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1、装订线求极限的几种方法 摘要：极限一直是数学分析的一个基础内容，而对极限的求法可谓是多种多样，本文通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法，主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法： 利用两个准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用导数的定义求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用级数收敛的必要条件求极限、利用单侧极限求极限、利用函数的连续性求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用中值定理求极限、利用洛必达法则求极限、利用定积分求和式的极限、利用泰勒展开式求极限、利用换元法求极限.关键词：夹逼准则；单调有界准则；函数的连续性；无穷小量的性质；洛必达法则；微分中值定理；
2、定积分；泰勒展开式一、引言：极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载.例如，3世纪中国数学家刘徽的割圆术就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的.随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出.但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑.直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，数学分析中的基本概念都可以用极限来描述.在几乎所有的数学分析著作中，都是先
3、介绍函数理论和极限的思想方法, 然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.极限的思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法.数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题( 例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题) , 正是由于它采用了极限的思想方法.极限是研究数学分析的重要工具，学好极限要从以下两个方面着手，1：考察所给函数是否存在极限.2：若函数存在极限，则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述.二、极限的求法：2.1：利
4、用两个准则求极限.1、函数极限的迫敛性（夹逼法则）：已知为三个数列，且满足： （1） （2），则极限一定存在，且极限值也是，即.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得.例1：求： 解：易见： 因为 ， 所以由准则1得：2、单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.例1：证明下列数列的极限存在，并求极限. 证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的.用归纳法可证. 因为 所以得.因为前面证明是单调增加的. 两端除以得 因为则,从而 ， 即是有界的.根
5、据定理有极限，而且极限唯一. 令 则 则 因为解方程得 所以 2.2: 利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若, (1)(2)(3)若 B0则： (4)（c为常数）上述性质对于总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先对函数施行各种恒等变形.例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子、分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项等.例: 求下列极限(1) (2) (3) (4)解：(1) (2)= (3) (4) 2.3: 利用导数的定义求极限
6、导数的定义：函数在附近有定义，则，若极限存在，则称此极限值就是函数在点处的导数，记为，.在这种方法的运用过程中，首先要选好然后把所求极限表示成在定点处的导数.例: 求解: 2.4: 利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式： 但我们经常使用的是它们的变形：在这一类题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式. 例4: 求下列极限 (1) (2)解: (1) 所以 (2)2.5：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件:若级数收敛,则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限.例2: 求解: ， 由比值判别法知收敛，由必要条件知.2.6：利用单侧极限求
7、极限形如:(1)求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于0的极限.(2)求含取整函数的函数极限. (3)求分段函数在分段点处的极限. (4)求含偶次方根的函数以及含或的函数趋向无穷的极限.这种方法还能用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极 限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在.例: 已知 ,解： 所以2.7：利用函数的连续性求极限即：这种方法适用于求复合函数的极限.连续，那么复合函数在点连续.即，也就是说,极限号可以与符号互换顺序. 例: 求解： 所以 2.8: 利用无穷小量的性质求极限： 无穷小量的性质:无穷小量与有界量的乘积还是
8、无穷小量.,在某区间 那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题.例: 解：2.9：利用等价无穷小量代换求极限： 定理1 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）.定理2 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：说明: 当上面每个函数中的自变量换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如: 当时，定理3 如果函数都是时的无穷小，且，则当存在时，也存在且等于，即=.等价无穷小量：当时，称是等价无穷小量，记为.在求极限过程中，这样做:例：求解: 因为， 所以，原式2.10：利用中值定理求极限： 1、微分中值定理：则在内至少存在一点，使
9、例2：求 解： 2、积分中值定理：设函数在闭区间上连续；在上不变号且可积，则在 上至少有一点使得 例: 求 解: 2.11: 利用洛必达法则求极限：定理4 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足： （1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在，且等于，即=.说明：定理4称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用.特别要注意以下几点： 1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导. 2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数. 3、要及
10、时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不 是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误. 4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用 另外方法.例1: (1)求(2)求 解: (1)，所以上述极限是待定型 (2)为型 由对数恒等式可得 ， ，2.12: 利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数.把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.例：求解：由于 可取函数区间为上述和式恰好是在上等分的积分和.所以： 2.13：利用泰勒展开式求极限：在用泰勒展开式求极限时首先要清楚泰勒定理成立的条
11、件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式.实际上，泰勒公式在证明、计算极限等方面有着广泛而独到的应用.泰勒展开式：若 那么: 例1： 解：泰勒展开式： 于是 所以2.14: 利用换元法求极限： 形如例3: 求 解: 结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 并且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明, 并以实例加以例解, 从而使大家深刻理解极限的概念，熟练掌握求极限的方法.由于本文对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解, 使方法更具针对性、技巧性.但在实际学习中很多题是综合运用多种方法求解的，所以求极限时，首先观察数列或函数的形式，选择适当方法，只有方法
12、得当，才能准确、快速、灵活的求解极限. 致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是在 教授全面、具体的指导之下进行的. 从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，他都费尽心血. 教授渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘. 老师严谨的治学态度和一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作. 在此，谨向导师 教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时还要感谢一直关心支持我的家人对我的教诲、帮助和鼓励.感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆.参考文献1
13、陈传璋，金福临.数学分析(上下册)第二版M.北京:高等教育出版社,1983.2蔡子华.2011考研数学复习大全(经济类)M.北京:原子能出版社,2010.3朱定符.用换元法求不定式的极限J.中等数学,1987(05):38.4李小光.求极限的若干技巧J.西安航空技术高等专科学校学报,2002,20(1):42-44.5陈凌.两类数列极限的求法J.科技创新导报,2010(28):255-256.6李鸿鹏.浅谈求极限的几种计算方法J.科技创新导报,2008(21):155-158.7李学武.数列极限的求解方法J.高中数学教与学,2006(12):22-24.8王莲招.求极限的方法J.数学学习与研究
14、,2010(15):89-92.9杨建荣.谈求极限的主要方法J.科技信息,2007(30):553-561.10王烂漫.高等数学中求极限的常用方法J.湖南工程学院学报,2002,12(3):72-76.11齐秋菊.浅析求极限的几种方法J.高校理科研究,2009(10):62.12徐荣贵.求极限的方法和技巧J.四川工程职业技术学院学报,2006(1):24-29. Several methods for limitAbstract：Limit has been one of the basic content of mathematical analysis，while the series t
15、o Limit can be described as diverse, and concluded by induction, we set out the requirements of some commonly used method. This paper summarizes fourteen methods of limit in mathematical analysis: Limit of using two criteria、the use of arithmetic nature of the limits of the Limit、Using the definitio
16、n of derivative of the Limit、Using a single side of the limit of limit、Convergence of the necessary conditions using the Limit、Limit use of two important limit of the Formula、Using the continuity of functions of limit、the nature of the use of limit infinitesimals、Substitution of equivalent limit Inf
17、initesimal、Using the value theorem of limit、Using the Limit Hospitals Rule、the use of the definite integral summation type limit、Limit of using the Taylor expansion、the use of Method substitution limit. Keywords：Squeeze guidelines；criteria for bounded monotone function continuity；the nature of infinitesimals；Hospitals Rule；Mean Value Theorem；definite integral；the Taylor expansion第 13 页 共 13 页