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1、各专业完整优秀毕业论文设计图纸存档编号 赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位 论 文 高考中立体几何的解法探索 教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2014届 专 业 数学与应用数学 学 号 100700079 姓 名 指导教师 完成日期 2014年5月4日 作者声明本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。特此声明。作者专业：数学与应用数学作者学号：100
2、700079作者签名：（手写有效）年 月 日（手填时间）赣南师范学院2014届本科生毕业论文（设计）高考中立体几何的解法探索蓝金玲The solution to the college entrance examination in solid geometry explore Lan Jinling目录 内容摘要 1关 键 词 1Abstract 1Key words11 立体几何在高考中的现状32立体几何在高考中的考点解析4 2.1空间几何体的结构及其三视图和直观图问题4 2.2立体几何求表面积和体积问题4 2.3立体几何中点、线、面位置问题 51. 2.4立体几何中空间角、距离求值问题6
3、2.5向量法在立体几何中的应用 83立体几何考点解法探索10 3.1空间几何体结构解法探索10 3.2 立体几何点线面位置判定方法11 3.3立体几何空间角、空间距离的计算 12 3.4用向量法解立体几何134.总结 15参考文献 16摘 要立体几何高中数学的重点内容，是从中学到大学继续深造学习的必备基础知识.立体几何在高考试卷中主要体现在点与线、点与面、线与线、线与面、面与面之间位置、距离、夹角问题的考查，并且一般都采用一题两解的模式，既可以用综合法解答，又可以用向量法解答.吴厚荣在文献4中发现学生更倾向于选择向量法，而且有部分同学认为向量法是万能的，在遇到用综合法比较好做而用向量法比较难做
4、时往往无从下手.陈雪梅在文5中对位置关系与角的度量的教学效果进行了调查研究认为向量的引入没有加重学生的思维负担.向量法相比综合法可以减少一些复杂的思维和推理过程，提高解题效率，并易为学生接受，但有一些问题通过适当作图运用综合法可以减少像向量法中计算的繁琐，面对不同的问题应该选择出合适的解法.本文就是对于不同类型的立体几何问题归类探索其解法，通过历年高考中立体几何实例找出其解法，探索其解法并归纳总结. 关键词： 高考；立体几何；向量 AbstractSolid geometry, the important content of high school math is to learn from
5、 the university continue to further study the necessary basic knowledge study. Solid geometry in the college entrance examination examination paper mainly embodied in the point and line and point and plane, line and line, line and surface, position, distance, Angle between surface and surface proble
6、m of examination, and generally adopted the solution of a problem, can use synthetic method to solve, and can use the vector method to solve. Wu Hourong found in the literature 4 students tend to choose the vector method, and has a part of the students thought that vector method is universal, to mee
7、t with synthetic method is better to do, but with the vector method is difficult to do often do not know how to start. When Chen Xuemei in paper 5 for the measurement of position and Angle of the teaching effect of the investigation and study feel that the introduction of the vector is no burden of
8、aggravating the minds of students. Compared with the synthetic method can reduce some complex vector method of thinking and reasoning process, improve the efficiency of problem solving, and easy for students to accept, but there are some problems with proper drawing using synthetic method can reduce
9、 as vector method in the calculation of trival, face different issues should choose the appropriate solution. This paper is the problem for different types of solid geometry classification, explore the solution through the calendar year the university entrance exam in solid geometry instance to find
10、 out the solution, and explore the method and generalizations. Key words :The university entrance exam;solid geometry;vector1.立体几何的在高考中的现状从近几年高考试题来看，文理均以选择题、填空题、解答题各一道，共23分.其考小题推陈出新，考查的重点在于基础知识，以基本位置关系的判定与柱、锥、球的角、距离、体积计算为主.考大题全面考查，主要考查学生对基本知识，基本方法，基本技能的理解、掌握和应用情况，以空间线面的位置关系和有关数量关系计算为主.考试说明中明确指出：能根据条
11、件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表形象地揭示问题的本质.立体几何以它的内容决定了其试题在考查空间想象能力的作用，由于它的公理化体系的处理，又决定了立体几何是考查演绎思维的最好素材，空间向量的引入更为解决立体几何问题提供了新的方法.1.1考察形式与特点立体几何是高考的必考内容.从近几年的高考可以看出，考察的形式与特点是：（1）以选择题、填空题的形式考察基础知识.如线面位置关系的判断，空间角与距离的求解，体积的计算，与球有关的组合体问题，空间图形中动点轨迹问题等.其中线面位置关系的判定又常会与命题、充要条
12、件等有关知识融合在一起进行考察.（2）以解答题的形式考察立体几何的综合问题，如空间平行与垂直关系的论证，空间角与距离的求解，探索性问题，展开与折叠问题，定值与最值问题等.立体几何的解答题一般作为整套试卷的中档题出现，有2到3问，各问之间在解答时具有一定的连贯性.（3）立体几何试题中，考察线面的位置关系以及角与距离的求解和综合性问题时，往往是以多面体（棱柱、棱锥等）为载体进行考察的，但也有考察球体为载体的可能.（4）立体几何求解方法可以利用传统的综合法，也可以利用空间向量的方法，并且多数情况下利用向量方法求解会更容易一些.1.2命题热点与趋势（1）空间几何体的结构，三视图，直观图的判断.（2）立
13、体几何与球有关的组合体. （3）空间几何体点，线，面位置判定.（4）立体几何空间角度、距离的计算.（5）图形的展开与折叠问题.（6）几何体表面积及体积的计算.2高考中立体几何考点解析2.1空间几何体的结构及其三视图和直观图三视图是新课标新增的内容，柱、锥、台、球的定义及相关性质，与面积体积相关的三视图的还原是高考热点.准确理解柱、锥、台、球的定义，真正把握几何体的结构特征，把握三视图和几何体之间的关系及斜二测画法的作图规则要领，拓展空间思维能力.下面以三视图的判断为例：例1：(2012年湖南，第3题)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则不可能是该几何体的俯视图的是（D）. A B C D
14、解析：由正视图和俯视图判断原几何图形结论.A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体俯视图；C图是一个底面为等腰三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体俯视图.采用排除法故选D.2.2立体几何求表面积和体积问题给定空间几何体求表面积和体积或由三视图得出几何体的直观图求其表面积和体积是高考的热点. 要解决此类问题要熟记空间几何体的表面积和体积公式，由于表面积和体积往往与求高联系密切，因此要熟练掌握常见几何体(如棱柱、棱锥、棱台)的高、侧高的求法，加强空间想象能力与运算能力.下面以求体积问题为例：例2：（2013年高考新课标1（理），第8题）某几何体的三视图如图2所示,则该几何体
15、的体积为（ A ）. 图3图2ABCD解析：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图3，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4所以长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积=224=8,所以这个几何体的体积是16+82.3立体几何空间点、线、面的位置问题空间点、线、面的位置关系有相交（主要是垂直）、平行、异面关系，理解空间直线、平面位置关系的定义是解题的基础，平面的基本性质即公理和定理是推理的主要依据，备考时应熟练掌握平面的基本性质及线线、线面、面面三种位置关系，尤其是异面直线的判定及线、面垂直的判定是重难点.下面以线面平行、线面垂直的判定为例
16、：例3：（2010年茂名模考,第18题）如图4，在直角梯形ABCD中，B90，DCAB，BCCDAB2，G为线段AB的中点，将ADG沿GD折起，使平面ADG平面BCDG，得到几何体ABCDG.图 4(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF平面ABG；(2)求证：AG平面BCDG.解：(1)证明：依题意，折叠前后CD、BG位置关系不改变CDBG.E、F分别为线段AC、BD的中点在ACD中，EFCDEFBG，又EF平面ABG，BG平面ABGEF平面ABG.(2)证明：将ADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变AGGD，又平面ADG平面BCDG，平面ADG平面BCDGGD，AG平面A
17、GDAG平面BCDG.2.4立体几何空间角、距离求值问题空间角有异面直线所成角、线面所成角、二面角，距离有点点、点线、点面，线线、线面、面面距离，空间角和距的计算是历年高考考查的重点，经常出现在大题，应对这类为题要熟练掌握线面平行和垂直的判定与性质，在此基础上要灵活掌握各种空间角和距离的求解过程.下面以空间角和距离分别为例：例4：(2008年天津，第19题)如图5，在四棱锥中，底面是矩形已知（1）证明平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）求二面角的大小. 图5解：（1）证明：在中，由题设可得:于是.在矩形中，.又，所以平面（2）由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得
18、:由（1）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故,所以异面直线与所成的角的大小为（3）解：如图6，过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面,所以.又，因而平面,故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角。由题设可得:于是再中，所以二面角的大小为例5: （2013年高考上海卷（理），第19题）如图6,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明:直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.图6图7解：因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1
19、AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 ,三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得, 而中,故, 所以,即直线BC1到平面D1AC的距离为. 2.5向量法在立体几何中的应用用向量方法证明有关直线和平面的位置关系，求线段长度、点到面的距离及求异面直线的夹角、斜线与平面所成的角、二面角等.用向量法解决立体几何问题，使许多立体几何中形的思维转化为数的构想，从而使现代思想中数形结合的思想更充实了形数结合的内容，把许多空间抽象概念转化为具体的代数运算，降低了许多立体几何难题的艰辛度.备考时熟练掌握空间向量的坐标运算、掌握利用向量证明
20、平行、垂直及求距离、角的方法.下面以向量法解立体几何为例：例6：(2008安徽，第18题)如图7，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点.（1）证明：直线MN平行于平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离.解: 如图作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（1）设平面OCD的法向量为,则即 取,解得.（2）设与所成的角为, , 与所成角的大小为.（3）设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为.3.立体几何考点的解法探索3.1空间几何体的结构问题解法
21、探索3.1.1各类几何体的结构(1)棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱. 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面.两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高.性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.直棱柱的侧棱长与
22、高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.(2)棱锥定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥.性质：正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形各.等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高.正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形.正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形.两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形.(3)圆柱、圆锥、球定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.该直角边叫圆锥的轴 .以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360
23、形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(4)几何体表面积和体积的求法：柱体：=sh （s是底面积，高是h）, S=ch(底面周长是c，高是h).锥体： v=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）,S=侧面积+底面积.球：S= 4R2(R是球的半径) ,V=(4/3)R3.(5)特殊求解方法：割补法：将几何体分割成几个柱体、椎体，分别求他们的表面积或体积，从而的出几何体的表面积或体积.等积变换法：利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面，利用等积性可求点到面的距离.3.1.2几何体的三视图：正视图,侧视图，俯视图.解决此类问题，一般思路是由正视图和俯视图判断原几何图形结论.在解题过程中，可以根据
24、原几何图形中的点、线、面的位置关系及图中一些线段的长度，从而解决其他有关的问题.3.2立体几何点、线、面位置的判定方法3.2.1共点、共线、共面问题（1）点共线问题的证明方法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.（2）线共点问题的证明方法：先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过该点，将问题转化为证明点在直线上.（3）点线共面问题的证明方法：纳入平面法：先确定一个平面，在证明有关点、线在此平面内.辅助平面法：先证有关点线确定平面a，再证其余点线确定平面b，最后证明平面a,b
25、重合.3.2.2平行问题（1）线线平行的判定： 平行于同一直线的两直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那这条直线和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 垂直于同一平面的两直线平行.（2）线面平行的判定：定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助反证法来证明.判定定理法：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这直线和这个平面平行.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.（3）面面平行的判定：定义法：两个平面没有交点.判定定理法：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面;垂直于同一条直线的两个平面平行
26、.转化为线线平行：平面a的两条相交直线与平面b内的两条相交直线分别平行，则ab.利用平行平面的传递性：若ab,bc,则ac.3.2.3垂直问题（1）线线垂直的判定： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线.补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条.（2）线面垂直的判定： 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个面.一直线
27、垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面.（3）面面垂直的判定：利用判定定理，在审题时要注意直观判断那条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形的中线垂直于底边，勾股定理等结论.用定义证明，只需判断两个平面所成二面角是直二面角.客观题中也可应用：两个平行平面中一个垂直第三个平面，则另一个也直于第三个平面.3.3立体几何空间角、空间距离的计算3.3.1立体几何空间角的计算（1）异面直线所成角平移：选择适当的点，平移异面直线重点一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直
28、线的特殊点.证明所作的角是异面直线所成的角.在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形并解之.因为异面直线所成角的取值范围大于090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成角.（2）求线面角求直线与平面所成角的步骤：构造作出斜线与射影所成的角;证明论证作出的角为所求的角;计算常用解三角形的方法求角;结论点明直线和平面所成的角的值.求线面直线的技巧：在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.（3）求二面角的方法:求二面角的大小关键是作出二面角的平面角. 二面角作法：定义法：在二面角的棱
29、上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的线.垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或补角.3.3.2立体几何中空间距离的计算当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.空间中距离的计算方法：(1)两点之间的距离一般利用三角形求出或用两点的坐标计算.(2)点到直线的距离一般用三垂线定理
30、作出.(3)线线的距离一般转化为点到直线的距离.(4)点到面的距离，一般用转化法或等积法.(5)线面距离或面面距离通常转化为点面距离，然后再进行转化处理.3.4.用向量法解立体几何问题3.4.1平行问题线线平行.线面平行.面面平行.3.4.2垂直问题线线垂直.线面垂直.面面垂直.3.4.3夹角问题（1）异面直线所成的角（范围： ）, . (2）线面角（范围：），. 图8 图9(3) 二面角（范围：）. 图10 图113.4.4距离问题 （1）点A到点B的距离：.（2）点A到线l的距离:在直线上任取点， ，. 图12(3)点A到面的距离:在平面上任取点,. 图13（4）异面直线间间的距离：在直线
31、上任取点，在直线上任取点,向量与异面直线的方向向量都垂直.,. 图14（5）直线到平面的距离： 在直线上任取一点，转化为点A到面的距离.（6）平面到平面的距离：在平面上任取一点，转化为点A到面的距离.4.总结从论文结构上看，论文先是介绍高考中立体几何的现状分析考试热点，再分别对考点进行实例解析，然后针对各个考点探究出相对应的解法.从分析看来，立体几何的难点在于高考中证明题，它占的分值大，考查的知识点多，特别是线面位置判定、空间角、距离求值是众多考生的弱点.立体几何在高考中的处于举足轻重的地位，解决这类问题不仅有助于提高对立体几何的认识，更加锻炼了空间思维能力.参考文献1 张淀宙，宋乃庆. 数学
32、教育概论M.北京：高等教育出版社，2004: 270-2712 安艳菊， 用综合法和向量法解答立体几何问题的对比实验反思J. 中国科教创新导刊，2008(15):174-175 3 张琳.立体几何教学中综合法与向量法的比较研究D.首都师范大学教育硕士学位论文, 2009:23-254 吴厚荣.用综合法和向量法解答立体几何问题的对比实验反思J.中国科教创新刊，2008(15):174-1755 陈雪梅.用向量法处理立体几何问题的教学效果研究.数学教育学报J，2008，17（3):55-566 凌启圣. 高考立体几何问题的探究J.淮南师范学院学报，2011(5):130-1327 李丙周, 向量法与综合法J，成功（教育），2013(1):1-608 张俊利.新课标立体几何教学的策略和方法 J.中国教育技术装备,2013(16):131-1329 黄维,刁含祥，浅谈对口高考教学中立体几何的学法J.中等职业教育（理论），高中数学教与学,2012(2):34-3510 皱晓松.浅谈高三立体几何专题复习J.科学咨询（教育科研）,2010(11):50-5111 袁铁宝.对2011年高考全国卷立体几何问题的探索J.数学教学,2011（11）:43-4612 陈茜.合理利用空间向量解立体几何问题J.中学数学月刊,2011（11）：42-43- 16 -