毕业设计（论文）-关于广义幂等矩阵的性质的探讨.doc

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1、湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002）1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足的矩阵A叫做幂等矩阵，把满足的线性变换叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k次幂等矩阵和k次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n阶k次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数

2、经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b，其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系的矩阵称为幂等矩阵。显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即；1.1.4若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵；1.1.5若为幂等矩阵，则也为幂等矩阵所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.

3、6令nn幂等矩阵的秩为r,则有个特征1和个特征值0；1.1.7所有的幂等矩阵都可对角化的：；1.1.8一个对称的幂等矩阵可以表示为，其中满足；1.1.9设有全矩阵，则是一个幂等矩阵；1.1.10若方阵B是幂等矩阵，则和也是幂等矩阵；1.1.11若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n。2.k次幂等变换与k次幂等矩阵 定义2.1 把满足的矩阵A叫做k次幂等矩阵，把满足的线性变换叫做k次幂等变换。显然，幂等矩阵(变换)必是2次幂等矩阵(变换)，对合矩阵是3次幂等矩阵，所以，k次幂等矩阵(变换)是幂等矩阵(变换)与对合矩阵(变换)的统一和推广。另外，容易验证以下命题：命题2.1

4、 设是以n维线性空间V的基，那么，V上的任意k次幂等变换关于该基的矩阵是k次幂等矩阵。反过来，任意k次幂等矩阵都是某个k次幂等变换关于该基的矩阵。从而，k次幂等矩阵与k次幂等变换有平行的性质。定义2.2 设A是k次幂等矩阵，把叫做A的k-余矩阵，记为。把的k-余矩阵记为。设是k次幂等变换，把叫做A的k-余变换，记为。把的k-余变换记为。之所以把叫做的余变换，我们会在定理3之后说明原因。为了论述方便，我们把本文需要的有关概念和结论陈述如下：定义2.3【3】 设是线性空间V上的线性变换，把叫做的核，把的维数叫做的零度。把叫做的值域，把的维数叫做的秩，记为。定义2.4【4】 设W1,是线性空间V的子

5、空间，如果，我们称是的余子空间。引理2.1【3】 设A是n级矩阵，r(A)表示A的秩，则 （1）； （2）如果AB=0,那么 引理2.2【3,4】 设是以n维线性空间V的基，线性变换关于该基的矩阵是A，那么 的列空间； 其次线性方程组。性质 定理2.1 如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换。证明 显然设有所以使得从而即故设，由于所以即于是定理2.2 如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换。证明 设有即所以反过来，使得，从而即故从而 设 故即有定理2.3 如果是V上的线性变换，那么是k次幂等变换。并且如果是k次幂等变换，那么有证明 设由故有定理2.1可知，故且从而于是设于是故即再由定理

6、2.1和定理2.2易得 定理3说明，如果是V上的k次幂等变换，那么是的k-余子空间【4】，是的余子空间，这正是定义4中把叫做余变换的原因。 定理2.4 n级矩阵A为最次幂等矩阵。平行地，n维线性空间V上的线性变换为k幂等变换。证明 设在基下的矩阵为A，则在基下的矩阵为，则由引理2.2又知，：由定理2.3和引理2.2直接得到，：设即由于故但故由定理3便知，为k次幂等变换，从而A为k次幂等矩阵。 定理2.5 设A为k次幂等矩阵，则A的任意正整数次幂也为k次幂等矩阵。平行地，设为k次幂等变换，则的任意正整数次幂也为k次幂等变换。 证明 设m为任意正整数，。 定理2.6 设A为k次幂等矩阵，则。平行地

7、，设为n维线性空间V上的k次幂等变换，则。证明 由定理5可知，为k幂等矩阵，故，由引理1得。但显然，所以。 定理2.7 设A为k次幂等矩阵，则有。 证明 由定理4得，。由定理6得，。故有。定理8 A是k次幂等矩阵平行地，如果是k次幂等变换。 证明 设，有，同理得，设。即，所以A是k次幂等矩阵。3. 可逆n阶k次幂等矩阵的性质3.1 预备知识性质3.15 定义3.1 设A，B，若存在可逆矩阵P，使得，则称A与B相似。 定义3.2 设A，若存在最小正整数kN-0，1，使得则称A为n阶k次幂等矩阵(简称k次幂等矩阵)。若A可逆，则称A为可逆n阶k次幂等矩阵。3.2 n阶k次幂等矩阵的性质 性质3.2

8、 可逆n阶k次幂等矩阵的转置也是可逆n阶k次幂等矩阵。 证明 证明设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数kN-0，1)，使得，则。假设存在mN-0，1且mk，有则 于是即这与k的最小性发生矛盾，因此矩阵A与其转置同为k次幂等矩阵，由此可得也是可逆的n阶k次幂等矩阵。性质3.3 可逆n阶k次幂等矩阵的次幂是可逆n阶p(pN-0，1，pk)次幂等矩阵。 证明 设AC 且是k次幂等矩阵，则存在最小正整数kN-0，1，使得则，由最小数原理可知，一定存在PN-0，1且pk，使得。因此是P次幂等矩阵。又A是可逆矩阵，则| A |0，而，那么，即是可逆P次幂等矩阵。 性质3.4 可逆n阶k次幂等矩阵的特征值A

9、是k一1次单位根。 证明 设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数kN-0，1，使得。 设是A的任意一个特征值，是A的属于特征值的一个特征向量，因而有0且，由于则即因为 O，所以，即=0或A=1，因此，A的特征值为0和k-1次单位根。又根据可逆矩阵的性质可知，可逆k次幂等矩阵的特征值是k-1次单位根。 性质3.5 可逆k次幂等矩阵的逆仍是可逆k次幂等矩阵。 证明 设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 kN-0，1，使得则有假设存在m N-0，1且mk，使得将其两边同时取逆，有于是即。这与最小性矛盾，从而得知 k为使得成立的最小正整数，因此A的逆是k次幂等矩阵，又A是可逆矩阵，则| A |0，而

10、，即，因此也是可逆k次幂等矩阵。 性质3.6 可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。 证明 设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数 kN-0，1，使得又A是可逆矩阵，将其左右同乘以，得即因此，可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。 性质3.7 如果可逆k次幂等矩阵A与可逆次幂等矩阵B可交换，则AB是可逆P(PN-0，l，Pk-1，-1+1)次幂等矩阵。 证明 由已知，知存在最小正整数k，N-0，1分别使得因为AB=BA，所以取t=k一1，一1(其中a，b表示a，b的最小公倍数)，则均为正整数。令，从而 又A可逆，为此有于是 根据最小数原理，一定存在PN-0，1且Pt+1，使得再根据k次幂等矩

11、阵的定义，可知AB是P次幂等矩阵。又A，B均是可逆矩阵，则|A|0，|B|0，而|AB|=|A|B|，那么|AB|O，即AB是可逆P次幂等矩阵。 推论1 如果是可逆次幂等矩阵且两两可交换，则是可逆p(p N-0，1，P一1，1， 一1+1)次幂等矩阵。 证明 由已知，知存在最小正整数N-0，1( i=1，2，k），分别使得。又因为两两可交换，所以 取t=一1，1， 一1(其中a，b， 表示a，b，的最小公倍数)，则均为正整数。不妨设。从而又均可逆，为此有于是 即。根据最小数原理，一定存在PN-0，1且pt+1，使得再依据定义有，是P次幂等矩阵。又均是可逆矩阵，则而那么，即是P次幂等矩阵。 性质

12、3.8 与可逆k次幂等矩阵相似的矩阵仍为可逆k次幂等矩阵。 证明 设A是k次幂等矩阵，B是与A相似的矩阵，则存在最小正整数kN一0，1，使得又由于B与A相似，则存在n阶可逆矩阵Q，使得，则 假设存在mN-0，1且mk ，使得。于是。 即,这与最小性矛盾。从而，得知此k为使得的最小正整数。所以B也是k次幂等矩阵。又A是可逆矩阵，则则，即因此B也是可逆k次幂等矩阵。 性质3.9 任意可逆矩阵A都可以分解成一个可逆矩阵与一个2次幂等矩阵的乘积。 证明 因为A是可逆矩阵，则存在可逆矩阵P，Q使得A=PEQ，因而A=(PQ)(Q -1EQ)=BC，其中B=PQ为可逆矩阵，C=Q -1EQ，然而C2 =C

13、，即C为可逆2次幂等矩阵。命题得证。 性质3.10 设A是可逆k次幂矩阵与一个2次幂等矩阵可逆的充要条件m+n0。 证明 因为A是k次可逆矩阵，由性质6得所以 则有(m+n)E可逆的充要条件是m+n0，即可逆的充要条件是m+n0。 性质3.11 已知A是数域F上可逆矩阵，则存在mN-0，使得的充要条件是A是p(pN-0，1，pm+1)次幂等矩阵。 证明 充分性：因为A是p次幂等矩阵，则存在最小正整数pN一0，l，使得。又A是可逆矩阵，将上式左右同乘以，即得，此时令m=p-1，即有，也就是存在mN-0，使得 必要性：因为存在mN-0，使得将其左右同乘以A，有。由最小数原理可知，一定存在pN-0，

14、1且pm+1，使得，所以A是P次幂等矩阵。命题得证。 性质3.12 若A为可逆k次幂等矩阵，则A的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维线性空间。 证明 因为A为可逆k次幂等矩阵，由性质6知(kN-0，1)，那么等价于。又因为的秩小于等于k-1，故A的全体实系数多项式构成实数域上的不超过k-1维的线性空间。3.3 小结 本文在可逆幂等矩阵的有关概念与性质的基础上，把一般矩阵的性质推广到特殊的可逆n阶k次幂等矩阵，极大的丰富了代数这门课的内涵，推广了可逆幂等矩阵研究的相关理论。至于这种推广的理论与实际应用价值如何，其他科学研究将产生何种影响，还有待科研工作者进一步探索与发掘。4. 幂等矩阵

15、的相似标准型与分解形式 4.1 幂等矩阵的相似标准型 对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵，对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素，对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数。接下来我们以幂等矩阵的特征值为线索，探求幂等矩阵的具有对角形式的相似标准型。 定理4.1 若n阶方阵A为幂等矩阵，并且A的秩R(A)=r，则存在可逆矩阵P使得 。 证明 在n维线性空间V中任取一组基，定义线性变换在基下的矩阵为A。即 假设其中x0，则由，得，所以幂等矩阵特征值为l或0。由于矩阵A的秩R(A)=r，故A的n个特征值中有N个l以及n-r个0，则其特征多项式：从而y可以分解为特征子空间的和： 先在特征子空

16、间取一组基，然后在特征子空间取一组基届，则就是V的一组基，显然这就是说 由于线性变换在不同基下的矩阵都是相似的，因此存在可逆矩阵P使得 此时，我们也称为幂等矩阵A的相似标准型。值得指出的是，根据HarniltonCaylay定理，线性空间可以分解为特征子空间的和： 其中恰好构成了线性空间V的值域恰好构成了线性空间V的核 根据幂等矩阵的相似标准型，幂等矩阵可以具体分为以下三种类型，并且，其中除了单位矩阵，其他类型的幂等矩阵都是不可逆的。 当r=0时，即A为零矩阵； 当r=n时，即A为单位矩阵； 当0rn时，。 4.2 幂等矩阵的秩和迹 矩阵的秩和迹，是描述矩阵的两个基本数字特征，幂等矩阵的秩与迹

17、之间还有如下的重要关系。 定理2：设n阶方阵A为幂等矩阵，则A的秩恰好等于它的迹，即 证明：设A为幂等矩阵，且其秩R(A)=r，则A存在可逆矩阵P使得 根据矩阵的秩的基本性质，可知 与此同时，考虑到矩阵的特征方程中特征根与系数的关系，可知 所以 4.2 幂等矩阵的分解形式 众所周知，任意可逆n的阶实矩阵M都可以分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积：M=QT，其中Q为正交矩阵，T为上三角矩阵【18】。受此启发，我们来探究幂等矩阵在矩阵分解中的作用。 定理3：任意n阶方阵M的都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，即 其中 证明：假设n阶方阵M的秩R(M)=r，则存在可逆矩阵P与Q使得从

18、而如果令则，其中定理4：若n阶方阵A为幂等矩阵，则可以分解为两个对称矩阵的乘积，即其中证明：根据幂等矩阵的相似标准型，存在可逆矩阵P，使得如果令那么，其中4.5 结束语我们以幂等矩阵的特征值为线索，相对系统地研究了它的一些基本性质。具体说来，幂等矩阵存在着对角形式的相似标准型，幂等矩阵的秩恰好等于它的迹，任意方阵都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积，幂等矩阵可以分解为两个对称矩阵之积的形式。5.数量幂等矩阵的一些秩等式5.1 预备知识设为复数域C上所有矩阵集合，为C上mm可逆矩阵集合。r(A)为矩阵A的秩，用I表示适当阶数的单位矩阵，为正整数集合。表示复数A(C)的模。当时，称P为幂等

19、矩阵。文献15，16得到了很多幂等矩阵的秩等式幂等矩阵P与Q的换位子PQQP的秩等式是由文献15引入讨论的(文献17也称PQQP为Lee product)当R是环的时候，称为R上的Jordan积【17】引言，因此文献18称AB+BA为矩阵A与B的Jordan积。文献15，16等都得到了幂等矩阵P与Q的Jordan积的秩等式。定义5.1 设，如果有复数使，则称P是数量幂等矩阵。 在定义5.1中当时，P就是通常的幂等矩阵；当时，P是文献20和21中所说的斜幂等矩阵应用这类矩阵与通常的幂等矩阵的密切关系，文献15110给出命题5.1 设数量幂等矩阵满足则 （1） （2） （3） （4） 由定义5.l

20、知数量幂等矩阵P，Q与满足的数量有重要的联系，文献15以命题5.1形式给出的与数量有关的秩等式是合理的。在命题5.1中取，就可得到文献15，16关于幂等矩阵的P，Q和，差，换位子和Jordan积的秩等式。由定义1知数量不同的选取，一般的说，确定的是不同的数量幂等矩阵P，Q。引理5.1【15】110 设数量幂等矩阵满足则引理5.2 设是幂等矩阵，是非零复数；则引理5.3 设数量幂等矩阵满足，则是幂等矩阵且 （5）证明由文1110页知是幂等的，从定义1得，逐步归纳可得到(5)。 引理5.4 设数量幂等矩阵，满足则（6）（7）证明：设，显然，且 因为分块的初等变换不改变矩阵的秩，所以 （8）从和因此

21、， (9)这样从（7）和（9）可得（6）左边的秩等式，进而可得这说明（6）的秩等式成立设，显然此时，即有 (10)由 ，和即有 (11)有（10）和（11）可得（7）的左边秩等式，进而对称性有这就证明了（7）。引理5.5 设数量幂等矩阵满足则 (12) (13) (14) (15) 证明：从 和 这样由引理5.4的（6）得 (16) 从（16） (17) 因为,所以由（16）(17)知（12）成立。 又因为 和 这样由引理4的（7）得 从（18）进而由（18）和（19）知（13）成立。从文献15所给出命题1中的(3)，(1)，(2)和引理5.1可得 这就证明了（14）和（15）。 与文献15所

22、得命题5.1相比，定理5.1给出了与数量无关的数量幂等矩阵的和、差、Jordan积和换位子的秩等式。定理5.2 设数量幂等矩阵满足则，当时。（20）证明：当时，必有，进而应用引理5.5知， 由定义5.1知，进而 进而应用定理5.4的（6）得 ，当时。 （21） 引理5.5知 注意到从定义1可得 进而 这样由引理5.5和引理5.4的（7）得，当时（21） 和（22）说明秩等式（20）是正确的。 定理5.3 设数量幂等矩阵满足则，当时证明：当时，就意味着，当时从引理3知此时与都是幂等矩阵，这样从引理5.2和(24)可得的，当时注意到从（24）得到的，由引理5.3的（5），引理5.2这样从（25），当时注意到从（24）可得，由定理2的(20)和(25)，当时这样由引理3的(5)，引理2和(24)再应用(27)可得，当时(26) 和(28)说明秩等式(23)成立。定理3 表明当时，数量幂等矩阵P，Q的方幂的和、差的秩等式是相等的且为一个与正整数k，数量，的大小都无关的常数22