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1、陕西理工学院毕业论文毕 业 论 文 题 目 对称矩阵的主子矩阵及其性质 学生姓名 学号 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业(师范类)11级2班 指导教师 2015 年 6 月 12日对称矩阵的主子矩阵及其性质（陕西理工学院 数学与计算机科学学院 数教1102班，陕西 汉中 723101）指导教师 摘 要：本文总结了对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质, 探讨了对称矩阵的主子矩阵的特征值与原矩阵的关系, 通过实例说明了主子矩阵的主子式的应用 关键词：对称矩阵;主子矩阵;特征值;主子式Principal submatrix and its properties of sy
2、mmetric matrixWangQiang(Grade02 Class2011 School of mathematics and computer science Shaanxi University of Technology Hanzhong 723001 Shaanxi)Tutor: Fang-an Deng Abstract：This paper is divided into four parts and discusses some important properties of symmetry matrices, including some basic properti
3、es of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, eigenvalue, eigenvector , positive definiteness of symmetry matrices and etc. Key words：Symmetric matrix；Master matrix；eigenvalue；principal minor.1.引言矩阵在数学的许多分支中经常用到，比如线性方程组、 二次型都可以归结为有关矩阵某些方面的研究，有些完全不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。而对称矩阵的主子矩阵作为特殊的矩阵无论
4、在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要意义。那么对称矩阵的主子矩阵有什么特殊性质，又有那些实际应用呢？这就是本文的主要内容2.预备知识2.1 主子矩阵定义 以矩阵对角线元为其对角线元的子矩阵，从1阶到阶.例 1设对称矩阵矩阵为 ，则矩阵的一阶主子矩阵为,二阶主子矩阵为,三阶主子矩阵为:.2.2 主子矩阵的性质由主子矩阵定义可知，对称矩阵的主子矩阵还是对称矩阵,所以对称矩阵的主子矩阵和对称矩阵有着相同的性质.定义2.2.1 若矩阵=() (其中C),满足=，则称为对称矩阵 由定义知: (1) 对称矩阵一定是方阵，并且它的元素满足=，因而对称矩阵形如 .(2) 对角矩阵和数量矩阵都是对称矩阵
5、定义2.2.2 若对称矩阵的每一个元素都是实数，则称为实对称矩阵.定义2.2.3 若矩阵满足，则称为反对称矩阵.由定义知：(1) 反对称矩阵一定是方阵.(2) 反对称矩阵的元素满足，当时，对角线上的元素都为零.形如的矩阵一定是反对称矩阵. (3)零矩阵是特殊的反对称矩阵 下面就对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质展开讨论. 性质2.2.1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 证明 设、是阶对称矩阵，即,.则，. 性质2.2.2 设为阶方阵，则，是对称矩阵. 证明 因为，则是对称矩阵.因为，则是对称矩阵，同理可证也是对称矩阵. 性质2.2.3 设为阶对称矩阵（反对称矩阵），若可逆，则是对称矩阵
6、（反对称矩阵）. 证明 （1）因为可逆，所以是对称矩阵. （2）因为可逆，则是对称矩阵. 性质2.2.4 对任意n阶方阵必能分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和 证明 设A是任意n阶方阵，则=+,=（）,由性质1得 与分别为对称矩阵与反对称矩阵而=+, 因此，可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和注意：此性质为矩阵的对称分解，对任意n阶方阵可利用此性质分解为=+,其中 =，=分别为对称矩阵与反对称矩阵由此命题的证明过程可得以下推论 . 推论 任意方阵与其转置之和为对称矩阵，之差为反对称矩阵 性质2.2.5 对n阶反对称矩阵，若n为奇数，则|=0. 证明 设为n阶反对称矩阵，因此，=，则|=
7、|=|，又|=|，所以|=|，当n为奇数时, 有|=|=|，故|=0. 推论 一个n阶反对称矩阵可逆的必要条件是n为偶数注：n为偶数是n阶反对称矩阵可逆的必要条件而非充分条件，例如零矩阵是反对称矩阵，其行列式为零，因而是不可逆的，特别地，当n为偶数时，是不可逆的3.插值关系引理3.18，10 （Cauchy-poincar）设为阶实对称矩阵,为整数,是的阶主子矩阵，则 这就是著名的Cauchy-poincar定理，简称柯西插值定理或交错分布定理.定义3.2 11 设为实对称矩阵，将其行列作相同的划分，其每一块子块的平均行和作为元素按其子块的位置顺序构成的矩阵称为的商矩阵.例2 设1,2,n的一
8、个划分为，其中，考虑阶实对称矩,在该划分下的分块矩阵为,其中是阶子块.令是中所有元素之和，则M的商矩阵为.引理3.311 设是实对称分块矩阵的一个商矩阵，则 引理3.411 设为阶矩阵，满足为单位矩阵，并设A为n阶方阵，,则, 注：Cauchy-poincar定理和引理3.3都可以由引理3.4推导出来，见11.4.主子矩阵的应用4.1插值形式及推广设为元实数组，将中的元素按非增顺序重新排列所得到的实数组记为，即此时有. 定义4.1.1 设为两个实数组，其中. 称柯西嵌入到，如果， 这里所说的柯西嵌入就是上面谈到的柯西插值，为方便起见，一下假设所有的元组均为非增实数组.下面将柯西嵌入的形式做一些
9、推广. 定义4.1.2 设为两个实数组，其中，,均为非负整数，称（,）-嵌入到,如果，其中时，时. 显然，定义4.1.2中的柯西-嵌入即为-嵌入.当时，-嵌入到，简称为-嵌入到.若此时，则有一个非常有趣的现象，实际上等价于（其中时，时）.从而当时，-嵌入到当且仅当-嵌入到.因此我们总是说与-相互嵌入，或者说，是-相互嵌入的.4.2 主子矩阵的应用由上述内容可知，实对称矩阵的特征值与它的主子矩阵的特征值两者之间存在着紧密的联系，它直接给出了图与其诱导子图的邻接谱之间的插值性质，在图谱研究中，特征值的插值不等式是一个非常有用的工具，可以用它们对图的许多参数作出估计.定理4.2.1 （重分邻嵌入）设
10、图的顶点集为,且.若图是通过上的重分邻变换得到，则和的谱、和的谱以及和的谱均是-相互嵌入的.对于两个阶实对称矩阵，若有一个阶主子矩阵刚好等于的某个主子矩阵，则使用Cauchy-poincar插值定理两次，我们就能得到的谱是-相互嵌入的.显然定理4.2.1中的每个矩阵都有公共的阶主子矩阵（对应于顶点集)所以这三对矩阵的谱是-相互嵌入的.然而，定理4.2.1给出了更强的嵌入形式，即-相互嵌入。下面我们来证明定理4.2.1（重分邻嵌入）证明 图是由图通过顶点子集上的重分邻变换得到，且，于是 (4.1.1) , (4.1.2） (4.1.3) (a) 对于邻接矩阵和 根据(4.1.1)和(4.1.2）
11、，我们可以给顶点重新标号，使得,且.(4.1.4)注意到的行分别是相对应的对角元素，所以从(4.1.4)式中可以看出的行和均为0.另外由(4.1.2）式可知,这意味着,即.因此和的谱是相互嵌入的.(b) 对于拉普拉斯矩阵和显然，且,(4.1.5)其中以及就是(4.1.4)式中相应的矩阵，所以的行和依然为0.进一步，由知，.因此和也是相互嵌入的.（c）对于规范拉普拉斯矩阵和取，易知.由前面可知,从而.又的行和均为0，所以由(4.1.4)和(4.1.5)式，有,(4.1.6)若在中有孤立顶点，则在中也有孤立顶点.设是和的一个公共孤立顶点，令，则，则图可视作图通过上的重分邻变换得到.不难看出，和是相
12、互嵌入的当且仅当和是相互嵌入的. 5.主子式的应用 5.1 主子式在判定矩阵正定性方面的应用定义5.1.1 子式称为矩阵的顺序主子式.定理5.1.2 实二次型或矩阵是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全大于零.证明 必要性：设二次型是正定的.对于每个，令.我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数，有.因此是正定的.由上面的推论，的矩阵的行列式，.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.充分性：对作数学归纳法，当时，由条件显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立，现在来证元的情形.令，于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式也全大于零.由归纳法假
13、定，是正定矩阵，换句话说，有可逆的级矩阵使，这里代表级单位矩阵.令，于是.再令，有.令，就有.两边取行列式，.由条件，因此.显然.这就是说，矩阵与单位矩阵合同，因之，是正定矩阵，或者说，二次型是正定的.根据归纳法原理，充分性得证.应用定理5.1.2完成下题.例2 若二次型正定，则的取值范围是什么？解 设对应的矩阵为，则，它的三个顺序主子式为，.所以当时，即时，为正定二次型.5.2 主子式在矩阵三角分解方面的应用5.2.1 矩阵的三角分解基本概念与定理 定义5.2.2 设,如果存在下三角矩阵和上三角矩阵, 使得, 则称可作三角分解或分解. 定理5.2.3 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,这
14、里为的阶顺序主子阵, 以下同. 证明 必要性. 设非奇异矩阵有三角分解, 将其写成分块形式 这里, 和分别为, 和的阶顺序主子阵. 首先由知, , 从而,; 因此. 充分性. 对阶数作数学归纳法. 当n=1时, =（）=（1）（）,结论成立. 设对结论成立, 即, 其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵. 若,则由=易知和可逆. 现证当时结论也成立, 事实上. 由归纳法原理知A可作三角分解. 定理 5.2.3 给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件, 由于不满足定理5.2.3的条件, 所以它不能作三角分解. 但. 上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足条件. 一个方阵的三角分解不是唯一的
15、。从上面定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解,其实,方阵的三角分解有无穷多, 这是因为如果是行列式不为零的任意对角矩阵, 有,其中也分别是下、上三角矩阵, 从而也使A的一个三角分解. 因的任意性, 所以三角分解不唯一. 这就是的分解式不唯一性问题, 需规范化三角分解. 定理 5.2.4 （基本定理）设为阶方阵,则可以唯一地分解为 (1.1)的充分必要条件是的前个顺序主子式. 其中,分别是单位下、上三角矩阵, 是对角矩阵, .证明 充分性. 若, 则由定理1.1, 即实现一个杜利特分解, 其中为单位下三角矩阵, 为上三角矩阵,记=,因为. 下面分两种情况讨论：1) 若非奇异,由
16、式(1)有=, 所以, 这时令, 则. 于是有 (1.2)是的一个分解. 2)若奇异,则,此时令, , =,则=,因此不论哪种情况, 只要, 总存在一个分解式(1.1), ,. 再证这个分解是唯一的, 仍分两种情况讨论：1) 当非奇异时,有, , , , 所以、均非奇异. 若还存在另一个分解, 这里, , 也非奇异, 于是有 (1.3)上式两端左乘以以及右乘以和, 得 , (1.4)但式(1.4)左端是单位下三角矩阵, 右端是单位上三角矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此, ,即,. 由后一个等式类似地可得, ,即有, . 2) 若奇异, 则式(1.3)可写成分块形式,其中, 是阶单位下三角阵;
17、 , 是阶上三角阵; , 是阶对角阵; , , , 是维列向量. 由此得出,其中, , 和, , 均非奇异, 类似于前面的推理, 可得, , , , .必要性. 假定有一个唯一的分解, 写成分块的形式便是 , (1.5)其中, , , 分别是, , , 的阶顺序主子矩阵; , , , 为维列向量. 由式(1.5)有下面的矩阵方程: , (1.6), (1.7) , (1.8). (1.9)否则, 若, 则由式(1.6)有. 于是有, 即奇异. 那么对于非其次线性方程组(1.8)有无穷多非零解, 不妨设有, 使, 而=. 同理, 因奇异, 也奇异, 故有, 使, 或. 取, 则有,这与的分解的唯
18、一性矛盾, 因此. 考察阶顺序主子矩阵由式(1.6)写成分块形式, 同样有. 由于, 所以, 可得,从而. 依此类推可得. 综上所述, 定理证明完毕. 6 结束语本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的主子矩阵的基本性质，给出了对称矩阵主子矩阵的特征值和原矩阵的特征值之间的插值关系，并阐述了此种关系在图论方面的应用,最后讨论了主子式在判定二次元正定和矩阵三角分解两方面的应用.其中对称矩阵主子矩阵的特征值和原矩阵的特征值之间的插值关系在图论方面的应用以及主子式的应用是重点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的主子矩阵的相关问题.参考文献1 王萼芳，石生明.高等代数M，北京：高等教育
19、出版社（第三版），2003.2 王萼芳.线性代数M. 北京: 清华大学出版社,2000.3 戴立辉.线性代数M. 上海: 同济大学出版社,2007.4 陈公宁.矩阵理论与应用M. 北京: 科学出版设,2007.5 张乃一，曲文萍，刘九兰.线性代数M，天津:天津大学出版社，2000年6月，204236.6 张禾瑞,郝鈵新.高等代数M. 北京: 高等教育出版社,2007.7 许以超.线性代数与矩阵论M. 北京: 高等教育出版社,2008.8 李乔.矩阵论八讲M，上海:上海科学出版社，1988.9 Johns on CR. Rahon. Matrix AnalysisM. New York: Cam
20、bridge University Press,1985.10 R.A.Horn and C.R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge,1985.11W.H.Haemers. Interlacing Eigenvalues and GraphsJ. Linear Algebra Appl. , 227-228(1995)593-616 致 谢 大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多. 首先诚挚的感谢我的论文指导老师邓方安教授,他在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文.在我的毕业论文学习写作过程中，我得到了邓教授的精心指导.他的治学态度、教学风格使我获得了多方面的知识，综合提高了自己的能力，尤其是他的研究精神让我深受感动，这对我的影响和教育将使我受益终身.还要感谢教过我的所有老师们,你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我生活、学习中的榜样,你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢培养教育我的陕西理工学院学院,浓浓的学术氛围,舒适的学习环境我将终身难忘!最后祝母校蒸蒸日上,勇创辉煌!祝各位恩师身体健康,家庭幸福!第 15 页 共 15 页