硕士学位论文-小波变换在网络信息安全中的应用研究.doc

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1、北 方 工 业 大 学硕 士 学 位 论 文题目：小波变换在网络信息安全中的应用研究研 究 生：指导教师：专 业：计算机应用技术2012年 5 月 30 日北方工业大学 _计算机应用技术_学科 学科带头人（签字）_ 年 月 日学 位 论 文 任 务 书研究生： 信息工程 学院 计算机应用技术 专业 计算机图像处理 研究方向论文题目：小波变换在网络信息安全中的应用研究（ 2003 年 1 月 10 日经院学术委员会批准）选题的来源、意义和价值：该课题来源于北京市科委项目“用于医用CT机中病人呼吸运动所引起的伪影改正及其若干医学图像问题解决”、北方工业大学科研项目“用于超大规模科学与工程计算的小波

2、变换并行算法研究”与北方工业大学大学生科技项目“小波变换在网络信息安全和图像压缩方面的应用研究”。随着计算机网络的普及和多媒体技术的发展成熟，数字化信息可以以各种形式在网络上迅速便捷地传输，信息安全问题成为信息时代的一个隐患问题。该选题具有重要意义，它为目前图像文件以及其他格式文件的信息安全提供了一种新的解决方案，实现了小波域数字图像、可执行文件以及文本文件的隐藏。学位论文工作自 2003 年 1 月 1 日起至 2004 年 5 月 31 日止呈交学位论文日期 2004 年 5 月 31 日答辩日期 2004 年 6 月 20 日 导师(签字)：_独 创 性 声 明本人声明所呈交的学位论文是

3、本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北方工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：李鑫 签字日期：04年6月20日 学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解北方工业大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权北方工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等

4、复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 导师签名：签字日期：04年6月20日 签字日期： 年 月 日学位论文作者毕业后去向：工作单位： 电话：通讯地址： 邮编：本文研究得到以下项目资助1、北京市科委项目“用于医用CT机中病人呼吸运动所引起的伪影改正及其若干医学图像问题解决”2、北方工业大学科研项目“用于超大规模科学与工程计算的小波变换并行算法研究”3、北方工业大学大学生科技项目“小波变换在网络信息安全和图像压缩方面的应用研究”摘要随着计算机技术和网络多媒体技术的广泛应用和发展，人们对计算机的依赖性越来越高，国际互联网也已成为知识经济时代重要传播

5、途径之一。多媒体信息极大地丰富了计算机信息的表现能力，已经成为计算机信息中的一个重要部分，因此对多媒体信息的安全保密工作变得越来越重要。多媒体信息具有信息量大及易复制的特点，因此早期的加、解密算法在多媒体信息的安全保密方面已经显得力不从心。于是，数字世界里便出现了多种能够保护多媒体信息安全的新技术。信息隐藏便是这样一种技术。 小波分析是一种有效的分析工具，已经引起了各领域、各学科的科学家和研究人员的高度重视并取得了显著成绩。以小波分析为工具进行数字图像处理已经是小波研究与应用的热点之一。 本文首先简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，接着介绍了信息隐藏技术的概念及应用，并以小波为工具对数字

6、图像处理进行了有益的探索。利用小波变换的多分辨率特性并结合人眼的视觉特性来进行图像的小波域分解，这样可以获得更好的图像保真度并且比在空域中的隐藏信息嵌入算法更稳健。针对待隐藏文件为图像的情况，由于直接按待隐藏图像的扫描顺序将其嵌入原始图像中时，在嵌入信息后的图像经过图像处理后会对提取信息的质量影响比较大，因此本文提出了一种隐藏算法，考虑在嵌入信息之前对待隐藏图像进行预处理，将待隐藏图像进行置乱。采用面包师变换的方法对图像进行置乱，以求得到更好的提取图像。实验结果表明，采用本文提出的算法，可以得到不可见性与鲁棒性较好的隐藏图像。本文为可执行文件与文本文件及其他各种格式的文件提供了一种通用的小波域

7、隐藏方式，采用整数小波变换对原始图像进行处理，实验结果表明，可以达到较好的不可见性。关键词：小波变换，信息安全，图像隐藏，可执行文件隐藏，文本文件隐藏AbstractWith the wide application and the fast development of the computer and multimedia, people depend more on the computer. And the Internet has been an important spread means of the knowledge and economy time. The multime

8、dia enrich the behaving of computer information, and it has become a signify part of the computer information. So how to protect the safe of the multimedia is eager. The multimedia usually contains more information and it is copied easily, so it is difficult that we protect the safe of the multimedi

9、a through encryption and its converse arithmetic. Just so, there are some new kinds of technology can protect the safe of the multimedia in the digital world. Information Hiding is one of them.Wavelet is a useful analysis tool. It has gotten notable success. More and more scientists and investigator

10、s pay attention to wavelet in all kinds of fields and subjects. The digital image process on wavelet has been a hotspot in the study and application of wavelet.This thesis describes the development history and the basis theory of wavelet briefly. Then we introduce the conception and application of i

11、nformation hiding. And we explore the digital image process with wavelet. With the multi-resolution analysis of wavelet and the vision character of the human eyes we decompose the image in wavelet domain, which can get better image and is more robust than the arithmetic embedded with hid information

12、 in airspace. When the hid file is a image, common image process will affect the attracted information if we hide the hid image into the original image by its own scan order. So we scramble the hid image before it is embedded to the original image. Here we use the baker transposition to scramble the

13、 hid information to get better attracted image. The experiment result indicates it can get a invisible hid image and it is also robust through our arithmetic. With the integer wavelet transform to the original image we apply a general hid means in wavelet domain for all kinds of files especially for

14、 the executable files and text files. The result shows that we can get an invisible image.Key Words: Wavelet transform, information safety, image hiding, executable files hiding, text files hiding目录摘要IAbstractII第一章 绪论11.1 概述11.2 小波变换的发展历史及应用领域21.3 本课题的目的、意义以及论文的结构5第二章 小波分析理论82.1 小波分析简介82.2 二进小波变换102

15、.2.1 基本性质102.2.2 离散二进小波变换132.3 图像信号的二进小波变换152.3.1 基本性质152.3.2 二维离散小波变换162.3.3 二维信号的小波函数及小波变换快速算法18第三章 信息隐藏技术223.1信息隐藏技术的发展223.2信息隐藏技术的分支及术语263.3信息隐藏技术的应用方向283.4信息隐藏的模型303.5信息隐藏检测与提取313.6信息隐藏系统的性能评价333.6.1影响隐藏信息性能的常见因素333.6.2隐藏信息性能评价标准33第四章 基于小波域的信息隐藏技术364.1基于变换域的信息隐藏算法364.2.1算法1（基于变换域的信息隐藏嵌入算法）364.2

16、.2算法2（基于变换域的信息隐藏检测算法）364.2 变换方法374.3 基于DWT的数字图像信息隐藏算法374.3.1 小波分解频带分析374.3.2隐藏位置的确定394.3.3整数小波414.3.4基于面包师变换的数字图像置乱434.3.5基于小波域的图像信息隐藏算法的实现474.4 基于DWT的可执行文件的隐藏算法524.4.1可执行文件的嵌入524.4.2可执行文件的提取524. 4.3实验结果及分析52第五章 信息隐藏系统595.1 面向对象技术595.2 系统功能说明605.2.1 系统功能简介61结论63参考文献65致 谢68攻读硕士期间发表的论文69IV北方工业大学学位论文第一

17、章 绪论1.1 概述自计算机诞生之日起，其技术的发展可谓日新月异，各种新技术、新思路不断涌现。个人计算机操作系统也经历了DOS、Windows 3.x、Windows 9x、Windows 2000、Windows XP、Windows 2003的历程,而各种应用软件也从最初的几个、几十个字节发展到现在的动辄几张光盘，成千上万的共享软件和商业软件也越来越庞大，技术内涵也日趋复杂。进入二十世纪九十年代以来，随着计算机网络的普及，国家、政府、企业以及个人都把网络作为主要的通讯手段。不仅那些往日需经特殊途径和信使才能传递的国家、军事、商业机密，甚至个人的信用卡帐号等等重要信息，在崇尚效率的信息时代，

18、都逐渐转移到网上。多媒体技术的发展日趋成熟，数字化信息可以以各种形式在网络上迅速便捷地传输，图像方式比语言、文字蕴涵更大的信息量,因而成为人类社会在信息利用方面的重要手段。然而，由于互联网络以方便、广泛、快捷的信息交流为目的，这意味着它必须提供便捷的访问方式，虽然这为普通用户提供了方便，但却隐含了严重的问题。一个恶意的用户可以通过电话线自由地在网络上游荡，想方设法地抓取任何他感兴趣的东西，甚至攻击系统，这样的例子屡见不鲜。显然，在蓬勃发展的网络背景下，信息安全问题变得尤其突出。信息安全问题，长久以来一直是密码学、数学和信息论等学科研究的一个敏感问题。计算机网络和多媒体技术的发展，把这个问题带到

19、了一个新的层次。虽然公钥系统提供了一个有效的解决办法，但从根本上讲，它还没有脱离密码学的范畴，仍然是一种加密手段。事实上，仅仅这样已经不够了。一个明显的事实是，经典的加密技术往往会把一段有意义的信息（明文）转换成看起来没有意义的东西（密文），这势必引起那些别有用心的人的怀疑，从根本上造成了一种不安全性。一个简单的例子是新兴的电子商务，它需要的不仅仅是公认的认证机构，还需要一系列切合实际、行之有效的签名和支付体系，这就需要有新的方法应运而生。针对数字图像和视频而言，从民用的收费电视到军用的地图，都逐渐转向利用Internet安全快捷地传输，这就给数字图像信息安全问题带来了前所未有的机遇和新的挑战

20、。信息隐藏技术研究的目的，是把重要信息存放于其它有意义的信息，造成很大的迷惑性，减少了引起注意的可能性。信息安全技术，一直都是国际上的重点研究课题。从加密的表现形式上，对于信息安全的研究，主要分为两个主要的研究方向：信息加密与信息隐藏。（1）信息加密（Cryptography）。关于加密技术的研究经历了长久的过程，已经形成了一个完整有效的体系，有一系列公认的、经典的算法。经典的加密技术往往会把一段有意义的数据流（如：明文）转换成看起来没有意义的数据（密文），如DES和RSA，对待加密的数据流处理成密文，使得在网络传递过程中非法拦截者无法从中获得信息，从而达到保密的目的。事实上，仅仅这样是不够的

21、，如它不能很好解决多媒体中的版权保护等问题。（2）信息隐藏（Information Hiding），也称作数据隐藏（Data Hiding），或称作数字水印（Digital Watermarking）。十年以前，“信息隐藏”一词也许对于很多人来讲都非常陌生，虽然它的历史可以追溯到遥远的古代，但是却一直没有形成一个有自己特点的研究体系。但是现在，数据隐藏技术的发展速度却高得超出了人们的想象。数据隐藏技术本身的魅力，以及它在实际应用中的巨大潜力，使得无论是科研工作者，还是软件开发人员，都对这一新兴的领域投入了极大的热情。它主要研究如何将一个信息隐藏起来，致使可能的监察者甚至不知道有这样一个信息在发

22、送，造成很大的迷惑性，减少了引起注意的可能性。它提供了一种有效的解决多媒体信息的知识产权；而密码学中的监察者是知道有一个秘密信息在发送的，这是信息隐藏与传统密码学的一个本质的不同点。显然，如果将信息加密与信息隐藏这两种方法有机的结合使用，先把重要信息加密，再将之隐藏，可进一步提高信息的安全保密。计算机网络和多媒体技术的发展推动了信息隐藏技术的发展，小波变换由于它良好的时域和空域特性，近几年来在信息隐藏技术的研究领域中表现出极大的潜力。1.2 小波变换的发展历史及应用领域传统的信号分析理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变换，具有一定的局限性。Fouri

23、er变换的局限性主要体现在以下四个方面：（1）为了从模拟信号f(t)中提取频谱信息F()，就要取无限的时间量。使用过去的和将来的信息只为计算单个频率的频谱。（2）甚至没有反映出随时间变化的频率，实际上需要的是：人们怎样能确定时间间隔，是任何希望的频率范围上产生频谱信息。（3）在以外的空间，变换系数不能刻画出f(t)或f(x)所在的空间；（4）因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，由此得到，对于高频谱的信息，时间间隔要相对的小以给出比较好的精度，而对于低频谱的信息，时间间隔要相对的大以给出完全的信息，亦即需要一个灵活可变的时间频率窗，使在高“中心频率”时自动变窄，而在低中心频率时自动变宽。换句

24、话说，Fourier变换无法做局部分析。由于Fourier分析存在着以上不足，在实际应用中人们开始对Fourier分析进行改进，小波分析由此产生了。小波分析包含小波变换和小波级数两大部分内容。小波变换是由法国数学家Morlet于1980年在分析地震资料时引入的。他与Grossman等人首先提出了“小波”（wavelet）概念，建立了完整的连续小波变换的几何体系。其基础是平移和伸缩变换下的不变性。这使得它能将一个信号分解成对空间和尺度（相当于频率）的独立贡献，同时保持原信号信息。因此，可以认为小波函数的伸缩平移系用于可测平方可积函数空间展开的概念是由他们首先提出的。小波级数理论依赖于小波基的发展

25、。1982年Stromberg构造了第一个正交小波基。1986年，M.Smith，T.Barnwell提出了共轭镜像滤波器（QMF）概念，为二进紧支小波基的构造提供了契机。同时，Daubechies，Grassman，Meyer对精确重构非正交小波基进行了研究，给出了小波容许条件并证明了一维小波函数的存在性。80年代后期是小波发展的一个重要时期，出现了大量的正交小波类，例如，Daubechies紧支正交小波，非紧支的Battle-Lemarie小波，频域紧支的Meyer等。另一个重要发展是Vetterli，Vaidvanathan等各自独立提出的多速率数字信号处理方法以及由此得到的M-通道小波

26、理论。1988年，Mallat提出多分辨率分析概念，为此前各种小波基的构造建立了统一的框架。同时将离散小波变换与Daubechies紧支正交小波相结合提出了Mallat塔式分解算法，为离散小波变换建立了快速算法，也促进了小波在信号处理中的应用。小波分析来源于对Fourier分析的改进，从理论上讲，适用Fourier分析的领域都可以通过小波分析来实现，但有些用小波分析能解决的问题用Fourier分析却无法达到满意的效果(例如，对非平稳信号的处理Fourier分析很难得到理想的效果)。小波分析是一种全新的时、频分析方法，是信号的时间尺度(时间，频率)分析方法，具有多分辨分析的特点，在时、频两域都具

27、有表征信号局部特征的能力。它能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分则正好相反，得到的是较高的时间率和较低的频率分辨率。也就是说，小波分析方法，是一种窗口大小(即窗口面积)固定，但其形状可以改变(即时间、频率窗都可以改变)的时、频局部分析方法，这使得小波变换具有对信号的自适应性，小波分析的这些特征都是Fourier分析所不具备的，从某种意义讲小波分析弥补了Fourier分析的不足。随着小波理论和实际应用的结合，人们逐渐认识到小波各种性能的重要性。小波的主要性能指标包括：对称性/线性相位。紧支撑/有限冲激响应（FIR），消失矩，正则性等。两带正交小波无法同时满足这些性质（

28、harr小波除外），Cohen，Daubechies，Feauvean放宽正交性要求，构造了两带正交小波，其中分析与综合滤波器不同，但满足精确重构条件（或称为双正交条件）。Chui等将其推广为有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）互为对偶的非正交滤波器形式，构造了最小支撑的线性相位的样条小波族。小波理论的另一重大发展是Wickerhauser，Coifman提出的小波包概念，它对信号频带的划分突破了小波分析等Q划分的局限性，不仅对低通分量作分解，而且可以对高通分量作分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段，对信号的分析更灵活方便。但要解决的问题是最优选择和信号的自适应最优表示。90年代中后期，

29、小波理论和应用的发展主要有以下特点：（1）计方法的多样性以及与其它学科的相互渗透。1994年，Goodman等人基于r原多分辨分析（MRA-Multi-Resolution Analysis）建立了多小波的基本理论框架，并给出样条多小波的例子。1996年，Donovan，Geronimo，Hardin，Massopust将分形理论中的迭代函数系统（IFS）用于双尺度差分方程组，构造了DGHM多小波。多小波由于能同时拥有紧支性，实对称性，正交性，和高阶消失矩等性质，近年来成为小波研究的热点。1995年，Sweldens提出构造第二代小波（the second generation wavelet

30、）的提升方法（lifting scheme），利用这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移，从而Fourier变换不再适用的情形下的小波基，同时也成为构造第一代小波的有力工具。（2）与传统信号处理的接口研究：小波分析的一个瓶颈问题是，一般小波系统的多分辨空间与信号的离散采样通常是不一致的。如果直接用信号的离散采样值代替信号在多分辨子空间的投影值，那么在Mallat算法的初始化过程中，除了逼近误差外，出斜投影引起了较大的Mallat误差，为了消除这种误差，有两种途径：一种是引入预处理和后处理减小Mallat误差，以Shensa，Walter的工作为代表。这一问题在多小波的Mallat算法尤为重

31、要。另一种途径是构造插值小波，以Donoho为代表。另外，由于实际信号往往是有限长的，采用定义在整个是直线上的小波必须对信号在边界处进行对称延拓，周期延拓等，否则会有明显的边界效应。构造区间小波也可以解决这一问题。（3）面向对象的自适应方法的研究：小波是一种面向对象的处理工具，不同的问题可以采用不同的处理方法，例如为了刻画和检测信号的奇异性，Mallat等构造了一类对信号奇异点敏感的非正交小波，并将其用于信号的奇异性检测和图像的边缘提取，提出利用小波模极大值去噪的方法；利用小波的匹配跟踪方法现在已经发展为基于基本波形库的匹配跟踪方法，在雷达，声纳信号处理中的到初步应用；Donoho提出的基于离

32、散小波变换（DWT）的非线性去噪和压缩方法，已被成功地用于图像处理，信号检测，波形估计和高分辨谱估计等诸多领域。自从96年以来兴起的数字水印技术中，小波也有广泛的应用。目前，有越来越多的人关注小波，研究和应用小波。小波理论方面的研究在不断深入，人们利用多种方法构造具有所需性质和不同应用环境需要的小波基。例如多进制小波，多维小波，M通道小波，小波包，提升小波等。小波的应用领域也在不断的拓展。目前，小波基础理论已成为多媒体信号处理领域十分重要的研究方向。1.3 本课题的目的、意义以及论文的结构随着计算机网络技术和通信技术的迅速发展，信息媒体的数字化和多媒体化已是大势所趋。数字图像具有信息量大、信息

33、表达直观的特点，它的安全保密显然与以往在计算机上所面对的文本数据截然不同。因而，对数字图像信息安全的研究，显然具有深刻的科研探索意义与实际应用价值。今天，数字图像安全保密也逐渐成为政府部门、企业家、科学家、甚至个人用户关注的问题。诸如军事地图、新产品造型等信息伴随着数字图像在计算机及网络上存储和传输，如何保证它们的真实性不被非法撰改或剽窃，已经成为倍受关注的问题。随着各种数字图像编码技术的不断进步和网络带宽的不断放松，人们可以在网络上欣赏到高质量的数字化图像；另一方面，随着传媒业以及娱乐业的发展，各种视频产品应运而生并广为传播。然而，如何保护数字化图像或视频创作者的合法权益、数字化图像或视频所

34、代表的个人隐私或国家机密，面临着十分严峻的挑战。数字图像信息安全是数学、密码学、信息论、计算机视觉以及其它计算机应用技术的多学科交叉的研究课题。数学在计算机科学中的应用是有目共睹的，特别地，在数字图像以及数字视频处理中，数学方法成为核心手段。目前，无论在数字图像压缩还是通用数字图像处理领域，数学模型发挥着重要作用。统计分析、时频分析等数学方法必然会对数字图像信息安全起到理论指导作用。经典密码学对一维数字信号的安全保密提供了良好的基础，许多典型算法都取得了巨大的应用价值。事实上，数字图像在最终的传输信道上不可避免地转化为一维二进制数据流的传输，从这个意义上，经典的加密方法在原则上依旧适用。但是数

35、字图像的某些特性使我们必须考虑怎样去扩展经典的加密方法，并将之应用于数字图像信息的安全保密。信息论在数字图像处理中一个典型应用是数学图像的压缩编码，它提供了对数字图像的能量进行衡量的标准。在数字图像安全保密问题中，从信息论的角度出发，分析数字图像以确保其能量在各种可能的噪音或攻击的情况下依然守恒，从而最佳地分配数字图像的能量到保密介质或信道中去，是数字图像安全保密的必不可少的实现途径。由于在信息隐藏领域，目前大部分研究都是针对数字图像而言，而事实上其他各种格式的文件（例如可执行文件和文本文件）也希望像图像文件一样被隐藏起来进行保密传输，因此研究如何实现可执行文件与文本文件信息在数字图像中的隐藏

36、显得更加重要。研究生论文工作期间的主要内容是小波变换在网络信息安全信息隐藏领域中的应用研究。由于小波分析和信息隐藏都是近几年才发展起来的理论，所以需要花大量的时间阅读和掌握小波理论以及它在信息隐藏方面的应用文献，在掌握基本理论的基础上，我主要从事基于小波变换域的信息隐藏算法以及隐藏算法的稳健性研究。本文工作得到北京市教育委员会科技发展计划项目、北方工业大学校科研项目以及北方工业大学大学生科技活动基金项目资助。本论文所做的工作：1对小波域内的图像分解特性进行了分析，确定了在小波域内进行信息嵌入对策的研究方向。2结合数字图像置乱技术对小波域信息隐藏算法进行研究，提出了一种新的数字图像信息隐藏算法。

37、3对图像隐藏算法在剪切、加噪攻击下的稳健性进行了试验比较，总结了该算法的特点和优点。4提出了一种基于小波变换域的可执行文件与文本文件的信息隐藏方案，并分析了该算法的优缺点。该算法同样也适用于其他格式的文件。论文各篇章的内容安排如下：1第二章详细地介绍了小波分析理论：简单介绍了小波变换的定义及性质，介绍了二进小波、图像二维小波变换以及二维小波变换分解和重构的一种快速算法。2第三章介绍了信息隐藏技术的发展历史、应用领域、算法模型以及隐藏算法的性能评价标准。3第四章详细介绍了基于小波域的图像信息隐藏算法，以及小波域可执行文件与文本文件的隐藏方法。4第五章对论文工作和全文作了总结。第二章 小波分析理论

38、2.1 小波分析简介近年来,由函数h经伸缩和平移得到的一族函数 = (2.1.1)被广泛应用于数学理论和其它领域，此函数被称之为小波函数族。式中，为伸缩因子，为平移因子。这种伸缩和平移的思想源远流长，它已经在信号处理、信号检测、多尺度边缘提取等领域得到应用。根据应用领域的不同可以选择不同的参数和参数。如果让(2.1.1)式中的和在连续变化，则任意函数可以表示为： (2.1.2)如果满足约束条件（也称为容许条件） (2.1.3)式中，表示Fourier变换：那么由(2.1.2)式定义的是到的映射。称为连续小波变换。满足(2.1.3)式的称为允许小波。(2.1.3)式事实上表示，有足够的衰减速度，

39、并且均值为0。这也是在实际工作中所希望的结果。 (2.1.4)典型情况是有些振荡，例如 (2.1.5)在其它一些应用场合，可以限制(2.1.1)式中参数在离散值上的变化。固定伸缩步长，移位步长。则有 (2.1.6)即我们可以看到，对应于大的正值的波形是展开的，同时有大的平移因子与之对应。对于大的负值，情况正好相反，的波形是集中的，小的平移因子就足以覆盖。离散小波变换是和离散小波联系在一起的，它把函数映射到中的数列。 (2.1.7)如果为允许小波，并且有足够的衰减，则变换把映射到。通常，不存在逆，如果存在，即对某些，有 则函数族称为一个框架。这时可以建立从小波系数重建的数学方法。特别地 (2.1

40、.8)这里如果接近于1,则误差项R可以被忽略。实际上，使用(2.1.5)式定义的小波，采用，可以有，重建公式(2.1.8)给出了很好的结果，甚至对于大的，对应的，用它对语音进行分解和重建时，仍有很好的清晰度和可懂度。在有些场合下，小波函数族是相关的，而不是相互独立的，因而离散小波变换域只是的子空间。框架相关性越强，子空间就越小，这在某些场合是有用的（如去除加性噪声）。如果分别接近于1和0，则框架相关性很强，接近于连续小波，它可以用于边缘检测等领域。在另外一些场合，则走向另一个极端，要求去除框架的相关性。人们选取和，（典型值为2），使构成规范正交基。内最简单的规范正交基就是著名的Harr基，即

41、(2.1.9)并且当取时 (2.1.10)构成规范正交基。对1p,它同样构成规范正交基。2.2 二进小波变换2.2.1 基本性质前面我们介绍了小波变换的一些概念。在实际应用中，人们常常采用下面的等价方式定义小波变换。 下式定义了的小波变换 (2.2.1)其中 (2.2.2)如果记，取，则有成立。在大多数情况下，小波模型不要求使用连续的尺度，为使小波变换能够快速数字化实现，我们假定尺度参数序列按取值，这就形成了二进小波变换。一个小波函数就是一个均值为0的函数，令 (2.2.3)在尺度和位置的小波变换定义为： (2.2.4)称函数序列为二进小波变换，这里是二进小波变换算子。下面研究二进小波变换的完

42、备性和稳定性。的Fourier变换为 (2.2.5)假定存在两个严格的正常数，使得对任意的，有 (2.2.6)以保证覆盖整个频率轴，这样的信息不会丢失。我们称任意函数为重构小波函数，如果它的Fourier变换满足 (2.2.7)函数可以从它的二进小波变换中恢复。 (2.2.8)满足上述条件的有无穷多。一种可能是 由Parseval定理可以导出能量方程 (2.2.9)这说明了二进小波不仅是完备的，而且是稳定的。越接近1，它就越稳定。二进小波变换不仅是稳定的，而且是冗余的。任意序列不一定是某函数的二进小波变换。定义算子 (2.2.10)由重建方程可以看出，是二进小波变换，当且仅当 (2.2.11)

43、可以得到：对任意的，有 (2.2.12)其中这个等式叫再造核方程。核的能量均衡了尺度及上的小波变换的冗余度。数字化应用中，在保持小波表示的完备性和稳定性的同时离散化参量是必要的。方法是通过在各尺度上均匀采样参数建立的框架。在的值可以写成的内积形式： (2.2.13)即 (2.2.14)如果采样间隔足够小，函数族是内的一个框架。这意味着对任意的，内积提供了的完备而稳定的特征表示。函数可以用在每个尺度上以间隔的均一采样来表征。2.2.2 离散二进小波变换二进小波变换的离散化引入了几个重要问题，通常输入信号只有有限的分辨率，而我们只知道一个较大的尺度域上的信号。这里将引入一种有限尺度范围上的小波变换

44、进行计算。输入信号有限的分辨率使我们不能在任意精细的尺度上计算小波变换，于是将最精细的尺度归一化为1。为建立这种尺度限制模型，引入一个实函数，它的Fourier变换为： (2.2.15)假定重建小波使是一个正实函数。由重构小波函数应满足的条件，可以导出。如果是实函数，这意味着的积分为1。因此它是一个平滑函数。定义为平滑算子，则 (2.2.16)尺度越大，越多的细节被平滑算子去除。由的Fourier变换得到： (2.2.17)由该式可以看出，在已经失去了的高频成分可以从尺度到的二进小波变换中恢复。我们称函数序列为的有限尺度小波变换。假设存在两个常数使满足对任意的，有 (2.2.18)已经证明对任意的有限能量的离散信号，存在一个函数（不唯一）满足对任意的，有