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1、本科毕业设计(论文) 题目 线性系统的状态反馈极点配置设计 学院名称 电气工程与自动化学院 专业班级 自动化08-1 学生姓名 导师姓名 李 敏 年 月 日线性系统的状态反馈极点配置设计作 者 姓 名 专 业 自动化 指导教师姓名 李 敏 专业技术职务 讲 师 目 录摘 要1第一章 绪论31.1课题背景及意义31.2本论文研究的主要工作3第二章 准备知识42.1极点配置简介42.2线性矩阵不等式LMI42.2.1线性矩阵不等式LMI基本变换引理52.2.2 LMI工具箱介绍6第三章 线性定常系统精确极点配置83.1单输入精确极点配置问题93.1.1问题描述93.1.2解决方案：93.2多输入精
2、确极点配置问题103.2.1问题描述103.2.2解决方案103.3实例仿真11第四章 线性定常系统的区域极点配置124.1问题描述124.2解决方案134.3实例仿真13第五章 线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置165.1问题描述165.2解决方案165.3实例仿真17结 论19参考文献20致 谢21山东轻工业学院2012届本科生毕业设计(论文)摘 要 现代控制理论源于20世纪60年代，以极大值原理、贝尔曼动态规划和卡尔曼滤波技术为形成标志，经典理论中以单一输入变量为研究对象，主要通过频率进行控制，现在控制理论以线性空间理论为基础，在时域中研究系统，能够定量的进行系统的分析和设计，随着计
3、算机运算能力的发展，现代控制也在更多领域得到应用。控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分组成的闭环系统，经典控制理论通常采用输出反馈，而现代控制理论多采用状态反馈。闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。本论文对线性定常系统状态反馈的精确极点配置、具有稳定裕度的区域极点配置和具有圆域约束的区域极点配置进行了研究，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统
4、MATLAB仿真程序。结果证明了设计方法的正确性和有效性。关键词：线性系统 状态反馈 极点配置 线性矩阵不等式ABSTRACTModern control theory from the 1960s to the maximum principle, Bellmans dynamic programming and Kalman filtering techniques for the formation of the flag, the classical theory of a single input variable, mainly through the frequency cont
5、rol, and now control theory linear space theory, in the time domain system, the quantitative system analysis and design, with the development of computing power, modern control is also more areas to be applied. The control system is composed of two parts by the controlled object and the feedback con
6、troller closed-loop system, the classical control theory usually used to output feedback, and modern control theory, the use of state feedback. The distribution of the closed-loop system poles are determined by the stability of the system and dynamic quality. Therefore, according to the requirements
7、 of the system dynamic quality, the provisions of the poles of the closed-loop system should have the distribution, the configuration of the pole as the dynamic quality indicators. This pole assignment in the course of a location is known as the pole placement. In the space state law, the general fe
8、edback system state variables or output variables, to achieve the pole configuration of the system. This thesis is accurate linear time invariant systems state feedback pole placement with stable margin of regional pole placement and regional pole placement with a circular domain constraints have be
9、en studied using linear matrix inequality LMI approach, the preparation of the system MATLAB simulation program. The results proved the correctness and validity of the design method.Keywords: linear systems; state feedback; pole placement; linear matrix inequalities.2第一章 绪论1.1课题背景及意义20世纪50年代以后，随着航天等
10、技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法（Linear Quadratic Regulator，简记为LQR），状态观测器控制法，李雅普诺夫（Laypunov）稳定性分析法以及极点配置法等。近年来，计算机技术的迅速发展给需要大计算量的现代控制提供了更好的发展空间，同时工业生产
11、的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此也极大地推动了现代控制理论的发展和完善。 在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在指定的位置上，从而保证闭环系统具有所要求的动态和稳态特性。由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。实际设计中只要将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。近年来，对D稳定理论的研究十分活跃，利用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性、性能、性能等方面1。在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置
12、紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置2。1.2本论文研究的主要工作本论文是对线性定常系统状态反馈区域极点配置的研究。其中，第一章简单说明该课题的背景及其研究意义，同时对本论文进内容行一定的介绍；第二章主要是对本论文研究过程中所涉及的知识的介绍及说明；第三章从单输入和多输入两种情况研究线性定常系统精确极点的配置；第四章研究线性定常系统中具有稳定裕度的区域极点配置；第五章研究线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置第二章 准备知识2.1极点配置简介所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，即闭环特
13、征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者是某个区域内。由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指
14、定位置（这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定域度、相位稳定域度等，通过转换和经验估计，而具体地加以给出的），可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。传统的输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。下面重点对状态反馈形式的极点配置问题
15、行讨论。状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改变系统结构属性和实现性能指标的功能。首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。2.2 线性矩阵不等式LMI线性矩阵不等式LMI（Linear Matrix Inequality）的研究最早可以追溯到1892年。李亚普诺夫矩阵不等式实际上就是一个线性矩阵不等式LMI，任意给定一个对称正定矩阵P，求解李
16、亚普诺夫方程，即可得到不等式的一个可行解3。控制中的很多问题，由于复杂性的增加而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但却可以将问题转化为线性矩阵不等式求解。因此，线性矩阵不等式的求解在控制系统的分析、设计中的地位是举足轻重的。1995年，MathWorks公司在其软件MATLAB中推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地处理和求解线性矩阵不等式，进一步推动了LMI方法在系统和控制领域中的应用。到目前为止，LMI在控制中应用主要具有以下特点。一是通用性，即一类系统分析与综合的问题可以通过LMI的形式来解决，并且可以方便的添加约束条件；二是可解性，虽然我们通常不
17、能找找一个系统或控制问题的解析解，但是如果要计算的问题具有凸函数的形式，可以得到有效的解决，大量的系统分析与综合问题都可以用LMI的形式表示，根据有界实引理，最终转化为可解的凸问题。 在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题的求解。线性矩阵不等式一般形式如下： （2.1） 其中是变量，i=0，1，.m，是已知的实对称阵。 实际应用时，通常遇到的LMI并不呈现式（2.1）的形式，其中变量不是向量而是一个（或多个）实矩阵，但它可以等价地转化成式（2.1）形式。线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题：一、 可行性问题
18、 求使得 （2.2）二、 具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题 满足于 （2.3）三、 具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题 满足于 （2.4） 在控制理论中，大多数控制问题都可以转化成上述三种矩阵不等式问题中一种。2.2.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理在许多系统与控制问题中，我们需要将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式，这时常常用到矩阵的Schur补性质。考虑对称矩阵，且 （2.5）假定非奇异，则称为S11在S中的Schur补。以下引理给出了矩阵的Schur补性质。 引理2.1：（Schur Complement） 对于给定的对称矩阵，以下三个条件等价：（1）（2
19、） （3） 在一些控制问题中，经常遇到二次矩阵不等式： （2.6）其中，A，B，是给定的适当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量，则应用引理2.1上述矩阵不等式的可行性问题可以转化为一个等价的矩阵不等式 （2.7）的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量的线性矩阵不等式。该引理用于矩阵不等式的等价变换。2.2.2 LMI工具箱介绍 在 60 年代，已经提出了线性矩阵不等式，但由于求解形如式（2.2）（2.4）所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来，由于线性矩阵不等式的理论不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等
20、式的求解变得很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国MathsWorks Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行；到目前为止，已相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.3、
21、MATLAB6.0、MATLAB7.0 等版本中，增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。线性矩阵不等式工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的最优化问题的解，同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：（1）以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；（2）获取关于现有的线性矩阵不等式系统；（3）修改现有的线性矩阵不等式系统；（4）求解三个一般的线性矩阵不等式问题；（5）验证结果。下面我们介绍LMI工具箱中的几个重要函数：（1）set
22、lmis（ ）：初始化的LMI系统。（2）lmivar（type，struct）：增加新的矩阵变量X到当前的LMI系统中。其中，type (类型）：根据变量X的不同类型设置（13），1表示矩阵变量X为对称块对角阵，2表示矩阵变量X为满秩阵，3表示矩阵变量X为其它；struct（结构）：若type=1,则struct的第i行描述X的第i个块对角阵，其中struct（i，1）代表块的大小，struct（i，2）代表块的性质，如果是尺度块t*I，则struct（i，2）取0，如果是满块，则取1，如果是0块，则取-1。若type=2，假如X是矩阵，则struct=M，N。若type=3,则struct
23、是一个与X同维的矩阵，其中，struct（i，j）取值为：当X（i，j）=0，struct（i，j）=0，当X（i，j）为第n个待求变量时，struct（i，j）=+n，当X（i，j）为第n个待求变量乘上（-1）时，struct（i，j）=-n。（3）lmiterm（termID，A，B，flag）：给定前描述的LMI系统中的某个LMI增加一项。其中，termID为4输入向量，用来指定项的位置和性质。对于termID（1）：若该项位于第n个LMI的左边，则termID（1）=+n，若该项位于第n个LMI的右边，则termID（1）=-n。对于termID（2：3）：若该项属于LMI的第（i，j
24、）块，则termID（2：3）=i，j，若该项属于外部因子，则termID（2：3）=0 0。对于termID（4）：若该项属于常数项，则termID（4）=0，若该项属于变量项，则termID（4）=m，若该项属于变量项：termID（4）=-m，其中，m为由函数lmivar返回的变量X的标识。A可以是外部因子，常数项或者变量项或的左系数，B是变量项或的右系数。flag：设置flag=s，在一个lmiterm函数内快捷定义表达式。（4）LMIs=getlmis：如果系统已经用lmivar和lmiterm进行了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs。内部描述LMIs能够直接传递到求解
25、工具或者其它LMI-Lab函数中去。（5），xfeas=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。如果问题是可解的，则输出xfeas将是待求向量的可行值。给定的可解性问题，解决凸优化过程：对：求：minimize t如果LMI系统可解，则极小化值将是负的。feasp在每次迭代过程中给出t的当前最佳值。LMIs：LMI约束的描述；options（选择项）：控制参数的5输入向量。Target（选择项）：的目标值（缺省值=100）。一旦Target，则代码终止。：终止时的。而且仅当LMI系统是可解的，。xfeas：相应的极小化值，如
26、果，xfeas将是LMI约束的一个可行向量。使用dec2mat可以从xfeas取出相应的矩阵变量的值.（6）copt，xopt=mincx（LMIs，c，options，xinit，Target）：针对约束，极小化。其中，X是待求变量。LMIs：LMI约束的系统描述；c：与X同维的向量；options（选择项）：控制参数的5输入向量；xinit（选择项）：X的初始值。Target（选择项）：目标值，一旦可行的X找到，即：Target，中断迭代；copt：目标的极小化值；xopt：待求变量X的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值。（7），xopt=gevp（LMIs，
27、nlfc，options，target）：求解广义特征值最小化问题。对LMI约束，以及 （j=1,.,nlfc），求minimize t。这里x表示待求变量。正定约束必须很好限定，涉及t的LMIs必须最后限定。LMIs：LMI约束的系统描述；nlfc：涉及t的LMIs的数目；options（选择项）：控制参数的5输入向量；，（选择项）：t，x的初始值；target（选择项）：的目标值，只要t小于这个值，则代码终止；：t的最小值；xopt：待求变量x的极小化值。使用dec2mat可以从xopt取出相应的矩阵变量的值4。第三章 线性定常系统精确极点配置对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响
28、应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置，可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。3.1单输入精确极点配置问题3.1.1问题描述给定单输入线性定常系统x=Ax+bu,y=cx
29、和一组理想极点，我们需要求取一个反馈增益矩阵K，使得系统的闭环极点恰好配置在这组理想极点上。3.1.2解决方案： 引理(3.1)：采用状态反馈对系统0=a,b,c任意配置极点的充要条件是0 完全能控5。 由引理3.1可以得出：若0 完全能控，必存在非奇异变换：x=Tc1x可以得出受控系统0 的传递函数为W0s=csI-A-1b=bn-1sn-1+bn-2sn-2+b1s+b0sn+n-1sn-1+1s+0加入反馈增益矩阵：K=k0,k1,kn-1可求得对x的闭环状态空间表达式：x=A+bKx+buy=cx然后得出闭环传递函数为：Wks=csI-A+bK-1b即：Wks=bn-1sn-1+bn-
30、2sn-2+b1s+b0sn+n-1-kn-1sn-1+1-k1s+0-k0使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：s=*s由等式两边s同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各项系数：ki=i-i* i=0,1,n-1于是得：K=0-0*,1-1*,n-1-n-1*最后把对应于x的K，通过如下变换得到对应于状态x的K：K=KTc1-1算法步骤：第一步：计算A的特征多项式，detsI-A=sn+n-1sn-1+1s+0 第二步：计算由1*,2*,n*所决定的多项式，即*s=s-1*s-n*=sn+n-1*sn-1+1*+0* 第三步：比较s和s*各对应系数可以直接得出反馈增益据阵K3.2多输入精确极
31、点配置问题3.2.1问题描述给定多输入线性定常系统规范形x=Ax+Bu再给定期望的一组特征值i*，我们需要要确定pn的反馈增益矩阵K，使iA-BK=i*成立。3.2.2解决方案 参见3.1.2算法步骤：第一步：计算由1*,2*,n*所决定的多项式，即*s=s-1*s-n*=sn+n-1*sn-1+1*+0*第二步：由*s可以反求得A-BK 第三步：计算BK=A-A-BK 第四步：由于B和BK的值已知，可以求得K3.3实例仿真以单输入精确极点配置为例：给定单输入线性定常系统x=0100010-2-3x+001u y=1000x 试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-2，-1+i, -1-i。c
32、lear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3 ; B=0;0;1;if rank(ctrb(A,B)=3 P=-2,-1+j,-1-+j;K=acker(A,B,P); else message(This system not controllable,can not pole allocation)end运行结果如下：状态反馈矩阵 K=4 4 1对应的控制律为u=-4x1-4x2-x3 各状态下系统的零输入响应曲线如下图3-1所示6。 图3-1变量x下系统的零输入响应曲线第四章 线性定常系统的区域极点配置在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问
33、题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关。在综合考虑系统的各种性能时，如果系统极点配置在指定位置，则不能满足系统综合的要求，将系统极点配置在指定区域内。因此，D极点配置问题是一个具有实际意义和吸引力的研究领域。事实上，只要将闭环系统的极点配置在复平面上的一个适当的区域中，就可以保证系统具有一定的动态和稳态特性。对控制系统的设计，一些感兴趣的区域有:保证状态响应具有衰减度的半平面（）、垂直条状区域、圆盘、扇形区域等。Gutman和Jury（1981）针对一类相当一般的区域和一个给定的正方矩阵，用含有一个矩阵变量的矩阵方程的可行性给出了该矩阵的所有特征值均在所考虑的区域中的充分必要条件。下面介
34、绍一类可以用一个线性矩阵不等式刻画的区域，称为LMI区域。可以证明，一个矩阵的特征值均在这样一个LMI区域中的充分必要条件是一个适当的线性矩阵不等式是可行的，从而可以借助求解线性矩阵不等式的有效方法来方便地求解系统极点的分析和区域极点配置问题8。4.1问题描述对于已知线性定常系统x=Ax+Bu,y=Cx，希望闭环极点均配置在s=-1线的左侧，试设计状态反馈矩阵K，当给定一个系统初始条件时，将系统的极点配置在指定区域内。4.2解决方案 我们需要设计这样一个控制器，使其闭环系统的极点均位于s平面的s线左侧，其中。 引理4.1：矩阵A的所有特征值均在区域中的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵 使得下
35、式成立：对于系统，我们希望寻求一个状态反馈控制 （4.2） 将闭环系统的极点配置在区域内，由定理4.1不难得出如下推论： 定理：系统在状态反馈（4.2）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域内，当且仅当以下LMI： （4.3）有矩阵解和Q。其中，K为状态反馈增益矩阵。 证明：将式（4.1）中的矩阵A替换成得 整理得 令，则上式为：故推论成立。算法步骤：（1）根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域；（2）应用MATLAB工具箱求解推论中的线性矩阵不等式（4.3），得到X和Q；（3）利用公式，求出状态反馈增益矩阵；（4）得出控制律，作用于系统。4.3实例仿真对于已知线性定常系统x=Ax+
36、Bu,y=Cx假设其参数分别为： ，。希望闭环极点均配置在s=-2线的左侧，试设计状态反馈矩阵K，当系统初始条件为时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。 根据4.2小节中提出的设计方法，下面利用MATLAB的LMI工具箱为上述系统进行仿真，程序如下：clear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3B=0;0;1;C=1,0,0a=2;setlmis();X=lmivar(1,length(A),1);Y=lmivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1,2*a,1);lmiterm(1,1,1,1,A,1,s);lmiterm(1,1,1,2,
37、-B,1,s);lmiterm(2,1,1,1,-1,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)通过以上程序得出：状态反馈矩阵：K=97.8377 58.1864 7.9723对应的控制律为：各状态下系统的零输入响应曲线如图4-1所示，系统的极点分布如图4-2所示7。图4-1变量xii=1,2,3的零输入响应曲线图4-2 系统的极点分布图从图4-2可以看出，闭环系统的极点都位于左复半平面=-2左侧。仿真结果验证了设计方法的有效性。第五章 线性定常系
38、统具有圆域约束的区域极点配置用满意控制思想解决实际工程问题时，常常要将系统的闭环极点配置到期望的区域内，以使系统有着满意的动态性能。圆域极点配置是指将一个系统的所有闭环极点配置在一个给定的圆域内。众所周知，线性系统的瞬时响应与其极点的位置密切相关，只有将闭环系统的极点配置在一个合适的圆域内，就能保证系统具有一定的动态性能和稳态性能9。5.1 问题描述对于已知线性定常系统x=Ax+Bu,y=Cx，我们希望把系统的闭环极点配置在以一个指定的圆形区域中，试设计状态反馈矩阵K，当给定系统的初始条件时，将系统的极点配置在指定圆形区域内。5.2解决方案 引理5.1：设A是任一方阵，当且仅当存在矩阵，使得成
39、立，其中表示矩阵的特征值。对于系统，我们希望寻求一个状态反馈控制 将闭环系统的极点配置在区域D（q，r）内，由该定理不难得出如下推论： 定理：系统在状态反馈（5.1）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域D（q，r）内，当且仅当以下LMI： （5.2）有矩阵解和Y。其中，K为状态反馈增益矩阵。 证明：将式（5.1）中的矩阵A替换成得 整理并引入一个新的变量，可知推论成立。算法步骤：（1）根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域D（q，r）；（2）应用MATLAB工具箱求解推论中的线性矩阵不等式（5.2），得到X和Y；（3）利用公式，求出状态反馈增益矩阵；（4）得出控制律，作用于系统。5
40、.3实例仿真对于已知线性定常系统x=Ax+Bu,y=Cx假设其参数分别为： ，。希望的闭环极点配置在以-2为圆心，半径为2的圆内，试设计状态反馈矩阵K，当系统初始条件为时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。 根据5.2小节中提出的具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计方法，下面利用MATLAB的LMI工具箱为上述系统进行仿真，程序如下：clear all;close all;A=0,1,0;0,0,1;0,-2,-3B=0;0;1;C=1,0,0r=2;q=2;setlmis();X=lmivar(1,length(A),1);Y=lmivar(2,1,3);lmiterm(1,1,1,1
41、,-r,1);lmiterm(1,2,2,1,-r,1);lmiterm(1,1,2,1,A+q*eye(3),1);lmiterm(1,1,2,2,-B,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis);X=dec2mat(lmis,xfeas,1)Y=dec2mat(lmis,xfeas,2)K=Y*inv(X)通过以上程序得出：状态反馈矩阵：K=1.0503 1.3608 0.1784对应的控制律为：各状态下系统的零输入响应曲线如图5-1所示，系统的极点分布如图5-2所示。图5-1变量xii=1,2,3的零输入响应曲线图5-2 系统的极点分布图从图5-2可以看
42、出，闭环系统的极点都位于圆域内。仿真结果验证了设计方法的有效性。结 论本论文是对线性系统状态反馈区域极点配置的研究，首先从单输入和多输入两种情况研究了精确极点配置问题，然后以此为基础,研究了区域极点配置的情况,使得闭环系统的所有极点配置在给定的s平面左侧的区域内和圆形区域内，利用线性矩阵不等式处理方法，并通过仿真分析，验证了设计内容的正确性及可行性。接着本文又对圆域极点配置的情况，采用LMI处理方法，研究了将系统极点配置在一个给定的圆域的相关问题，使所设计达到了希望的要求。综上所述，对于一个理想的控制系统，其极点至关重要，因此将闭环系统的极点配置在指定的区域问题受到了控制界的关注，并且取得了一
43、些成果，作者认为在该领域的研究有着重要的理论和实际意义。参考文献:1 刘满,井元伟,张嗣瀛.区域极点配置问题的研究方法J. 控制与决策，2005:22 刘豹,唐万生.现代控制理论M.北京:机械工业出版社,2006:1933 Siljak，D. D，Stipanovic，D. M. Robust stabilization of nonlinear systems: the LMI approach，Mathemtical Problems in Engineering，vol.6，2000: 461-493. 4 同济大学数学系.工程数学.线性代数M.北京:高等教育出版社,2007.5 施颂椒,陈学中,杜秀华.现代控制理论基础M.北京:高等教育出版社,2009.6 张晓江,黄云志.自动控制系统计算机仿真M.北京:机械工程出版社,2009.7 张德丰. MATLAB控制系统设计与仿真M.北京:电子工业出版社,2009: 251-256.8 胡寿松.自动控制原理M.北京:科学出版社,2007.9 郑大忠.线性系统理论M.北京:清华大学出版社,1990.10 韩京清