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1、眼科医院病床的合理安排高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如
2、果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘 要本文针对造成眼科医院资源利用率低的原因进行分析，对医院病床安排模型进行了改进，应用计算机仿真技术，给出了合理的病床安排，解决了医院病床紧张的问题，提高了
3、病床资源利用率。首先，文章从医院和患者两个角度考虑，分别提出了一套评价指标体系，选取了病床浪费因子和排队等待人数两个指标，分析了医院的FCFS规则病床安排模型，发现FCFS规则存在较大的缺陷：病床利用率低，排队等待人数越来越多（图1），模型需要进一步改进。然后我们对造成病床利用率低和排队人数增多的原因分析，建立了加权排队模型，利用该模型得到各类病人在周一到周日的优先权值，然后根据权值大小，得到合理的病床分配模型，并用指标体系进行评价，得出病床浪费因子减少了62.69%，排队人数呈递减趋势（图4），提高了病床利用率，减少了病人等待时间。经过验证病人到达数目服从泊松分布后，对住院病人观察时间用蒙特
4、卡洛方法模拟，最后利用计算机仿真模拟了眼科病人门诊、等待、入住、出院的过程，在医院周六、周日不安排手术的情况下，我们利用加权排队模型重新计算了各队列的优先权值，得到新的病床分配方案，并通过比较医院不同的手术时间安排方案，发现周三、周五安排做白内障手术最合理，所以对于手术时间安排做出合理调整。通过灵敏度分析，得出了增加外伤病人和青光眼病人看病人数，队列等待人数会趋于一个稳定值，说明目前医院的规模能够满足病人看病的要求，且可以增加外伤病人和青光眼病人的看病人数，以增加效益。最后，我们对医院提出了几点建议，以提高医院资源利用率，达到医院和病人的双赢。1. 问题概述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，
5、例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往都需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以
6、接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三，并不考虑在急症范围内。该医院考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但在通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，通过数学建模的方法来合理安排住院部的病床，完成下列问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院
7、病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2. 问题分析：2.1问题背景分析病床是医院医疗设备的重要组成部分
8、，随着我国医疗制度的深化改革和医疗市场的持续发展，大部分医院已经进入市场经济的运行模式。各医院之间的竞争日益激烈，医院想在新的市场条件下保持竞争优势且兼顾社会效益，就必须提高病床使用效率并对其进行科学有效的管理。1目前我国各医院的病床使用率普遍偏低，资源浪费严重，因此，如何最大能力提高医院资源的有效利用及减少病床的浪费是各个医院普遍关心的话题。医院规模往往是由上级决定的，在医院规模一定的情况下，如何提高资源的有效利用是至关重要的。而资源的浪费往往是由医院的管理制度造成的，好的管理制度将大大减少资源的浪费，提高医院的效率，对病人而言也能更快更好的看病，从而摆脱“看病难”的问题。2.2 对FCFS
9、排队模型的分析FCFS，即先到先服务的排队规则。病人享受医疗服务的先后顺序，完全取决于病人到达的医院的先后次序。这个规则为大多数人接受，因此在当今社会应用十分广泛，在医院中也随处可见。但是，这个模型有几个的缺点。不考虑医院资源有效利用的问题。我们来看下面的一个简单的分析。现在，有一个患白内障（双）的病人被安排于星期三来住院，进行一天的术前准备后，到了星期四。而白内障的手术要星期一才做，那么这个白内障病人将在这个床上空等四天。这就相当于占着病床，但是没有进行手术，影响了等待队列中病人的入住，从而使得资源有效使用率降低。第二，没有因人而异。就是说无论有多么紧急的病情，病人必须按照先到先服务的规则，
10、排队等待。这样势必会对这些病人造成很大的健康伤害。因此，在实际生活中往往会有一些特殊情况需要开辟一条特殊通道，获得较高的优先权。比如说医院急诊。本题的FCFS模型考虑了某些特殊病人的特殊需要，比如说急诊患者享受最高的优先权，无论等待住院的队列有多长，这类病人都享受者即到即服务的权利。这说明医院的FCFS模型考虑了上文提到的第二个缺点，但是忽略了第一个不足。我们在问题分析中发现，造成病床有效利用率不高，以及等待住院病人队列越来越长的主要原因就是对白内障病人的病床安排出现了问题。2.3对到达人数服从分布的分析6设表示在时间区间内到达的顾客数（）令 显然符合下列三个条件：(1) 在不重叠的时间区间内
11、顾客到达数是相互独立的，我们称这性质为无后效性。(2) 对充分小的，在时间内有一个顾客到达的概率与无关，而约与区间长成正比，即其中表示当时，是关于的高阶无穷小。是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度。(3) 对于充分小的，在时间区间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即在上述条件下，我们研究顾客到达数的概率分布。由条件（2）我们总可以取时间由0算起，并简记由条件（2）和（3）容易推出在区间内没有顾客到达的概率为在求时，用通常建立未知函数的微分方程的方法，先求未知函数由时刻到的改变量，从而建立时刻的概率分布与时刻概率分布的关系方程。对于区间，可分成两个互不重叠
12、的区间和。现在到达总数是，分别出现在这两个区间上，不外下列三种情况：三种情况互不相容，故应是上述三种情况的概率之和：令，得下列方程，并注意到初始条件，则有当时，没有B、C两种情况，所以得解上述两式，得到表示长为的时间区间内到达个顾客的概率，即服从泊松分布。2.4对病床安排合理性的理解目前的病床安排合理性评价体系一般是病床工作效率指标体系，包括病床使用率、病床周转次数、出院者平均住院日这三个指标3，但是这个体系一般适用于医院与医院之间，科室与科室之间的横向评价，不适合单一模型的评价，详细分析见结果分析6.1，所以，我们引入一个新的指标体系。判断一个病床安排是否合理，不能单纯地从一个角度进行分析，
13、而应从医院与患者两方面考虑，只有令两者均满意的安排方式才是合理的安排方式。对医院而言，要追求最大的经济效益和资源的有效利用。在本题中，我们只考虑医院资源是否有效利用，而经济效益将在模型的进一步讨论中讨论。我们认为病人在医院中住院时间只有术前准备时间与术后观察时间时是“有效”的，其它天数为“空等”天数。要达到资源的有效利用，就是使病床能最大限度地容纳病人，使病人在医院的每天都是“有效”的，尽量减少浪费病床的现象。例如，25号白内障(双) 病人，其7.28号入院，8.4号做手术，准备时间为7天，而白内障患者的标准准备时间为1、2天，故浪费时间为7-1=6天，这6天就是“空等”的，“空等”天数越多，
14、病床浪费越严重。因此，建立模型时应尽量减少“空等”天数。对病人而言，要考虑看病花费和看病的时间，在本题中，不考虑病人治疗的费用，只考虑住院费用，住院费用与住院天数有关，因此，也归结到“空等”天数的问题，“空等”天数越少，病人住院费用越少。另外，病人还十分关注看病时间，每一位病人都希望早日治病，因此，门诊后等待手术时间的长短是非常重要的，等待时间越长，病人的心里承受力越差，不合理的安排模型会使等待时间越来越长，就会产生“看病难”的问题，因此，建立安排模型时应尽量减少排队等待时间和等待人数。2.5对按比例安排病床的理解平均逗留时间，和当前队列长度和病人康复时间有关。病人康复能力是一个有限的，在一定
15、区间内的随机值，与病人身体素质有关。当前队列长度与医院的服务能力有关，当病人数目超过医院服务能力时，其长度的值会趋于无穷大。所以要使平均逗留时间最短，首先满足当时间趋于无穷大时，队列长度的极限存在这个条件。根据上条件，可求出一个病床比例的可行区间。然后在满足上述条件的可行的范围内，编程遍历所有可行解，求解最短平均逗留时间。需要注意的是，将不同类型的病人分开后，每一类型的病人将组成一个子病床系统，各个病床系统之间是独立的，且服从FCFS规则。2.6问题假设基于模型的针对性和简洁性的考虑，我们做出如下的基本假设：1. 医院康复的病人当天出院时，安排在当天入住的病人必须住院；2. 手术费用及住院期间
16、每天的治疗费用不变；3. 医院在一定时间内不会改进医院基础设施；4. 除外伤外无其他急症；5. 医院的手术条件充分，不会因为医生和设备条件问题耽误手术时间；6. 手术都能成功进行，病人享受同等医疗待遇；7. 病人在等待入住时不会中途转到其它医院或者放弃手术；8. 白内障（双眼）患者在同一周完成手术，即周一先做一只，在同一周的周三做另外一只；3. 解决过程（建模及仿真分析过程）3.1 评价指标体系的选取和对模型的评价3.1.1评价指标体系模型的建立由1.2.3的分析，我们建立如下评价指标体系： 3.1.2对FCFS病床安排规则的评价一、从医院角度分析由题意和所给数据知，病房时刻是满的，而且病人越
17、来越多，因此医生资源是充分利用的，由分析1.2.3，我们不考虑医院的经济效益。因此，对于医院只考虑病床是否充分利用。我们认为门诊时间与入院时间之间的间隔为患者的等待时间，简称为等待时间，认为入院时间与手术时间（白内障（双）的第一次手术时间）的间隔为准备时间，认为医院预设的患者的最小准备时间为患者的标准准备时间。准备时间如果大于标准的准备时间，即认为病床没有有效利用，多出的准备时间即“空等”时间，我们定义平均每天浪费的病床数为病床浪费因子，记为，我们建立如下模型：首先定义函数：则，。其中，为7.259.11之间的天数，为49；由所给数据可以得出，仍然以25号病人为例，易知浪费时间为6天，对于与2
18、5号病人在同一天门诊的19号患青光眼病人（浪费时间为0），我们将两人住院时间互换，即25号白内障（双）病人7.27（周日）入院，19号青光眼病人7.28（周一）入院，则25号病人7.28号即可手术，浪费时间为0，而19号病人可在7.31（周四）号手术，浪费时间为1，因此总的浪费时间减少了5天，因此将减小。综上，可得出原来的FCFS规则存在较大的缺陷，可以再进一步改进，具体改进方式见4.2。二、从患者角度分析根据医院现行的FCFS规则，在现有数据的基础上，利用问题三的计算机仿真（见4.3），我们用得出第10天到第300天每隔十天的总排队等待人数，得出如表1：表 1天数10203040506070
19、8090100110120130140150排队等待人数9612713112511711589128123117102114112109142天数160170180190200210220230240250260270280290300排队等待人数137158155171170194193179196202217225201229213形象表示如图1：图 1从上图可以看出，医院排队等待住院人数成上升趋势，到170天时已达158人，已达病床数的两倍，故FCFS准则存在较大的缺陷，可以进一步改进。3.2 加权排队模型及其评价3.2.1加权排队模型建立与求解一、优先队列的建立医院将除急诊的病人以外的
20、病人放入一个队列中，我们提出的改进模型根据病症确定队列权重，从而来确定选择哪类病人先住院。而仔细分析附录中病人的各个方面的数据，我们发现如下特点：1， 患白内障的病人人数与患青光眼和视网膜疾病的病人人数和基本相等；2， 急症患者拥有着很高的住院优先权，即第一天到达，第二天住院；3， 青光眼患者和视网膜疾病患者的术前准备时间相同；4， 患白内障（双）的病人一定是在周一开始做手术，周三做另一个眼睛手术，而单眼患者在周一或者周三均可做手术；可见这四种病人之间有区别，也有联系。为了简化问题，突出问题的主要矛盾，我们根据第一问中建立的指标体系，结合它们的特点和关系，将所有病人重新分为四类：急症、青光眼与
21、视网膜疾病、白内障（单）、白内障（双）。我们为这四类病人分别建立一个排队队列。当病人到门诊看病时，确定是何种眼科病，然后进入相应的队列等待住院。门诊的病人流动如图2。图 2各类病人的队列建好以后，我们通过病床安排模型，确定一周七天每天的优先级，然后按照优先级的高低，来选择哪个队列里的病人住院。住院的流程如图3。图 3这里需要指出的几点：1， 患同种病的患者在各自的队列里还是采用FCFS的规则进行服务。2， 每天住院的人数取决于医院住院部当天的拥有的空床数。3， 每个队列的优先级在当天不会改变。4， 选择住院病人的方法只与该病人所处的队列的优先级有关。二、优先级的确定前面的分析中得知，要提高医院
22、病床资源的利用率，我们必须减少病人住院后在病床上“空等”天数。所以，医院在哪天优先安排哪类眼科病人住院就显得尤为重要。因此，我们制定优先级的主要依据就是床位的有效利用率，即产生“空等”天数最少的那类病症病人优先住院。我们已知各种病症手术前标准准备时间：表 2病症手术前准备时间白内障（单）1天白内障（双）1天视网膜疾病2天青光眼2天外伤1天下面我们以一周为一个时间段来分析问题： 由题意，外伤优先级最大，无论哪一天外伤病人来看病，都优先考虑住院。所以，在计算矩阵时我们不考虑外伤病人。而从表2中，视网膜疾病和青光眼的手术前准备时间均为两天，且除去周一和周三均可进行手术，因此我们将其归为一类其他类。白
23、内障（单）病人只能周一和周三手术，归为一类。白内障（双）病人由于两个眼睛均要手术，而且手术间隔为一天，所以安排周一开始手术，周三做另外一次手术，归为一类。我们的任务就简单的抽象为给这三个类别的手术计算权值。先介绍一个概念，病床有效利用天数：为0时，表示利用率100%，越小，利用率越低。选择这个病人住院的可能性就越小。反之，则该病人当天住院的可能性就越大。我们依照上述规则，分别计算了每天来的各种病人的理想值，即到达后，除去术前观察天数，还需要等待多少天。因此，我们建立一张三行七列的表来记录数据。如表中的第2行，第1列值为-1，也就是这个病人将在病床上“空等”一天。白内障（单）病人在周一住进了医院
24、住院部，如果按照理想情况，周二应该进行手术最佳，但是医院的白内障手术安排是在周三，这样这个病人将在病床上“空等”一天，计算出的值也就是-1。而第三行、第一列的值为-6，是因为该病人是一名双眼的白内障患者，术前准备一天到周二，而双眼白内障病人只有在周一才能手术，因此该病人还要“空等”6天。我们依照上述公式，得到表3：表 3星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天其他类-10000-10白内障（单）-10-4-3-2-10白内障（双）-6-5-4-3-2-10我们将表中的数据记录到矩阵中：观察矩阵可知，为处理问题方便，我们将矩阵每一项加上6，等到一个新的矩阵：矩阵的实际意义就是以“空等”时间最长
25、的病人为基准值0，其余病人在这个基准值下的相对值。数值越大，表示其相对的资源使用效率越高。然后将矩阵按行归一化得矩阵：所以，根据中每列元素的大小，我们有下列优先级：表 4星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七白内障（单）白内障（单）其他类其他类白内障（双）白内障（双）白内障（双）其他类其他类白内障（双）白内障（双）其他类白内障（单）白内障（单）白内障（双）白内障（双）白内障（单）白内障 （单）白内障 （单）其他类其他类由于我们对矩阵的行进行了归一化，使得矩阵行与行之间的关系弱化了，甚至还可能出现大小关系颠倒的情况。为了纠正这种错误，我们引入一个校正。首先先引入一个比较函数，构造矩阵的比较矩
26、阵：同理求出A的比较矩阵，将两个矩阵和行和列对应的元素相乘得，即如果矩阵中某列中出现项，这说明矩阵的在该列的优先级顺序不符合列优先顺序的要求，所以要对这列的优先顺序进行校正，校正时按原本列的优先顺序。按照上述校正方法，我们求得：从矩阵中可以看出第五列出现了-1，所以，我们要根据矩阵对第五列进行校正。中第五列的元素，因为，故考虑，所以星期五的优先级改为：其他类、白内障（双）、白内障（单）。所以最后经过校正的优先级为：表 5星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七白内障（单）白内障（单）其他类其他类其他类白内障（双）白内障（双）其他类其他类白内障（双）白内障（双）白内障（双）白内障（单）白内障（
27、单）白内障（双）白内障（双）白内障（单）白内障 （单）白内障 （单）其他类其他类3.2.2加权排队模型的评价利用上述模型，我们用计算机模拟，得出：按医院门诊信息不变时，在7.259.11时间区间内，病床浪费因子:比原有病床安排模型减少了62.69%。而对于加权排队模型用计算机模拟10天到300天每隔十天排队的人数为表6：表 6天数102030405060708090100110120130140150排队等待人数96114100916672396861483537352149天数160170180190200210220230240250260270280290300排队等待人数2846445
28、54149403039475247225222用图形形象表示为：图 4容易看出，在新模型下，排队等待人数呈下降趋势，在100天后低于60人，以后在2060人之间波动，大大减少了排队等待的人数，也就减少了患者排队等待住院时间。3.3 用加权排队模型确定患者的入住时间影响门诊病人的入住时间的因素主要有两方面。第一方面，病人的到达数。如果前来门诊病人的到达数越少，等待住院的病人数就越少，病人就能越快的入住病房。但是，在一定时间内，该医院的病人到达数服从为一个定值的泊松分布，经过数据检验，这样的泊松分布的随机性对病人入住时间影响很小，所以我们不考虑这一方面的因素。第二方面，病人术后观察时间的长短。在通
29、常情况下，根据病人的年龄、身体状况、性别和手术情况，病人手术后的恢复情况是不同的，这就造成了病人手术后观察时间的不确定，医院每天的出院人数也就不确定。医院出院人数多，等待住院的病人就少，病人就能够越快的住进医院。我们可以看出以下关系：图 5这样，我们就可以根据病人手术后观察时间，来计算出病人的大致入住时间区间。我们先利用题目原有的数据，分析各类病人手术后观察时间，来确定病人手术后观察时间区间：1. 外伤病人术后观察时间分布区间为天，其分布直方图图6：图 62.视网膜疾病病人术后观察时间分布区间为天，其分布直方图图7：图 73.青光眼病人术后观察时间分布区间为天，其分布直方图图8：图 84.根据
30、白内障（单）、白内障（双）病人的术后观察时间可以发现，两者差别很小，我们可以归为一类考虑，白内障病人术后观察时间分布区间为天，其分布直方图图9：图 9根据各类病人的术后观察时间分布区间，我们可以看出病人的术后观察时间很不确定，除白内障病人外的其它病人术后观察时间分布区间较大，所以我们利用蒙特卡洛方法来模拟各类病人的术后观察时间。我们以外伤病人为例，可以根据分析的数据，得到外伤病人的观察天数，且，计算，把区间 分成个小区间，使第个小区间的长度恰好等于。设为区间中均匀分布的随机数，若落在第个小区间内，则认为该外伤病人的术后观察天数为。若用代数式表示，当满足以下不等式：时，则认为外伤病人的术后观察时
31、间为。而后我们用Matlab产生中均匀分布的随机数，就可以得到外伤病人的术后观察时间。同理，得出其他病人的术后观察时间。现在，我们有了满足泊松分布的病人到达时间，合理的床位安排算法，各类病人的术后观察时间，我们就可以模拟眼科手术病人门诊、入院、出院的过程。而我们已经分析，已经住院病人的不同术后观察时间会影响前来门诊的病人的入住时间，在满足泊松分布的病人到达情况下我们根据模拟出的4组不同的病人术后观察时间，来计算门诊病人的入住时间区间。采用上述模型，利用所给数据，我们做一次病人到医院看眼科病的仿真，得出病人的大致入住时间。我们对所得到的模拟数据用Excel软件进行统计分析，得到病人的大致入住时间
32、区间：表 7外伤病人等待住院病人队列长度入住时间任意等待0-1天视网膜疾病等待住院病人队列长度入住时间0-7人等待0-2天8-29人等待3-6天30-49人等待7-10天50-70人等待11-16天青光眼等待住院病人队列长度入住时间0-10人等待0-3天11-39人等待4-7天40-49人等待8-11天50-80人等待12-19天白内障（单）等待住院病人队列长度入住时间0-10人等待0-1天10-23人等待1-4天23-80人1-8天白内障（双）等待住院病人队列长度入住时间0-20人等待0-1天20-50人等待1-4天50-80人等待1-7天3.4 对问题四的求解根据医院新的安排，星期六、星期
33、天不安排手术，那么理想值表（表3）就会有变化，根据医院新规定，重新求出理想值表表8：表 8星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天其他类-100-1-100白内障（单）-10-2-1000白内障（双）-4-3-2-1000得到矩阵：；那么，矩阵；对进行行归一化得到：然后利用矩阵对进行校正，得到下列优先级：表 9星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天白内障（单）白内障（单）其他类白内障（双）白内障（双）白内障（双）白内障（双）其他类其他类白内障（双）白内障（单）白内障（单）白内障（单）白内障（单）白内障（双）白内障（双）白内障（单）其他类其他类其他类其他类周末不安排工作大大降低了白内障（单
34、）和白内障（双）病人的“空等”时间，但是增加了青光眼和视网膜疾病病人的“空等”时间，不难看出增加的“空等”时间是星期一只能做外伤和白内障手术造成的，所以，医院的手术安排时间可以做出调整。由于白内障双眼手术隔一天做一只，我们讨论两种手术时间调整方案：第一种方案：周二、周四做白内障手术；第二种方案：周三、周五做白内障手术；利用确定队列优先权的方法，确定出两种方法的优先级，求出排队等待人数和“空等”时间。三种不同方案排队等待人数比较如图10：图 10从图上可以看出，三种方案在解决排队等待人数上没有较大差距；另外，三种方案的病床浪费因子分别为：表 10方案原方案方案一方案二病床浪费因子4.9675.4
35、335.7从表10可以看出，原方案在病床利用上仍然是最优的。因此，医院的手术时间安排时间不用做出调整。3.5 按比例分配病床模型的建立及求解3.5.1 按比例分配病床模型的建立平均逗留时间，和当前队列长度和病人康复时间有关。病人康复能力是一个有限的，在一定区间内的随机值，与病人身体素质有关。当前队列长度和医院的服务能力有关，而且其长度的值在一定的条件下可能趋于无穷大，为了使平均逗留时间最短，那么当时间趋于无穷大时，队列长度的极限要存在。我们定义当时间趋于无穷大时，如果等待队列为一个定值或者为零，那么我们称医院住院系统处于稳态。系统处于稳态的特点，就是动态平衡。即平均住院病人数，平均出院病人数，
36、住院人数达到平平衡。设总时间长度为，平均住院人数为，平均出院人数为，病床数为。其中，。那么在动态平衡时，三个参数满足：当在时刻时：也就是说一部分病人在时刻不能得到服务，因此产生了排队。那么队列长度，也就是队列中的人数为：要使得队列长度存在最小值，即极限存在：存在。当时，收敛。即的极限存在。当时，发散，即在时间趋于无穷大时，队列中的人数是无穷大。的实际意义，就是平均出院人数大于平均看病人数，也就是说等待队列中的人数会随着时间的推移趋于一个定值或零。如在题目给出的FCFS模型中，其在79天内的平均出院人数是小于平均住院人数的，所以才造成等待队列越来越长。3.5.2 分配比例的确定这里以外伤病人为例
37、，分析病床数的选择。从附录中的数据知，总时间长度为，平均看病人数为，平均出院人数为，则要使得队列的长度存在，应该至少选择 张床。同理，可以算出白内障（单），白内障（双），青光眼,视网膜疾病的最少病床数分别为：8，16，8，20。设白内障（单）、白内障（双）、青光眼、视网膜疾病、外伤的病床数分别为。建立病床数矩阵，其中，以为搜索起点，编写程序，遍历所有可能的情况，搜索得到最优解：此时的最短逗留天数天。相应的病床比例见表11：表 11白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病外伤0.1520.2030.1390.4050.1014.方法评述（优缺点）41灵敏度分析在问题二的建模求解的过程中，我们建立
38、了优先队列模型，来决定安排哪些病人住院。在这个过程中，我们假设了来看病的病人服从一定参数的泊松分布，在计算机模拟计算中，我们一直以这个固定的参数产生泊松流。实际情况是，随着医院的发展，影响力和医疗条件的增强，看病的人数越来越多。我们从题设数据中提取出了每类病人每天到达医院门诊的个数，然后用MATLAB进行了泊松拟合，得到了各种病人到达该医院看病的泊松流的参数，如表12：表 12病人类型参数值白内障（单）1.6393白内障（双）2.1803青光眼1.0328视网膜疾病2.7869外伤1.0492 问题二的求解中我们已经得到按照医院现有的看病病人人数的规模，医院的床铺不会出现紧张。下面我们增加固定
39、一类病人的人数，来分析医院的等待队列长度，确定哪类病人人数的增加对影响医院床位的紧张的程度更大。1，将外伤病人的泊松参数设为，为原来值的两倍，进行计算机模拟。得到医院队列等待人数随时间的关系如图11：图 112，将视网膜疾病病人的泊松参数设为，为原来的得两倍，进行计算机模拟。得到医院队列等待人数随时间的关系如图12图 123，将青光眼病人的泊松参数设为，为原来值的两倍，进行计算机模拟。得到医院队列等待人数随时间的关系如图13图 134，将白内障（单）的病人的泊松参数设为，白内障（双）的病人的泊松参数设为，都为原来值的两倍，进行计算机模拟。得到医院队列等待人数随时间的关系如图14图 14从四幅图
40、中我们不难看出，增加视网膜疾病病人和白内障病人的看病人数，队列等待人数将会不断增加，且增加速度很快，医院无法提供足够的病床，这样就造成了“看病难”的问题。而增加外伤病人和青光眼病人看病人数，队列等待人数会趋于一个稳定值，说明目前医院的规模能够满足病人看病的要求。42算法复杂度分析对于问题五，我们采用进行了“剪枝”的穷举算法。把床的种类分为了5种，如果每种床从1开始遍历，求出每一种比例的平均等待时间，这种算法的复杂度为。对于为79，运算次数过多。通过理论分析，得出了每种病床的最少数目，将其作为搜索起点，运算次数为，降低了两个数量级，计算机运算时速度提升的很明显。43病床工作效率指标体系的不合理性
41、病床工作效率指标体系结构图如图15：图 15其中，平均床位周转率=平均每天出院病人数/医院可提供的床位数，即，表示一段时间；平均病床工作日=所有床位的总工作日数/医院可提供床位数，即；病床有效使用率=有效病床使用数/医院可提供床位数，即从题目给出的2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的数据，我们可以看出，在2008年7月26日到2008年9月10日这段时间区间内，医院的入住病人数是确定的，而且根据医院现在病床饱和的情况，我们可以得出医院每天的入院人数等于其出院人数，所以我们选取2008.7.26-2008.9.10为计算时间区间，根据模型，得出各指标值如下：0.1088
42、（次/床），（天），。由于缺乏横向比较，因此上述数据对于评价病床安排模型没有意义。而且，单独分析平均病床工作日指标， 表示在计算时间区间内每天的病床都是满的，因此可以认为病床高效运行，病床安排比较合理，但从我们问题一的求解中可以得出这显然是错误的。44新旧模型结果的合理与不合理性从图1与图4中可以看出，FCFS模型下排队等待人数是递增的，而在我们的模型下，排队等待人数是递减的，并最终达到一个稳态（图中的20，60），另外，我们的模型在病床浪费上也大大低于FCFS模型，减少了60多个百分点，因此，可以说明FCFS模型的不合理性和加权排队模型的准确性。45模型的主要优点1，建立的评价病床安排模型优
43、劣的指标体系考虑因素全面、合理，评价客观。2，在对现行病床分配制度进行改善时，我们以病床“空等”时间最短、排队长度最小、病床周转能力最大为目标，建立的优先权确定模型，很好的对一周每天的床位安排进行了优化。而且优先权确定模型方法简单，效果明显，而且可以很好的进行推广。3，在对眼科病人门诊、住院、出院进行仿真时，病人到达的序列符合泊松分布，病人术后观察时间根据医院七十几天的记录进行模拟，数据做到了真实、可信，具有实际意义。46模型的主要缺点1，该模型的优先权确定得出来的床位安排是确定的，没有根据每天到达的病人数不同而进行动态的调整，做到每天的安排都是最优的；2，仿真中考虑因素比较简单，与复杂的实际情况有一定偏离；5.总结5.1模型的改造与推广我们的模型就是改进的排队模型，根据需要给顾客加权值，就可以解决一些实际问题。比如电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，这些都是需要优先级的排队现象，这类问题，都可以用我们的模