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1、罗尔定理的推广及其应用摘要罗尔定理是微分中值定理中最基本的定理，也是最重要的定理之一，是沟通函数与其导数的桥梁。一般的数学分析教材中叙述的罗尔定理的条件要求是相当苛刻的，既要求函数在闭区间上连续、在开区间内可导，又要求函数在区间端点处的函数值相等。在这个背景下，本文通过放宽条件推导验证得出了更一般的结论，即广义的罗尔定理；此外还研究了罗尔定理的应用，如函数零点问题、方程根的个数问题，等等，让我们更好的了解这个定理的重要性。关键词：罗尔定理；推广；广义罗尔定理；应用；零点问题；根的个数ABSTRACTRolle theorem is differential mid-value theorem
2、is the most basic theorems and one of the most important theorem, was one of its derivative communication function bridge. General mathematical analysis textbook of narrative Rolle theorem requirement is quite harsh, requests the function is continuous on the closed interval, in open interval differ
3、entiable and demand function in the interval tip function values equal. Under this background, this paper through relaxing conditions obtained is more general verification conclusion that the generalized Rolle theorem; In addition also studied the application of Rolle theorem, such as function zero
4、problems, the number of root, equation of wait, and let us better understand the importance of this theorem. Keywords: Rolle theorem; Promotion; Generalized Rolle theorem; Application; Zero problems; Root number of 目录1 引言1页2 罗尔定理的推广1页2.1区间两端极限都存在下的推广1页 2.2区间端点处极限不存在下的推广3页3 罗尔定理的应用7页 3.1解决函数的零点问题7页 3
5、.2应用罗尔定理推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理10页 3.3解决根的个数问题11页 3.3.1结合不同中值定理证明方程根的个数问题11页 3.3.2罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用12页4 总结13页参考文献 14页致谢 15页1 引言函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组
6、中值定理是一整个微分学的理论基础。罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，它不仅沟通了函数与导函数的关系，也是微积分学中许多定理的基础，罗尔定理的叙述如下：定理 1设函数在上连续，在内可导，且,那么至少存在一点,使得.罗尔定理对所涉及的函数的要求很是苛刻，所以我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对它的条件进行放宽，那么放宽条件后我们能不能得到相同或类似的结论呢?此文所研究的就是放宽条件后的的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）的相关结论。而且还研究了罗尔定理的应用，如解决函数的零点问题、方程的根的存在个数问题等等。2 罗尔定理的推广2.1区间两端极限都存在下的推广推论1 设函数在区
7、间上连续，在区间内可导，其中A为常数，则至少存在一点，使得. 推论2 设在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论3 设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论 4 设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得.推论 5 设函数在区间上连续，在区间内可导，且，其中A为有限实数，则至少存在一点，使得. 推论 6 设函数在区间上连续,在区间内可导,且,则至少存在一点,使得. 推论 7 设函数在区间上连续,在区间内可导,且,其中A为有限实数,则至少存在一点,使得. 推论 8 设函数在区间上连续,在区间内可导,且,其中A为有限实数,则至少存在一点,使
8、得.证明：下面仅给出推论8的证明.其它推论的证明与此类似. 若是常值函数，则结论显然成立.下面只讨论不是常值函数的情形. 在此情形下,不妨设存在,.因为在上连续,根据连续函数介值定理的推广形式可知,存在,使得.再由罗尔定理知,存在,使得.结论得证.2.2区间端点处极限不存在下的推广推论1到推论8都要求区间两端的极限存在,我们于是想在不存在的情况下又是否有类似的结论成立呢?下面我们将结论进一步推广,得到下列结论:定理 2 若函数在区间内可导,且.则至少存在一点,使得.证明: 不妨设.并令,则存在使得对满足的一切,都有.故而存在,使得而对于上述,存在使得对满足的一切,都有,故而存在,使得.又由连续
9、函数介值定理知存在使得,显然,在上满足罗尔定理的所有条件,由此可知存在使得结论得证.定理 3 若函数在区间内可导，且对于，在和内有不同的单调性，则至少存在一点，使得证明 不妨设在区间内单调递减，而在区间内单调递增，则存在使得同理可以证明得到，存在使得则和都不是在区间上的最小值，又在上连续，则存在，使得为在上的最小值.由费马定理可知，.结论得证.定理 4 若函数，且在区间内可导，存在，函数在区间内有相同的单调性，则至少存在使得.证明 不妨设在区间内均为增函数,设,则在区间内均为增函数,并且由函数的单调性得知,可以找到两点使得,由零值定理可知,存在使得.由推论2知,在区间和内分别可以找到并且亦即因
10、此结论得证.定理 5 设在上可导，且满足则可以取到和之间的一切数值.证明 不妨设,现任取,使得,构造函数,那么:因此,则存在,使得在区间内单调递减,在区间内单调递增,由定理3知存在使得,也即故定理得证. 例 设在上可导,且,证明存在,使得. 证明 根据题设所给的条件，由极限的保号性知，存在，当时，即在区间上单调递增；而当时，即在区间上单调递减.由定理3可知,一定存在一点,使得3 罗尔定理的应用3.1解决函数的零点问题3.1.1用广义的罗尔定理可以解决许多求零点的问题:例1 证明 多项式所有根全部都是正根.证明 , 显然是次多项式. 设,则,由广义罗尔定理可知,使得 再设有个零点.且其中则因其中
11、为多项式,则 再应用广义罗尔定理知,存在使得 由归纳法原理知有个正根，而恒不为零，故有个正根，而是次多项式最多只有个根，从而的一切根都是正实数.故得证.例2 证明多项式的一切根都是实数且含于区间中.证明 显然是次多项式. 设,则由及广义罗尔定理知存在使得 又因其中是一个多项式,并设有个实零点,则由 由广义罗尔定理知存在 使得故知有个实零点,而恒不为零,又为次多项式.故知的一切根都是实数且含于区间中.3.1.2应用罗尔定理解决函数零点问题我们研究函数的零点问题，可以根据定理的结论及题目的已知条件，结合题目的特征，采用倒推分析法.即逆向思维方法.从而得出清晰的证明思路;或通过正确分析题意,巧妙的推
12、理判断,寻找适当的辅助函数即构造法来构造一个函数,从而应用罗尔定理来解决函数的零点问题.例1 设在上连续,在内可导,且对于任意的内的,都有,证明:如果在内有两个零点,则在这两个零点之间至少一个零点.分析：利用反证法证明存在性，另外由条件，大胆联想到求导法则.证明 设在内的两个零点即用反证法证明,设在内不存在零点,即可知,对于内的任意一点,都有, 而且在上连续,在内可导,由可知 . 由罗尔定理可知,至少有一点使,即 , 显然, 式与式矛盾,故得证. 例2 设在上连续,在内可导,且,求证:在内至少存在一点,使得 分析:要证只须证即证为此,作辅助函数,利用罗尔定理可得证. 证明：构造函数则 显然，在
13、上连续，在内可导，且，可知故由罗尔定理知：存在一点使即因为所以得证：3.2应用罗尔定理推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理传统的拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是经由罗尔定理证明的，但比较难以理解，下面借助行列式的性质及构造辅助函数的方法可以推导出新的不同的证明方法.例 设在区间上连续,在区间内可导,证明:存在一个,使 并推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.分析:借助行列式的性质,容易联想到需要构造的辅助函数借助罗尔定理可证式.证明 构造辅助函数则，显然在区间上连续，在区间内可导，由罗尔定理可知：至少存在一点使得，即证.当取时, 式简化为,展开后,可得故拉格朗日中值定理得证.当取时, 式化为
14、,即在区间内,时,有故柯西中值定理得证.3.3解决根的个数问题 3.3.1结合不同中值定理证明方程根的个数问题研究函数或者导数所对应的方程的根的个数问题，需根据题目的特点，通过分析法.构造法以及反证法等数学方法.结合不同中值定理的应用,这样就可以找到解题的有效途径,这对培养积极思考.冷静分析和判断以及创新思维等优秀的数学品质,将会有着不小的帮助. 例 设在区间上可微，并且，.证明:方程在区间内至少有两个解.证法1不妨设于是总存在使得当时,有.所以有 同理,存在,使得当时, 取充分小,使得又在区间上连续,由连续函数的介值性定理知,至少存在一点,使得. 在区间和区间中分别应用罗尔定理可知,在区间中
15、至少存在一点,使得在区间中至少存在一点,使得.故在区间内至少有两个解.证法2因在区间上可微,故在区间上至少达到最大值.最小值各一次,又由证法1中的两式可知,最值必在区间内达到,又由于函数在区间内的可微性,在最值点必有,因此, 在区间内至少有两个解.3.3.2罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用 应用一 由于多项式方程在内连续且可导，由罗尔定理可知：在多项式方程的两个根之间，至少存在其导数方程的一个根.因而根据多项式方程的根可以讨论其导数方程的根的存在性、个数以及范围. 例1 设函数讨论方程有几个实根,并分别指出它们所在的区间. 解:由题设可知:多项式方程有四个根:1,2,3,4.显然方程在区间
16、上都满足罗尔定理的条件.应用罗尔定理可知,在开区间内分别存在其导数方程的一个实根,即至少有三个实根.又是三次方程,故只有三个实根,分别在区间内.例2 若方程有一个正根,证明方程必有一个小于的正根.证明：方程 的导数方程为 .容易看出为方程的一个根,由题设为该方程的一个正根.所以由罗尔定理可知:在区间内存在方程的一个根,即方程必有一个小于的正根.应用二 根据多项式方程的根来讨论多项式方程的根.由罗尔定理用反证法立即可得出如下结论:如果方程没有根,那么方程至多有一个根.应用中结合零点定理,还可以证明如果方程没有根,那么方程只有一个根.例3 证明方程至多有一个根，其中为任意常数.证明:显然方程的导数
17、方程没有根.假设方程有两个根,由罗尔定理可知它的导数方程至少有一个根,产生矛盾,所以假设不成立,即方程至多有一个根.4 总结罗尔定理就像函数与微积分的一座桥梁，通过这座桥，我们可以对整个知识网络有个更好的了解。特别是以上罗尔定理的推广及其一些应用，这些应用都是常见的应用，如函数零点的问题、根的个数问题等等都是我们常遇到的问题，也是很常见的，还有对一些旧的问题提出新的见解，像本文就涉及了利用罗尔定理和行列式的知识推导拉格朗日中值定理和柯西中值定理。当然还有很多用处是本文远未涉及到的，但它给我们提供了另一种思路和方法，对培养我们的数学品质是很有益的。参考文献1常庚哲，史济怀. 数学分析教程（上）M
18、. 北京：高等教育出版社，2003.2张凯，唐文琦等. 关于罗尔定理的进一步讨论J.高等数学研究，2010.3潘黎霞. 对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用J.甘肃科技，2005.4黄璞生，蒋传章. 高等数学题解词典M.西安：陕西科学技术出版社，2004.5沈传锦. 谈在高等数学解题中构造函数的方法J.闽西职业技术学院学报，2009.6同济大学数学教研室. 高等数学M.北京:高等教育出版社，1996.7李娟，关晓红. 罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用J.牡丹江教育学院学报，2010.8王名学. 罗尔定理的推广J.湖南科技学院学报，2006.9徐荣聪. 高等数学(上)M.厦门：厦门大学出版社，2005.致谢本论文是在指导老师陈颖树教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。在此谨向陈教授致以诚挚的谢意和崇高的敬意。在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的07数本的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！谢谢你们！最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢您们!15