计划完成，并且在手术对象跟踪再次使用几何代数技术。新西兰奥克兰大学计算机视觉研究组，以克赖特(RKlette，IEEETransPAMI副主编)为领导，应用CGA于目标自定位问题。【1731应用CGA于运动建模和跟踪，强调CGA提供了一个非常精彩的方式处理关联几何，并推广到包括了圆和球。相信用它处理更为复杂的反运动学问题，将有巨大的潜力。【43】
18、指出，CGA提供的几何操作戏剧性地拓展了投影几何构造，利用它为复杂的4中国石油大学(华东)硕士学位论文几何操作编写的计算机程序，将是鲁棒、精美和高度浓缩的。这对于图形学工业将有大量潜在的应用。55指出，在由10】提出的CGA中，欧氏、投影和共形几何相互兼容，优势互补，其符号表示与坐标无关，可以同时处理运动学和投影几何，从而能够有效处理姿态估计问题。56】比较了CGA和其他几种线性代数和几何代数工具在光线追踪中的表现，指出，在10】中新发现的几何代数CGA为三维欧氏几何计算提供了迄今为止最为紧凑的表达式，在科学精确性的竞赛方面是显然的冠军，推荐在实验、原型标准、离线工具开发等应用中作为处理几何问
19、题的最佳武器。同时，CGA统一了欧氏、球面和双曲几何，一种几何中证明的定理立即在其它几何中有对应的定理，是19世纪几何的完整化。【57应用CGA于机器入学，指出CGA为统一处理平移和旋转提供了一个优美的方案，使我们能够简化许多复杂过程。一个特别漂亮的例子是运动插值。CGA在结构领域(例如梁弯曲)中有相当惊人的应用。一个令人惊异的事实是，一旦我们在欧氏空间的CGA中建立了工具库，只要经过微小的改动，我们就能够在其他非欧空间中进行同样的操作。【53将CGA应用于曲面演化，指出CGA以一种有效和美妙的方式推广了几何操作的范围，它提供的直接综合的几何算法本质上很简单，但是能够得到出乎意料的十分复杂的结
20、果。【58介绍基于Java和CGA的三维交互绘图软件KamiWaAi，指出由于它是世界上第一个纯粹基于CGA的交互Java软件，因此处在应用数学和计算机科学的激动人心的新发展的前沿。其中就是这些研究小组发表了不少有关几何代数的文章和报告，但是由于几何代数是一个新兴的数学工具，并没有马上得到广大图形学者的重视，所以研究小组还是比较少，也没有形成系统的研究体系。各个研究小组也只是结合自己的研究项目，来提出有关几何代数的研究。13主要研究内容本文主要以计算机图形学、数字图像处理、矩阵计算、几何代数基本理论等多学科理论为指导，从几何代数的结构特性、对几何变换的描述、计算手段等方面分析研究，探讨了几何代
21、数在计算机图形学中的应用。主要研究了5第1章前言(1)传统矩阵代数、Herman Grassman向量代数和WRHamilton四元数代数在计算机图形学都已经有了应用，而几何代数是在Clifford代数的基础上，建立的一种更具概括性数学语言。分析几何代数与Herman Grassman向量代数、WRHamilton四元数在结构、计算上的区别和联系，采用几何代数研究了三维线性变换的实例表达，并就几何代数与其他数学语言在此应用上的区别和联系做了比较分析。(2)冈lJ体运动是三维空间的旋转和平移生成的变换。由于欧拉空间中平移位移的非线性特性，刚体位移不再具有线性操作。三维空间的旋量表示及马达代数使得
22、三维刚体位移有了线性表达，我们应用其于刚体运动描述，实验验证它对三维运动的几何解释比基于矩阵代数的方法更简单。(3)探讨几何代数最小平方距离的问题表达式在多边形模型配准与运动估计中的应用，采用一个能同时解决线段模型的配准与运动估计的算法，通过最小化模型线段与被检测线段的距离，求得最佳运动估计中的运动变换可用一个矩阵的奇异值分解来表示。14论文组织结构本文的组织结构如下：第l章前言。主要阐述了本课题的研究背景，简要分析了其研究意义，介绍了几何代数相关技术与发展现状。第2章介绍了几何代数的基本理论及性质。第3章给出几何代数三维线性变换的推导实例，分析与传统方法的区别和联系。第4章应用旋量表示及马达
23、代数于刚体运动。第5章探讨几何代数最小平方距离的问题表达式在多边形模型配准与运动估计中的应用。随后对论文工作进行了概括性总结，并提出了以后的工作方向。最后列出了本文的相关参考文献。6中国石油大学(华东)硕士学位论文第2章几何代数几何代数(Geometric Algebra)是Grassmann代数和Clifford代数的一个现代发展。在几何代数中，可以将矢量、四元数、张量等都统一到同一个代数框架内。而且，几何代数中的量都有很直观的几何意义，很容易理解。对于计算机图形学、几何建模和交互技术中使用的数学而言，几何代数是一种新的基本语言，由于它对几何的描述是内蕴和无维数间隙的，能够用简洁的符号表示高
24、阶形体，并且能够对其进行线性操作，因而对于处理几何问题极为有用。它提供了新的见解和革新的算法，在计算机图形学有着广泛的应用，如运动学和动力学，单纯形计算(多边形和有限元)，流体的流动，碰撞检测，球面的四元数样条，弹性形变，曲线和曲面，向量场等。甚至已经有人致力于将几何代数作为物理学和工程领域统一的数学语言。本节介绍几何代数的一些基本知识。主要参考Hestcnes，Lasenby，Sommer和李洪波等学者的著作【4】【5】【9】【10】【11】12】【1341。21几何代数基本知识由矢量空间科通过几何积(geometric product)定义的几何代数G(剐)为2”维的线性空间，具有称为外张
25、量(blade)的子空间结构，并提供多矢量(multivector)用于表示高阶几何形体，矢量空间中的矢量可看作一阶几何形体。需要注意的是R”G(R”)，意味着定义几何代数的矢量空间通常为其定义的几何代数的一部分，因此矢量空间中的矢量为几何代数的一个元素，随后各节将详细叙述。这一部分将几何代数作为标准矢量代数的扩展加以介绍，而忽略大部分几何代数的代数部分。在本文介绍几何积之前首先介绍可以看作几何积特殊一部分的内积(innerproducO和外积(outer product)。需要说明一点，在后文中会经常用到术语标量积(scalar product)和内积(innerproduct)，在很多文献
26、中这两个术语经常在使用中可互相替换，然而本文中这两个术语分指不同的操作，认识到这一点非常重要。标量积的结果只能为一个标量，不多也不少，该标量通常为实数，特别可能为零或者负数。在矢量空间中，内积操作结果可能与标量积一致，然而在几何代数框架内一般情况下内积结果并不是标量。7第2章几何代数211外积在没有详细介绍几何代数到底是什么的情况下，可以先定义R“上的几何代数，记为G(瞅)或简记为q，我们将限定在实数域上定义几何代数。外积操作是几何代数框架内定义的一个操作，由A定义，介绍矢量外积的一些主要几何特性如下，其中a、b、cF(其中F为行维欧拉空间)。反交换性：aAb=一bAa (21)结合性：(aA
27、b)Ac=aA(bAC) (2-2)矢量加法的分配率：aA(b+c)=(口人6)+(口人c) (2-3)标量-矢量乘法的交换律：2(aAb)=(Aa)Ab=口(舶) (24)外积另一个重要的特性是：aAb=0a和b线性相关令口l p o,口七c R”(七厅)是为k个相互线性无关矢量，则：(aI Aa2Aa七)6=o当且仅当b线性相关于q，口。k个矢量的外积叫做k阶外张量(kblade)表示为：kA ct=al A呸口IAaff置l(2-5)外张量的阶数仅是给定构成外张量的矢量数量。由此，k个线性无关的向量外积生成一个k阶外张量。212外积零空间在几何代数框架内，如前所定义的外张量有其几何解释，
28、外张量可以解释为几何代数空间内的线性子空间。给定向量aE R”定义函数。如下：。：xR”一x口G(R”) (26)这个函数的核是R”空间中由函数。映射为零的矢量的集合。这个核被称为矢量的“外积零空间OPNS(outer product null space)，并被表示为NOa)，也就是：8中国石油大学(华东)硕士学位论文ker。=D(口)：=xR”：z人口=oG(彤)(2-7)我们知道当且仅当x与a是线性相关时x口=0。因岫a)也可定义如下：NO(a)=口口：口R) (2-8)这表示了通过原点的方向为a的直线的外积零空间(OPNS)。在几何代数框架内欧拉空间F中的矢量表示直线。给定一个二阶外张
29、量口6G(瞅)，其中a、be R”，函数蹦定义为：砌XE R”I-)XAaAbEG(R”) (2-9)上述函数的核空间为ker础=NO(口Ab)：=xR”：x A(I6=oG(R”) (2-10)如前所述二阶外张量aAb的外积零空间可被参数化如下：NO(a A b)=ga+flb(a，)R2 (2-11)因此aAb表示了由卿b张成的R”的二维子空间，也就是通过原点的平面。通常，k阶外张量彳；。G(R”)的外积零空间为R”的k维线性子空间。NO(A曲)=xR”：XA A吐，=o (212)考虑三维欧拉空间矿中的三个线性无关的向量a、b、c，它们是，由此口，b，c)构成三维窄间E3的诈奁基。因此a
30、AbAc的外张量是整个矿空间。由于的任意正交基外积的外积零空间是整个空间F，由不同的正交基构成的外张量必须相似，实际上它们只差一个非零因子。G(R”)中的n阶外张量被称为伪标量(pseudoscalar)。之所以称之为伪标量是因为所有伪标量同标量元素1G(R”)相似，仅差一个标量因子。需要注意的是0(彳。e G(R”)=R”这样一个事实，表示在G(R”)中没有阶数高于n的外张量。9Q 妇C = G R17 扒噼 MtE：!：矿I炉”C枞矽A似十+第2章几何代数213外张量的大小在欧式空间矿中通常使用三2范数表示距离。通过标量积的定义，令aE矿，则：-石石(2-14)这一范数推广到G(瓞”)内的
31、外张量。简短之便，利用|I1I代替IJII：表示三2范数，令a、b酞3，将b表示成平行于和垂直于a的部分的和，即b=b上+bat，则：口人6=口人(6上+6”)=口6上+望全型=aAb上(2-15)相似地，对任何k阶外张量彳吐，=，我们可以寻找一组l价相互正交矢量口：，口：)，I=1有么，彳d，=口：，口2)(2-16)并刮I彳出II=ll彳=ll= ：nkI，其中ko。由于a!相互正交，因此彳的大小或范数就是由其张成的“体积。k=l时，退化为矢量的范数。二矢量(bivector)aAbG(R3”)可以被表达为aAb上，其中6上是bOO垂直于a的分量，lbIl=sinOllblJ，a=L(a，
32、6)。由此II口人60=肛6上=恻IIl60sinO，它是由绷b生成的平行四边形的面积。图2-1二阶外张量的大小Fi92-1 magnitude of bivector考虑nk矩阵彳，其列矢量为q)：。c R”，记矩阵彳=口l，吼】，定义这样的矩阵的范数为由其列向量张成的平行六面体的“体积”，同这些矢量构成的外张量的范数一致。实lO中国石油大学(华东)硕士学位论文际，矩阵丑=嗡，吃】，其中包)：。c瞅是群的正交基，矩阵雪的行列式det(动确实表示为由龟：张成的平行六面体的体积。因此，对于这种情况有：0岛既0-det(b1，6；】) (2-17)几何代数空间G(R”)的单位伪标量是阶数为，l大小
33、为l的阶量，通常用威示。因此有：6l色=0251人包II，=det(6l，丸】)， (2-18)214内积几何代数另一个重要操作就是内积(inner product)，由表示。对矢量a、6科，它们的内积同它们的标量积，a6-a*b两个矢量的标量乘决定于所在矢量空间的标度，因此称之为内积的标度特性。然而，对于G(R”)内的元素，内积同样具有部分纯代数特性，而于矢量空间R”的标度无关。下文给出部分这些特性，具体证明可以参考其他文献。a、b、CE R”，二矢量bcG(R”)。矢量a同这个二矢量的内积为：a(bc)=(ab)c一(ac)b (219)ab和ac都是标量，从上式可以看出矢量与二矢量的内积
34、的结果是一个矢量。更一般，k2时x4女=OaO(asas A04 AA嚷)-(x口2)(口las A线A人畋)+(x口3)(q Aa2 Aa4 A口七) (220)七(七+1)=(一1) (xq)【如口f】i-I4。口f代表去掉矢量q的外张量4。，一个矢量和鼢外张量的结果是(肛1)阶外张量。另外一个重要的法则是： 6)4b=口(64I)，k2。更一般地，外张量彳，皿，G(R”)的内积(0比，=q(口2(q坟，) (221)两外张量内积的结果为，一k阶外张量。与外积相比较，可知外积和内积是相反的：外积增加外张量的阶数，内积则减少外张量1 1第2章n何代数的阶数。一般情况下令xY，a，b科并令Y=
35、x(d6)=(x a)b一(z 6)a (2-22)并且我们可以得到z-Y=x Ka)b(x b)a】=(口)(x 6)一(z bXx口) (223)=0也就是x与y相互垂直，同时也表明内积x(口6)从(aAb)表示的子空间内缩减掉x表示的子空间。令P表示二重矢量佃6)，在E内该二重矢量表示通过原点的平面，一个矢量xR3一般情况下具有平行于尸的分量x“和一个垂直于P的分量一，也就是x=一+一，因此Y；x-P=01+一)P=一P内积J p从p表示的子空间减掉一表示的子空间-得到P空间一个垂直于x的矢量。XX 、。y X，P图2-2矢量与二重矢量的内积n醇-2 lanerproductofvect
36、or and bWeclor内积的主要代数特性有：加法分配率：a(6+c)=4 b+a c交换率： 口b=b a标量一矢量乘法的交换率：(4b)=a(ab)=(加)b正定性：口a爿a120(2-24)(2-25)(2-26)(2-27)中国石油大学(华东)硕士学位论文215外张量的逆与矢量公式类似，一般情况下，张量如G(科)(七力的逆通常由下式给出：彳：=苦肌U一 (228)利用上式(2-28)可得如下关系式，i。，,4如-I=A出-IA娃，=l (2-29)j础，代表外张量的转置(reverse)。转置操作是这样一个算子，仅仅将外张量的矢量的k顺序颠倒一下。例如A廿，=Aa,贝lJ：f昌lA
37、如=ak A一l AAq (2-30)外积满足结合率和反交换率，外张量中的向量的重排只改变外张量的符号，对转置我们有j娃=(一1)。72如，外张量的阶数决定了外张量的转置是否会引入一个额外的符号(矢量的阶数为1)。对任意外张量如G(群)有彳。mt-I，=IIA。，82然而有：A24。，=(一1)螂_m怕。，02。216内积零空间和外积一样，我们也可以定义内积产生的外张量的零空间。外张量如G(R”)的内积零空间IPNS(Inner Product Null Space)朋U)是函数Q如，的核，定义为Q如，：x酞”I-x4G(R”)因此M(4b)-xR”：Q屯，)=oG(R”)考虑向量aER3，N
38、I(a)为M(口)：=xR3：xa=O)(2-31)(232)也就是说所有垂直于a的所有矢量都属于a的内积零空间(IPNS)。R3中a的IPNS是一个法线为a的平面。前面我们已经知道二矢量的外积零空间表示一个平面。这意味着在R313第2章几何代数的矢量的内积零空间和G(R3)中二矢量的外积零空间之间存在着某种联系。217对偶令奴，吃，巳)代表R3的正交基。eI的内积零空间是垂直于q的矢量集。表示为：NI(e。)：=口吃+巳：(口，)R2 (2-33)为由乞和巳的张成的平面。然而，我们知道这也是二矢量吃Ae3的外积零空间。NO(e2 A e3)=ate2+能：(口，p)e R2 (2-34)因此
39、我们也许会问在外积零空间和内积零空间之间是否有一定的关系，这样的关系确实存在，我们称之为对偶(duality)。接下来看它是如何实现的。开始实质的计算之前我们介绍两个很有用的关于矢量集的操作。第一种是矢量的直和操作，表示为。，给定两矢量集彳-q：。c，曰_o：司c R”，它们的直和是A(3 B：=q+乞R”：0f七，0)=R”刨旧(瓦书)这样的操作确实存在，称之为对偶(dual)。任意多矢量彳G(R”)对偶记为彳，定义为彳：=AI_ (2-41)j一1是G(科)的单位伪标量的逆。由于对偶操作相对于代数的特殊元素能够作为一个标准乘法，因此是几何代数一个卓越的特性。然而，多矢量的对偶的对偶会引入一
40、个额外的符号。即(彳)毒-(A71)z=彳(歹一J一1) (242)如前所述，l-I是G(R”)中的撕外张量，并且厂1，=(一1)m_1)，2 IIx一1112=(一1)水-1)，2因此厂11=一1时，对偶的对偶会引入一个额外的符号。对于R3的正交基q，乞，岛)，对偶有如下作用。对二重矢量代表e2巳，R3的单位伪标量和其逆为，=eI Ae2巳，厂1=7=岛Ae2 AeI=一，e2 A岛的对偶为(e2乞)+=(口2 Ae3)厂1=(乞人吃)(吃AF：AeI) (2-43)=P：(巳(巳Ae2 Ael)首先计算最外层括号内的项岛e Ae2 Ael-(e3岛)(岛Ael)-(eae2)(e3 Ael
41、)一(岛eI)(龟Ae2-eq因此(吃Ae3)=e2e2 AeI)=(P2e2 eI-(e2q)P2=el这是一个很好的表明外张量的对偶是补足整个空间的外张量。在这种情况下(e2人吃)(乞Ae3)=，利用外积零空间表示有NO(e：Ae，)o加(吃Aea)=R315第2章几何代散现在可以看|JOPNS和IPNS之问的关系是对偶关系。一般情况下，对外张量4。，EG(彤】有NO(A。)=M(：，)(2-44)2 1 8内积零空间的几何解释矢量月科的内积零空间是通过原点的平面，其中n是平面的法线。对于对偶操作a、bR3张成平面的法线为H=6)，平面ab的法线n伸出的那面通常认为是平面的“前面”。二重矢
42、量代表一个有向的平面。例如bn口的法线m为：卅=(6日)+=-(a6)+=一n (245)圈2-3二重矢量口b表示的平面的对佣Fi923 Dual ofplane represeated by blveetorab因此由6n口表示的平面同aAb表示的平面包含相同的子空间，但是它们的“前面”指向相反的方向。这也表示了向量叉积(crossproduct)和外积之间的关系，axb=(a6)+(22,6)考虑Gf耐1中的二重向量4Ab，为了得到它的内积零空间，-我t11,g,须找到在取3的一个矢量x满足x(口6)=o。由于x扣一6)=(z 4)6一(z 6)d假设ab不为零，Na和b-定线性无相关。因
43、此上式为零当且仅当x口=0且xb=0 (247)从几何意义上来说，式(2-47)条件意味着必须位于a以内积零空间方式表示的平面以及位于b以内积零空间方式表示的平面内，这样斑上述平面的交线上。这表明两个向量的外积表示了它们分别表示几何体的交。由集合表示为：NI(aAb)=M(口)nNl(b)k!i!i!圈24内积零空间表示的两个平面的趸Flg4 Intersectionoftwo山nHintermsotWNS这样的一个交线具有方向，在上述情况下为(bnd)。在科要讨论的最后一种外张量是三阶外张量或三矢量(trivector)，-矢Jt_出eGf科1是一伪标量，因此4n=如，111其中，是6f噼1的单位伪标量。记4，竽dn6nc，a蝴tAn不等于零，那么8、b和c是线性无关。为得到4，的内积零空间，需要找到满足x 4，=0的矢量由，4。=(z d)(6c)一(x扣n