毕业设计（论文）-浅谈置换群的性质与应用.doc

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1、重庆科技学院 毕业设计（论文）题 目 浅谈置换群的性质与应用 学 院 数理学院 专业班级 应数普08-2 指导教师 席高文 职称 教授 评阅教师 职称 2012年 5月 23 日注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题

2、报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文

3、）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日重庆科技学院本科生毕业设计 摘要摘 要本文旨在基于群的基本理论，如群的概念和分类、子群、单群等，研究置换群在群论中的基本性质，特别包括置换、对换、转换与置换群的相互关系等性质，进而推导出置换群的生成方法、轨道计算、型的研究、子群的性质这些重

4、要结论。特别地，作者通过研究对对称群和交错群的二元生成问题提出了某些新的结论，并对已有结论推导出了简易证明方法。最后，作者通过研究置换群在解决对称问题、不动点问题的应用实例，结合生活，提出置换群及其性质在解决实际问题上新的应用方法和更广泛的适用范围。关键词：置换群 二元生成 轨道 单群 对称II重庆科技学院本科生毕业设计 ABSTRACTABSTRACTThis article aims to be based on the basic theory of groups, such as the basic nature of the concept and classification of

5、 the group, subgroup, single group, the study of permutation groups in group theory, including the exchange, conversion, replacement and to define its own nature and the permutation group links characteristics, and thus derive the permutation group generated orbital calculations, the type of researc

6、h, the nature of the subgroups of these important conclusions. In particular, by studying the symmetric group and the alternating group, some new conclusions and has been the conclusion deduced a simple method of proof. Finally, through the study of permutation groups in solving the symmetric proble

7、m, fixed point problem of the application examples, combined with the life of the permutation group and its nature in the new applications to solve practical problems and the wider scope of application.Keywords: permutation groups；element generation；orbital；single group；symmetry重庆科技学院本科生毕业设计 目录目 录摘

8、要IABSTRACTII1 引言11.1 问题的提出11.2 置换群的历史回顾12 预备知识42.1 基本概念42.1.1 群的概念42.1.2 相关基本定义42.1.3 特殊的群62.1.4 置换群特例：对称群和交错群72.2 基本性质73 置换群的性质93.1 置换群的生成方法93.1.1 对称群的二元生成93.1.2 交换群的二元生成103.1.4 结论113.2 置换群的轨道问题123.3 置换群的型153.4 置换群的子群164 置换群的应用184.1 置换群在对称上的应用184.1.1 对称研究的历史184.1.2 几何对称184.1.3 代数对称214.2 置换群不动点性质的应用

9、235 总结255.1 结论255.2 不足之处与展望25参考文献26致 谢27重庆科技学院本科毕业设计 1 引言1 引言1.1 问题的提出置换群是变换群的一种特例，在代数里占一个很重要的地位。置换群的研究在群论历史上无疑是里程碑式的。正是利用置换群，Galois成功地解决了代数方程时候可以由根式求解的问题。有限群的研究是从置换群开始的，每一个有限群都与一个置换群同构。因此从代数结构的观点来看，而这似乎是没有区别的，然而有种种理由说明有必要对置换群进行特殊的研究。首先，由于置换群有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得在这种群里的计算比较简单。其次，置换群理论中有一些起重要作

10、用的概念（如不动点和传递性），在抽象群的理论中是没有的，在每一个置换群中，某些子群可以自然而然地被区别出来。最后，置换群不仅在数学的理论中扮演着重要的角色，也是研究几何体的对称，晶体的结构等应用数学领域所不可缺少的工具。今天，置换群已不仅在数学上，而且在物理、化学、计算机科学上都有着广泛的应用，甚至在美学和艺术领域，日益发挥着它巨大的作用。1.2 置换群的历史回顾群论的产生最早源于对代数方程求根的研究。一元二次方程的代数解法早在公元前20000年就为古巴比伦人所知道。一般三次和四次方程的求根公式也在十六世界为意大利的数学家费罗（S.Ferro,1465-1526）、塔塔利亚（Fontana,1

11、499-1557）、卡尔丹（G.Cardano,1501-1576）和费拉里（L.Ferrari）先后获得。在随后的近300年间，数学家们希望能找到五次或更高乘此的方程的求根公式，但都徒劳无功。直到1770年，拉格朗日才第一个宣布“不可能用根式解四次以上方程”。他以置换为研究“工具”，以解代数方程为“目的”，使人们的代数思维方式发生了转变，把以方程根的计算为主的研究转到方程根的置换性质的研究。群论产生的初期主要受拉格朗日思想方法的影响，但他却没能证明“四次以上方程没有根式解”这个论断。1799年，鲁菲尼在专著方程的一般理论中给出了一个证明，对置换群尽心了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概

12、念，得到了高于四次的一般方程的不可解性。并强调置换本身的研究。但他的证明是不完整的。沿着这种趋向，在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西以置换理论为研究“目的”，使其成为一门独立的研究领域，并实现了向置换群论的转变。1815年，柯西发表了关于置换群的重要文章。他以方程论为背景，证明了不存在n个字母（n次）的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被法国青年数学家伽罗瓦和挪威数学家阿贝尔彻底解决，从而推动了数学的发展，更为重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新

13、的概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用。也因此可以说，阿贝尔与伽罗瓦是群论与抽象代数的创始人。利用置换群，伽罗瓦使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他引进了正规子群、两个群同构、单群与合成群等概念，成功的解决了代数方程是否可用根式求解的问题。然而，这种新的思维方式当时并未引起人们足够的重视。直到1846年刘维尔出版了伽罗瓦的手稿，他的这种思想方法才逐渐被接受，并产生了重要的影响。柯西在1844-1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限置换群，如果它的阶

14、可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在子母交换下所能取得形式值（即非数字值），并找出一个函数，使其取给定数目的值。置换群的理论（主要指伽罗瓦的工作）在1870年由若尔当整理在他的置换与代数方程之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。伽罗瓦在这方面的工作现已经发展成为代数学中一种专门的理论伽罗瓦理论。在几乎整整一个世纪，伽罗瓦的思想对代数学的发展期了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的子同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。

15、伽罗瓦发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。当中已在许多方面取得了有意义和重要的成就，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。华罗庚先生于1930年12月出版的科学15卷2期上发表文章苏家驹之代数的五次方程式不能成立之理由而得到熊庆来推荐称为清华大学数学系的助理员，由此为起点而打开了通往抽象数学研究的大门。综合看来，置换群论研究起源于代数方程论的研究，代数思维方式的转变是其产生与发展的重要原因。虽然起步较晚，但是发展迅速。通过“数计算”

16、的研究向“符号结构”观念的研究的转变，为置换群论在解决实际问题上的应用的推广起到了非常关键的一步10。3重庆科技学院本科毕业设计 2 预备知识2 预备知识2.1 基本概念 2.1.1 群的概念定义 我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群1，假如(1)G对于这个乘法来说是闭的；(2)结合律成立：对于G的任意元a，b，c都对；(3)G里至少存在一个左单位元e，能让对于G的任何元a都成立；(4)对于G的每一个元a，在G里至少存在一个左逆元，能让 2.1.2 相关基本定义排列与置换是代数学中两个重要概念，在很多科学领域，比如计算机科学、应用数学以及概率统计中有广泛的应用。在计算

17、机科学中，排列与置换常用于算法分析，比如在插入排序、选择排序、气泡排序等许多基本的排序算法中排列与置换起着重要作用。而在置换群中我们可以找到与之相对应的概念，从而更容易通过研究得到相关的结论。定义1 设M=1,2，n，我们以表示集合M的一个s-轮换，即把变到，变到，变到，而把M中其余元素保持不变的置换。并称2-轮换为对换17。排列的奇偶性是定义行列式的概念时不可缺少的，在计算行列式或算法分析时也常用到排列的奇偶性。而置换的奇偶性是研究置换群的一个重要工具。定义2 奇数个对换之积叫做奇置换，偶数个对换之积叫做偶置换。奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有个19。定义3 设H是群G的一个子群，H

18、在G中的全体左（右）陪集组成的集合的基数，叫做H在G中的指数，记做5。定义4 G是一个群，X是一个非空集合。G中每个元素g都对应X的一个映射：，若满足法则：（1）；（2）；其中是G的单位元，则称群G作用在集合X上。G作用于X上的充分必要条件是，G同态于X上的一个置换群4。定义5 G是一个群，取。对任意的，规定，称为X在群G上的共轭变换。元素称为x的共轭元。定义 又对任意的，有（1）；（2）。所以共轭变换定义了群G在集合G 上的一个作用，称为共轭作用13。定义6 设群G作用在集合X上，。称X的子集为x在G下的轨道。如果X本身是一个轨道，则称群G在集合X上的作用是传递的2。定义7 设群G共轭作用于

19、其自身，。易知，而所以由所有与x共轭的元素组成，由所有与x可交换的元素组成。通常称为x所在的共轭类，称为x的中心化子，记做。并且有2。定义8 设群G作用在集合X上，。（1）如果，则称x为g的一个不动点。g的全部不动点的集合称为g的不动点集，记做。（2）如果对任意的，都有，则称x为G的一个不动点。G的全部不动点的集合称为G的不动点集，记做5。定义9 现在研究中元素的共轭分类。设，设将（唯一地）表示成没有公共元素的轮换之积。如果其中长为r的轮换共有个，其中。则称置换的型为。例：中的置换的型为9。当时，即中没有长为的轮换，可略去。则例子里面的型为。 2.1.3 特殊的群定义1 G的一个非空子群U称为

20、G的一个子群，如果U对于G的乘法是一个群。等价于，对所有的，和都在U中。把U是G的子群记为。进一步，如果，那么称U称为G的真子群，记为1。定义2 集合M=1,2，n到自身的一个一一对应称为一个n阶置换，简称为置换，记为。其中分别是1,2,n的象。一个特殊的置换称为单位置换，它使每个象与原象相等。一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群。两个置换的乘积定义为M到M上映射的合成，即若、分别是M上的两个置换，则置换定义为：，1。定义3 设群G作用在集合X上，。称为x在G中的稳定子。因为为G的一个子群。所以也称为x的稳定子群。如果，并设（为恒等置换），那么2。定义4 设G是一个群，H是群G的

21、子群，如果对每个。都有，则称H是群G的一个正规子群或不变子群，记做12。如果多每一个元素都恰存在一个使，那么称G在X上的作用是正则的。如果N是G的正则作用在X上的正规子群，那么N称作G的正则正规子群7。定义5 群G的单位元子群和群G本身都是G的正规子群，这两个正规子群称为G的平凡正规子群，如果G只有平凡的正规子群的群，且，则称G为单群5。 2.1.4 置换群特例：对称群和交错群定义1 一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群2，用来表示。定义2 n个元素的集合M=1,2，n的全体偶置换组成的一个子群叫做n次交错群2，用表示，并且2.2 基本性质定理1 每一个置换可表示成互不相交的轮

22、换的乘积，且若不计次序，分解是唯一的9。证明：，1）可以表示成互不相交的轮换之积。归纳证明。2）唯一性。假设，。令，。任取，证明使得，从而。同理。9定理2 每一个置换都可以表示成一些对换的乘积：1。证明：（数学归纳法）1）s=3时，；2）假设当s=k时命题成立，即；3）当s=k+1时，。综上，命题得证。定理3 同一置换的不同分解式中对换的奇偶性是确定的。当s为奇数，是偶置换；当s为偶数，是奇置换19。定理4 若，则9。证明：设不在中出现，则不在中出现，因此。因此不改变以外的文字。由于对成立且命题成立。定理5 长为s的轮换的阶数为s3。证明：对轮换中的任意元，其中m=1,2,s-1，有，。因此经

23、过s-m次变换变为，再变换一次变为，最后再经过m-1次变换变为，即经过s次变换把任意变回，所以长为s的轮换的阶数为s。定理6 设任意长为n的置换，有。证明：由定理5，得到。所以。命题得证。9重庆科技学院本科毕业设计 3 置换群性质的推广3 置换群的性质3.1 置换群的生成方法关于群的二元生成的研究，最早追溯到六十年代，其中特别提到steinberg的工作，岁后，有缘有限典型群的二元生成，成了人们工作的重点。高有、游宏的文标志着有限典型群的二元生成的研究基本结束。由于置换群与典型群在群论中具有同等重要的地位，这是我们考虑置换群的二元生成问题，特别是对称群和交换群的二元生成问题。 3.1.1 对称

24、群的二元生成定理1 当时，可由，这n-1个对换生成3。证明：（数学归纳法）1）n=3时，；2）假设当n=k时命题成立，即；3）当n=k+1时，。综上，命题得证。定理2 当时，可由，这n-1个对换生成3。证明：由定理1，只需证明任意对换可由对换表示，其中a=1,2,n-1；k=2,3,n。由知命题成立。定理3 设任意长为n的轮换，对换，其中。当时，和是置换群的生成元。证明：（数学归纳法）设是由和生成的的子群。1）n=2时，验证，命题成立。2）假设n=k时成立，即。3）当n=k+1时，证明。因为由2）知、生成。因此，且。而由定理一知，是的生成元，故。命题得证。定理4 设任意长为n的轮换，对换，其中

25、。当时，和是置换群的生成元。证明：由定理2，任意中置换可分解为对换的乘积。又因为，所以。命题得证。 3.1.2 交换群的二元生成定理1 当时，全体长为3的轮换形成的一个生成元系2。证明：设是偶置换，则是偶数个对换之积。从而只需证任意两个对换之积可用长为3的轮换表示即可。对于，其中，。如果，则。如果，则。如果i，j，r，s两两不等，则。命题得证。定理2 当时，可由，这n-2个3-轮换生成3。证明：由于是由全体长为3的轮换生成的。只需证明任意一个3-轮换可由3-轮换生成。因为，只需考虑以下三种情况：1）若i，j，k中有1和2，则；2）若i，j，k中只有1或2，不妨设只有1，则；3）若i，j，k中无

26、1和2，则。综上，命题得证。定理3 当时，可由，这n-2个3-轮换生成3。证明：由定理2，只需证明任意对换可由对换表示，其中a=1,2,n-2；k=3,4,n。由知命题成立。定理4 设任意长为n的轮换，3-轮换。当时，和是交错群的生成元13。证明：由2.1.2 定理4知，。又由定理3，是由3-轮换生成。命题得证。 3.1.4 结论由于置换群具有表示抽象结构的功能，我们可以把以上结论推广到一般，不再局限于集合中的“数”，而更多的关注集合中各元素的“结构”，从而得到以下结论。结论一 当时，可由，这n-1个对换生成，其中是1,2,n的一个排列。结论二 当时，可由，这n-1个对换生成，其中是1,2,n

27、的一个排列。结论三 设任意长为n的轮换，对换，其中，是1,2,n的一个排列。当时，和是置换群的生成元。结论四 设任意长为n的轮换，对换，其中，是1,2,n的一个排列。当时，和是置换群的生成元。结论五 当时，可由，这n-2个3-轮换生成，其中是1,2,n的一个排列。结论六 当时，可由，这n-2个3-轮换生成，其中是1,2,n的一个排列。结论七 设任意长为n的轮换，3-轮换，其中，是1,2,n的一个排列。当时，和是交错群的生成元。3.2 置换群的轨道问题定理1 设H是群G的一个子群，那么，aH与H之间存在一个一一映射8。证明： 作映射，显然是满射。设，则有，则是单射。所以是一一映射，故有。命题得证

28、。定理2（Lagrange 定理）设G是有限群，H是G的子群，则8。证明：因为G是有限群，H在G中的左陪集个数必有限，假设G关于H的左陪集分解为，其中。由定理1得到，又因为左陪集分解中的各个左陪集两两不相交，因此。命题得证。定理3 设群G作用在集合X上，则（1）对任意的，与或者完全相同，或者没有公共元素；（2）X是一些不同轨道的并，其中，x取遍不同轨道的代表元素；（3）如果X为有限集，则其中，是不同轨道的代表元素8。证明：（1）设。任取，则存在，使。所以有，由此得到。同理可证。所以。（2）因为对任意的，有，所以。在上式中去掉重复的轨道，则由（1）得到结论。（3）设为全部不同的轨道，则，因为（）

29、，所以。综上，命题得证。定理4 设群G作用在集合X上，。则为到的一一对应8。证明：（1）如果，则，所以，从而。由此得到是到的映射。（2）对任意，有，使得所以是到的满射。（3）设。如果，即，则，所以，由此得到，所以是到的单射。综上，得到是到的一一映射。命题得证。由此定理我们得到，当G为有限群是，每个轨道仅有有限个元素，且。定理5 设有限群G作用在有限集合X上，。则（1）（轨道公式）；（2），其中取遍不同轨道的代表元素。14证明：根据定理4得到。定理6（伯恩赛德（Burnside）引理） 设有限群G作用在有限集合X上，n表示X在G的作用下的轨道数。则，其中，表示g的不动点的个数8。证明：对任意的，

30、定义由定义知，。则如果，则，从而。所以，如果为n个轨道的代表元素，则。由此得。命题得证。3.3 置换群的型定理 对称群中连个置换共轭的充要条件是它们有相同的型9。证明：设和是中两个置换。如果和共轭，则存在使得，将表示成无公共元素的轮换之积：。则。这是因为即当把a变成b时，把变成，于是和有同样的型。现在设和有同样的型：，。令，则。命题得证。例 求的所有共轭元素类。以表示中型为的全部置换（）组成的共轭元素类9。答：3.4 置换群的子群定理1 当时，交错群是单群4。证明：设，我们分几步证明。1）N中必包含一个元素是长为3的轮换。事实上，设，并且将中尽可能多地元素保持不动。我们证明恰好变动3个，从而必

31、是长为3的轮换。首先，至少变动3个（因为只变动两个的为对换，而对换是积置换不属于）。现在把写成没有公共元素的轮换之积，并且把最长的轮换写在左边。若恰好变动4个，则。由于，从而，而，于是，即是长为3的轮换。若至少变动5个，则又分三种情形考虑：11）包含长度的轮换，即。取，则，而时，从而N中至多变动4个，这与变动个数的极小性矛盾。22）中轮换最大长度为3，则，由于至少变动5个，从而不是长为3的轮换。因此这样的至少变动6个。取，则，而N中置换至多变动5个，这又导致矛盾。33）设是一些对换之积：，它至少变动6个。取，则，而只变动4个，矛盾。综合上述，可知N中包含元素是长为3的轮换。2）再证：所有长为3

32、的轮换均属于N。由于1）中已证有长为3的轮换属于N。现设是中任意一个长为3的轮换，由于和有同样的型，从而有使。若，则。若，即为奇置换，由于，可知至少固定两个文字，不妨设是和。令，则，于是。而，从而又得到。于是N包含所有长为4的轮换。3）根据3.1.3定理1，全部长为3的轮换生成。因此，即为单群（）。命题得证。定理二 当时，是的唯一非平凡正规子群7。证明：已知。另一方面，设。如果，则，由3.4定理1知。如果N包含奇置换，则，并且。于是。但是，又由定理知为或。若，则，从而。若，则。易证时不可能有2阶正规子群。从而只能或，即是的唯一非平凡正规子群。命题得证。18重庆科技学院本科毕业设计 4 置换群性

33、质的应用4 置换群的应用4.1 置换群在对称上的应用 4.1.1 对称研究的历史自然界中充满了对称的现象。现实世界的种种对称现象总是以某种方式与置换群相联系。置换和置换群很好的刻画了艺术创作和科学研究中的各种对称现象：帮助艺术家设计和创造美妙的图案，物理学家确定晶体的种类，化学家研究分子内部的结构。1962年，物理学家格尔曼和尼曼应用置换群的理论预言，存在着一种被称为-负粒子的新粒子，两年后这个预言在实验室里被证实。根据Cayley定理，每一个有限群都同构于一个置换群。我们可以把置换群理论应用到生活中的各种例子里。粗略的地考察一年东西方数学的发展俩哈斯就会发现，一元n次方程和各种正规图形是人类

34、自古以来共同的研究目标15。 4.1.2 几何对称任何一种集合对称性都可以理解为一种运动，物体通过这种运动保持图形或形状不变。定义 使图形不变形的变到与自身重合的变换称为这个图形的对称变换。一个图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，这个群称为这个图形的对称变换群8。一个图形的对称变换群可以用一个置换群表示。置换群可以很好地反映图形的对称性质，是研究图形对称性质的有力工具。图形的旋转和反射都可以根据轴对称和点对称看作顶点的置换。由此我们得到几何图形的对称变换群。例1 表示梯形对称变换的置换群6。图4.1 等腰梯形为了用置换表示梯形的对称变换，用数字1、2、3、4表示梯形的四个顶点。由图4.1可

35、以看出，梯形的对称变换只有两个：（1）恒等变换；（2）关于直线L的反射。得到表示梯形对称变换的置换群为。例2 表示正方形的对称变换的置换群6。图4.2 正方形由图4.2，正方形的对称变换有两种：（1）绕中点o逆时针旋转90的变换、旋转180的变换、旋转270的变换、旋转360的变换；（2）关于直线L1的反射、关于直线L2的反射、关于直线L3的反射、关于直线L4的反射。得到表示正方形对称变换的置换群：一般的，正n边形（）的对称变换群是的一个子群，记作，称为二面体群。易知，正n边形有n个旋转（包括恒等变换）和n个反射，所以二面体群的阶数是2n。例3 表示正四面体对称变换的置换群8。图4.3 正四面

36、体由图4.3，正四面体的对称变换有三种：（1）恒等变换；（2）绕任一条过顶点及其对面中心点的轴逆时针旋转120，240的变换；（3）绕任一条过正四面体对边中心的轴旋转180的变换。得到表示正四面体对称变换的置换群是四次错群。我们知道总共存在五种正多面体。除了正四面体，还有正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。例4 求立方体对称变换群的阶数8。解：设立方体的六个面按上下、左右、前后依次编号为、。令。立方体的每一个旋转都导致了X的一个变换。这就定义了G在X上的一个作用。由3.2定理五易知，。所以。通过例四的方法，求得这几个正多面体的对称变换群的阶数分别是24、24、60、60，分别是四次对称群

37、和五次交错群。正是这个正十二面体（二十）面体对称群的构造决定了一般五次方程不能用根式表示解的重要定理。 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体图4.4 其它正多面体由此得到结论，一个图形的对称变换群阶数越高，图形的对称程度就越高。我们可以运用置换群来刻画图形的对称性，从而得到他在现实生活中更加广泛的应用。 4.1.3 代数对称对于一元n次方程，简洁解析公式表示方程根的问题可以谁说经历坎坷。人类从研究遗愿线性方程到一元四次方程尽管遇到了各种困难，但最后还是取得了预想的结果。表4.1 从一次方程到四次方程的根表示n方程根公式形式12334四次方程的4个根与线面两个二次方曾的4个根完全相同上式中

38、的是三次方程的任一根然而从一元五次方程开始，尽管一大群最顶尖的一流学者都投入了大量精力和时间，但根的解析表示依然像一道无限高的屏障，岿然不动，拦住了人们的前进道路。挪威天才数学叫阿贝尔19岁就销定决心要攻克一元五次方程根公式表示这一世界难题。阿贝尔的论文论方程的代数解中指出：“代数中最有趣的问题之一是求方程的代数解。因而我们发现几乎所有卓越数学家都涉猎过这一课题。我们能够很容易地得出前四次方程根的一般表示公式。发现了解了这些方程的同意方法，人们相信它也能应用到任意词的方程上。但是，静观拉格朗日和其他杰出数学家进了一切努力，预期的目的都没有达到。”和前辈完全不同，阿贝尔在1825年的论文张明确指

39、出，用代数方法不可能解一般一元五次方程。同时，他还指出这一工作的可能途径：1）找出所有任意给定次数的代数可解方程；2）决定一个已知方程是否代数可解的条件。阿贝尔在这一方面表现出的醉倒革命性创新思想是他给出了一元五次方程代数解的一个否定性结果。这时，与阿贝尔同时代的法国青年伽罗瓦最终圆满的解决了一元五次方程无根式解得问题。6定义 设是数域K上的一个n元多项式。如果集合的一个置换保持多项式不变，则称这个置换为多项式的一个对称变换。易知，多项式的全体对称变换关于变换的合成构成的一个子群，这个群称为多项式的对称变换群8。例1 设是数域K上的一个n元多项式。则多项式的对称变换群等于的成分必要条件是是n元

40、对称多项式8。例2 表示多项式对称变换的置换群8。解：由于多项式的任一置换最多只能将与或与互换。所以多项式的对称变换群G是由与生成的群，即。从而得到表示对称变换的置换群是。由此得到结论，一个多元多项式的置换群阶数越高，这个多元多项式的对称性越强。因此，多元对称多项式是对称性最强的多项式。例3 分解函数17。解：函数对称变换的置换群是。我们可以得到原式中、两两对称，令，原式为零。所以是原函数的一个因子，同理，、也是原式的分解因子。由原式是三次函数，所以至多有三个不同的分解因子。令，展开得到。所以函数的展开式为。4.2 置换群不动点性质的应用例1 今有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各两颗。问，用他们可

41、以穿出多少种不同的手链8？解：设想这六颗珠子置于正六边形的六个顶点上，如果这六颗珠子的排列在某个正六边形的对称变换下变为另一排列，则这两个排列所对应的是同一个手链。如图4.5图4.5 正六边形因此，不同的手链数恰为这六颗珠子的所有可能的排列所组成的集合X在正六边形的对称变换群G的作用下的轨道数。易知，。，其中，为绕正六边形的中心按逆时针方向旋转的旋转，为关于正六边形的对边中线的反射，为关于正六边形的锅中心的对角线的反射。由此可得到表表4.2 各元素不动点数群G的元素不动点数（1）9000666根据3.2定理6得到所以，可以穿成11种不同的手链。27重庆科技学院本科毕业设计 5 总结5 总结5.

42、1 结论基于群的基本理论，总结了置换群在群论中的一些基本性质，进而推导出置换群特别是对称群和交换群的二元生成方法、置换群轨道的计算公式、置换群的子群存在的某些性质等重要结论，从而研究置换群在解决几何对称和代数对称等实际问题中的应用。5.2 不足之处与展望通过论文设计这段时间对抽象代数系统的学习，笔者发现置换群在进行抽象群研究中占有不可忽视的重要地位。由于论文撰写时间紧迫，作者只选取了置换群的部分性质进行研究，并且研究内容的程度并不十分深入。但在研究过程中，特别是对置换群在对称应用上的研究过程中，笔者发现通过对正多边形、正多面体对称变换得到的置换群进行研究，我们可以由此推广的实际生活中，无论是艺术产品的设计，化学粒子、晶体的研究，还是交通运输的合理规划，我们都可以采取相同的办法，通过研究对称变换的到相应的置换群，得到相应的结论。由于篇幅、契机所限，本文未能及时做出相应的研究。故日后还需要进行更加深入的理论研究，拓宽知识面，把数学理论和其他学科综合起来，找到更多的应用范围，从而广泛的解决实际问题。重庆科技学院本科毕业设计 参考文献参考文献1 张禾瑞近世代数基础（修订本）M北京：高等教育出版社，1978.2 吴品三近世代数（修订本）M北京：高等教育出版社，1978.3 冯克勤、李尚志等近世代数引论M北京：中国科学技术大学出版社，2003.