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1、 目 录摘 要1关键词1Abstract2Key words21引言22准备知识23在应用积分中值定理时应注意以下几点34积分中值定理的简单应用44.1在力学中的应用44.2确定定积分的符号54.3求含有定积分的极限64.4估计定积分74.5证明积分不等式84.6判断某些点的存在问题94.7求与有关收敛有关的问题1011 积分中值定理的简单应用 摘 要:本文综合归纳了积分中值定理在力学、确定定积分符号、求含有定积分的极限、估计定积分、证明积分不等式、判断某些点的存在问题及求与收敛有关问题的应用.关键词:积分第一中值定理；推广的积分中值定理；估计定积分 The application about
2、 intermediate value theorem of integral Abstract: This paper reviews and summarizes the application of stationary functional theory in integration, mainly regarding to the field of machanics, determining the signs for definite integrals, evaluating the limit of the dedinite integral, estimating the
3、definite integral, evidencing the definite integral inequality, judging the exist problems related to it and finding solution to convergence problem.Key words: Intermediate value theorem of integral ；Extension intermediate value theorem of integral ;Estimate definite integral1 引言积分中值定理是数学分析中一个基本定理之一
4、，同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,它在数学很多方面都有十分重要的作用.为简单起见,文中就积分第一中值定理以及推广的积分第一中值定理的应用进行讨论.2 准备知识定理 2.11 (积分第一中值定理) 若在区间a,b上连续,则在（a,b）内至少存在一点使得 定理2.21 （推广的积分第一中值定理）若在上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得,3 在应用积分中值定理时应注意以下几点(1)在应用定理2.1中要注意被积函数在区间上连续这一条件，否则结论不成立.例如 ：显然在处间断， 由于 =0但在上，所以，对任何都不能使(2)在应用定理2.2中在上不变号这个条件也不能去
5、掉例如： 令 由于但 所以不存在使4 积分中值定理的简单应用4.1 在力学中的应用(1)求平均速度设速度函数在时间区间内连续，根据定理2.1，有 由力学知识知，物体的位移,则 即就是物体的平均速度.例1 当物体做匀变速直线运动时，即时内的平均速度 ：所以 这个结果说明，只有当速度函数对时间均匀变化时，平均速度等于内始、末速度的算术平均值.(2)求对空间累积的平均作用力 设力在位置区间内连续，根据定积分中值定理，有 相对位移的平均作用力为当与位置坐标无确定函数关系时，利用动能定理可得当与变量有确定函数关系时，可直接求出平均作用力.例2 弹簧振子的作用力为，那么振子所受的平均作用力是： 计算得 ，
6、即有线性关系时，平均作用力等于质点始、末位置所受力的算术平均值.4.2 确定定积分的符号定积分的几何意义是求去边多边形的面积，如能知道它的符号对我们解很多题有很大的帮助.下面来看几个实例.例3 确定的符号解 原式= （） 其中=例4 确定的符号解 原式=由定理2.1得=0 其中例5 确定符号解 原式= = =0 其中0c24.3 求含有定积分的极限定积分的极限问题，在不借助积分中值定理的情况下是很难求出结果的，但是运用了积分中值定理就能去掉定积分的积分号，起到了化难为易的效果.下面来看几个实例.例6 计算的值解 由定理2.1得,因为，所以可得= =0例7 求,其中可微,且已知解 由定理2.1得
7、=，其中所以 4.4 估计定积分若定积分的值很难求出，可以通过推广的积分中值定理化难为易，很方便估计其值.下面来看几个实例.例8 试估计的值解 由定理2.1得=其中，.从而得所以例9 试估计的值解 因为在上连续,在内可导,且在内无解,即,等号仅在时成立.故在内严格单调增,即所以由积分第一中值定理有4.5 证明积分不等式含定积分式的极限的不等式的证明，关键是去掉定积分号，积分中值定理和推广的积分中值定理都有这个功能.下面来看几个实例.例10 设在a,b上连续，单调增加，证明： 证明 因为 单调增加所以例11 证明证明 本题等价于在区间上求函数的最大值和最小值,令,得驻点.比较,知为在上的最小值,
8、而为在上的最大值.由积分中值定理得,即.4.6 判断某些点的存在问题某些带积分式的函数，常常会有要求判定具有某些性质的点的存在的问题，如能巧妙的运用积分中值定理将使问题迎刃而解.下面来看几个实例.例12 设函数在0,1上连续，在(0，1)内可导，且 证明存在。证明 由定理2.1知，存在使得即 所以 由罗尔中值定理可知,在区间内至少存在一点c,使得易知命题得证.例13 设在上不恒为零，且其导数连续，并有.试证明：存在一点，使得：证明 如果，则结论显然成立，下面考虑的情形.由定理2.1以及拉格朗日中值定理可知，存在一点使得 其中，于是可得4.7 求与有关收敛有关的问题例14 设函数在为连续的，有收
9、敛.证明： 收敛并求其值，证明 因，收敛，所以有 由定理2.1知，存在使又因在上连续的，从而有=例15 设函数在，单调下降，且非负，证明 证明 由定理2.1得 又因非负递减，所以故 即与有相同的敛散性，而与有相同的敛散性,于是结论得证.总 结定积分在生活中是随处可见的，遍布于各个领域.而积分中值定理在解决有关定积分的问题时，常常能简化问题或是直接求出结果.例如定积分的极限问题，在不借助积分中值定理的情况下是很难求出结果的，但是运用了积分中值定理就能去掉定积分的积分号，起到了化难为易的效果.总而言之，积分中值定理是非常实用的.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社,20
10、01.2 周学圣 费定晖.数学分析习题集解M.济南：山东科技出版社,2001.3 王勇烈 李铁臣.微积分与应用数学基础M.北京：航空工业出版社,1996.4 黄光谷 黄川 李杨.吉米多维奇数学分析习题集选讲M.武汉：华中科技大学出版社,2006. 5 钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉：崇文书局,2009.6 鲁小能.定积分中值定理在力学中的几个应用J. 陕西师范大学成人教育学院学报,1999.7 邓晓红.积分中值定理的应用J. 贵阳金筑大学学报,2004.8 刘俊先.积分中值定理的应用J.赤峰学院学报，2010.9 刘三阳.各类考研数学全真试题与解答M.西安：西安电子科技大学出版社，2001.10 李世金.数学分析解题方法M.长春：东北师范大学出版社，2001.