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1、 钢管订购和运输摘 要管道铺设问题是典型的规划类问题。本题将交通网络线图给定，通过非线性规划实现管道铺设总费用最低。针对问题一，本文考虑钢厂在分配过程中必须先要到达站点，再进行钢管铺设位置的具体设定。首先运用Dijkstra算法合理选择钢厂到达各站点最短路径，再人工计算各路线单位钢管的运费。在站点钢管分配过程中，合理假设钢管的来源只选择与之相邻站点的钢管。本文将管道线路单纯看为一个方向（左右），每个站点都可以向两边铺设，铺设过程中保证相邻两个站点都能将站点间区域铺设完全，在该条件下计算的结果为： 表1-1: 钢厂承包管道铺设钢管数（单位：）厂号1234567钢管数800800100001289
2、12820总费用：万元针对问题二，本文将分配矩阵各元素组成一组数列，利用这组数列的方差相对改变量来刻画购运计划的改变程度。钢厂销价和钢厂产量上限同步影响模型求解，本文将各钢厂钢管销价同步上调10%，将产量上限分别上调300单位钢管。据结果分析得：3号钢厂销价的变化，对总费用的影响最大。而5号钢厂销价的变化，对购运计划的影响最大。此外，7号钢厂销价的变化对总费用没有影响，却对购运计划影响较大。1号钢厂上界的变化，对总费用影响最大，而2号钢厂上界的变化对购运计划影响最大。从企业经济方面考虑，可知，铺设管道的总费用对1号钢厂的依赖性较大。针对问题三，站点网络的设计使问题一的树形结构复杂化，使管道铺设
3、一般化。本文将所有站点组成的网络看成对无向赋权图，沿用问题一中关于管道铺设的基本假设：管道线路上管道来源于与之相邻的站点。则相邻两个站点可以将站点之间的管道铺设完整。建立非线性规划模型，得到表1-2结果: 表1-2: 钢厂承包管道铺设的钢管数（单位：）厂号1234567钢管数800800100008032000500总费用：万元关键词：非线性规划、Dijkstra算法、方差相对改变量、无向赋权图一、 问题重述1、背景知识管道运输作为一种长距离运送液体和气体物资的一种运输方式，是统一运输网中干线运输的特殊组成部分。管道运输不仅运输量大、连续、迅速、经济、安全、可靠、平稳以及投资少、占地少、费用低
4、，并可实现自动控制。除广泛用于石油、天然气的长距离运输外，还可运输矿石、煤炭、建材、化学品和粮食等。管道运输可省去水运或陆运的中转坏节，缩短运输周期，降低运输成本，提高运输效率。因此，合理选择钢管运输方式、安排管道路线是一项十分经济且实用的工作。2、问题重述要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要
5、生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2023262932里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（
6、不只是运到点，而是管道全线）。（1）制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）就（1）的模型分析：分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。B17B16B15B14B13B11B12B10B9B3B7B6B5B4B8B2B1A13258010103120124270108810706270302020304501043017
7、506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001
8、200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二二、基本假设1.管道上每一单位钢管都有机会从任意一个钢厂中选择钢管；2.管道上每一单位钢管都有机会从任意一个站点接受钢管；3.管道上每一单位钢管只接受与他最近的站点所发出的钢管；4.可以允许某些钢厂退出这次钢管铺设工程；5.为了保证钢厂盈利，每个钢厂承包的轨道长度必须大于500个单位；6.钢厂每到一个站点都是选择运费最少路线；7.每个钢厂只生产所需数量的钢管；8.站点分配钢管是从该站点向两侧（或一侧）出发且连续的。三、参
9、数说明1.：离距离为的单位管道；2.：第单位管道选择的钢管是从第个站点发出的；3.：第单位管道选择的运输方法是从第个钢厂先运到第个站点，在再运到第单位钢管所在位置；4.：单位运费矩阵；5.：第个站点与站点之间的距离；6.：第个钢厂承包的管道单位；7.：钢厂供应量和供应方案矩阵；8.：钢管运输的总运费；9：管道设置所需的钢管成本费用；10：管道设置的总费用；11：站点铺向左侧的钢管单位数；12：站点铺向右侧的钢管单位数；13：所有站点运往的钢管单位数；14：与之间的距离；15：标准差相对改变量16：铺向的钢管单位数四、问题分析 图4-1管道铺设的总费用主要包括钢管成本费用和钢管运输费用。每个钢厂
10、钢管销价是不同但是是已知确定的，若每个钢厂发出的钢管数已知，则钢管成本费用就可以确定。而对于运费来说，运费的多少主要取决于钢管运送路径的选择。仅铁路运费而言，铁路运输单价不是固定不变的，所以不能实现路段总费用为单独路段费用的简单相加，要想实现总费用计算的简便，首先要使铁路运输单价固定。求解在一条无尽头铁路上每段铁路单独单价：铁路长度0300300500500700700800800对应路段单价（）0.0670.060.070.060.05 表4-1当铁路总长度为800时，此时相对平均单价为： 当铁路总长度大于800时，仅看多余800的部分，这些铁路路段的单价为：铁路在一定区域内总长是有限的，对
11、于管道铺设来说，所需铁路长更是有限，本文将800范围内铁路出现的概率设为，则本文将铁路单价规定为： 对于给定的线路图来说，连接点的个数已知，且每个点之间的距离、铁路/公路单价都已给定，选取特定路径则运费可以求解。需要注意的是，两个连接点之间的通道不是只有一条，可能有多条也可能不通，在这种情况下，为了使最终选取的总费用是最低的，首先保证在这些路段中选取的通道是所有通道中费用最低的一条。本文运用Dijkstra算法可以求解。钢厂运送钢管到达预设轨道，必先经过给定的站点，因此，为保证运费尽可能小，则首先保证钢厂到达每个站点所选择的路径是所有可选路径中运费最少的一条，而之后各钢厂在进行钢管运输时都是从
12、这些特定路径上选择而不会考虑其他路径，通过这一规定，大大减少了模型的选择条件1。问题一对于每一单位轨道运输方式的选择，假设2将每种运输方式都充分考虑在内。假设管道方向一致（按左右方向延伸），本文将看做起点，每个站点沿管道方向与的距离已知，记为。管道方向一致，可以累加计算出钢管线路总长，将该管道线路分成5171等分，每一份表示一单位钢管，管道上任一单位的钢管都可以计算出与各个站点的距离，则运费就可以具体表示出来。此种建模方法虽然考虑比较充分但是计算量非常庞大，运用特定的计算机软件不能在短时间内得到结果，则需要对假设条件作进一步改进：假设3说明每一单位的钢管只接受相邻两个站点的钢管，忽视其他站点对
13、该单位管道的供应，该假设也具有相当的现实意义。经验告诉我们：如果管道只接受相邻两个站点的钢管，也就可以理解为每一个站点都只供应与之相邻的某个特定区域。在这些选择中确定一种方案是运费和钢管成本费用最小。该种改进需要特别注意每两站点之间钢管在铺设的过程中也是需要计算运费的。问题二该问题可以分为两小题：（1）销价对购运计划和总费用的影响；（2）钢厂产量上限对购运计划和总费用的影响。对于问题（1），当销价给定，通过模型一的求解可以具体计算出钢管购买、运输方案和总费用，因此，若将各钢厂的销价按相同比例上调（本文取各钢厂将销价上调10%），通过问题一模型求解，根据结果判断购运计划和总费用的变化情况。矩阵表
14、示钢厂对于各个站点的钢管供应矩阵，本文用该矩阵前后个元素方差来刻画购运计划改变程度的大小，方差越大，改变越明显，对应钢厂销价对购运计划影响越大；方差越小，该钢厂销价改变对购运计划影响越小。总费用在给定具体数据的情况下就可以实际求解，从该方面也可以很清晰地看出哪一个钢厂于销价的制定策略对于管道市场的影响作用最大。对于问题（2），每个厂的钢管供应上限发生变化，也就是说钢厂的生产能力发生了变化。从经济学角度来说，生产能力提高直接影响生产成本的减少，从而形成自己的价格竞争优势，有更大的降价空间。从该方面来说，供应上限发生变化，其实质与问题(1)大同小异。若单独考虑该问题，类比于问题（1），本文将每个钢
15、厂的生产上限上调某一特定数量，（或者下降某一程度的钢管数量），在确定各种数据的情况下，运用问题一模型，求解改变之后的购运方案，与改变之前结果相比较，通过各元素方差大小判断哪一个钢厂的产量上限对购运计划的影响最大。同理于问题（1），总运费改变程度大小可直接求解，判断哪一个钢厂的生产能力改变对钢管市场影响最大。问题三该问题与问题一唯一的区别就是将钢管轨道做了一定幅度的调整，但是对于本文问题一的分析照样适用于问题三。其中需要特别注意的是：新曾管道相当于在以前的路况下又曾构建了几条公路，这一改变在某种程度上可能会改变问题一中钢厂对于费用最小路径的选择。其次，在问题一中，对于每一个站点分配钢管数量只需分
16、析向左或向右两种情况，而问题三，管道的铺设不仅仅局限于一个方向，四面延伸的特性决定了每个站点物资分配的走向由该段管道两端点相对方向决定。五、模型建立和求解问题一模型 图5-1首先通过Dijkstra算法2确定每个钢厂到达各个站点费用最小的选择路径，人工计算各路径单位钢管的具体运费，将该单位运费矩阵记为：；第单位钢管对于钢管来源的选择表示为，即该单位钢管是由第厂生产且先发配到站点再运送到所在位置，且3：该条件确保钢管的铺设是按单位整数倍进行的；则该单位钢管运费：其中表示该单位钢管是从站点发配的；该单位钢管成本费用：其中表示该单位钢管是第钢厂生产的；记：表示第钢厂的供应量。对于5171单位钢管来说
17、，总运费：总钢管成本：则总费用：目标函数： 但是若这样考虑，计算量太过庞大，在短时间内无法求出具体结果，所以按照假设3的条件下，再将选择条件进行筛选。因为本文的成果都来源于假设3，所以对假设3的合理性进行必要的说明，并将定理的形式呈现：定理：若遵循运费最小原则，且在题中已求出的最短费用矩阵下，段时，当由厂订购钢管并且铺设点管道时，必由运往或站点的钢管向右或向左铺设证明：图5-2在运费最小的前提下，分别讨论位于左边点与右边点，先考虑大于 的站点 对于点， 点开始的一单位钢管可由 ： 则运费 ：则运费 令当，即： 解出: （1）令由上述解看出：由两部分组成，分别是:中点项： 路径项： 若从点开始的
18、一单位钢管只能有上述两种运输方法则只需在运费上满足（先考虑大于 的站点） 式（2）中含有的未知项，为了简化证明结果，当取式（1）的值时满足： （2）即可。将式（1）代入式（2）化简可得： （3）当满足（3）式时，的点，都不能由对于点， 同理计算路径与路径费用相等时的坐标： 考虑小于的点，当时，满足下式： 代入并化简: (4)再考虑小于的站点：对于点，若要使不可能通过小于的点运到点，则需满足： ，化简可得: (5)对于点，即取，看成不可能通过小于的点运到点，所以，对任意的，当满足（5）式时，即可保证不可能运往左边非临近的点。综上所述：若对，都有： 成立，则： 对，必选择证明： 因为与都为已知矩阵
19、与数组，所以可用计算机程序实现所有组合，所以此证明用MATLAB程序实现所有组合。发现所有组合都满足上述命题。推论：段时，点必属于的右端或的左端，根据上述证明，则：当铺设点管道时，必由运往或站点的钢管向右或向左铺设根据定理，假设3成立。在任意两个站点之间，首先假设铺设路径是按离站点由进到远的顺序进行铺设。首先只考虑管道路线相邻两个站点之间的管道铺设情况，离站点近的管道铺设好之后，离站点远的管道必须经过这些铺设好的管道之后才能铺设，在这段公路上，管道运费是不断累加的。记分配钢管在管道路线上的运费为：图5-3钢管总运费为：其中表示钢厂供应量和供应方案矩阵，的元素；钢管总成本费用：总费用：目标函数：
20、用lingo程序求解，得结果万元表5-1S1S2S3S4S5S6S7A10000000A2000017900A300202.99890305.001100A433501330000A505000.001080115.998900A6200000000A7265000000A8030000000A9006640000A100000273.949377.050720A11000041500A1200000860A13000003330A14000006060A15000001800总计800800100001288.9491282.0510问题二： 在问题一的基础上，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对
21、购运计划和总费用影响最大，针对总费用。即对总费用的灵敏度进行分析。针对购运计划，是指购买和运输计划，而既包含购买，又包含运输的量与分配矩阵有关，考虑到方差可以刻画数据的波动程度。本文采取方差的相对改变量来说明购运计划的影响。定义方差相对改变量其中表示初始数据的方差，表示改变后的方差。则越大，购运计划改变越大。在销价方面，本文选取每个厂的销价分别增加10%作为参考。在产量上界方面，本文选取每个厂分别增加300个单位的运量。改变程序中相应的量得到如下表4-3与表4-4表4-3S1S2S3S4S5S6S7初始销价增加10%176170.5170.5176170.5165176总运费129091412
22、90514129361612781141288359128964012781141278114标准差125.38129.80121.38125.80120.51122.17133.04127.88-1.96%1.50%-5.08%-1.63%-5.77%-4.46%4.03%由表4-3可知：3号钢厂销价的变化，对总费用的影响最大。而5号钢厂销价的变化，对购运计划的影响最大。此外，7号钢厂销价的变化对总费用没有影响，却对购运计划影响较大。s1s2s3s4s5s6s7初始上界增加3001100110013002300230023003300总运费12472141267614127061412781
23、141278114127811412781141278114标准差124.58123.56126.16130.25129.70129.01124.49127.88-2.58%-3.38%-1.35%1.86%1.43%0.88%-2.65%表4-4由表5-3可知：1号钢厂上界的变化，对总费用影响最大，而2号钢厂上界的变化对购运计划影响最大。从企业经济方面考虑，可知，铺设管道的总费用对1号钢厂的依赖性较大。问题三 图5-3问题三中，铁路、公路和管道构成网络，本文仍采取假设3：管道上每一单位钢管只接受与之最近的站点所运送的钢管。在问题一中，每个站点与之相邻的站点最多两个。而在网络中，则不一定。因此
24、，本模型的目标函数不变。只需改变约束条件。为此，本文将所有站点组成的网络看成对无向赋权图，其邻接矩阵，其中： 因为是否铺向取决于，即： 引入表示的数量，则表示的数量，从与发出的轨道应该铺满之间的路径，即： （1）且： （2）由式（1）及式（2）知： 当=0时，表示与无需相互铺设。当时，且，表示与相互铺设。因此第个站点需要铺设的总长度为： 根据题意，第个站点需要铺设的总长度等于所有的钢厂运往的总数量，即： 以总运费最小建立非线性规划模型： 其中应用程序可得：万元表4-5S1S2S3S4S5S6S7A10000000A2017900000A301050040300A4046800000A52580
25、27808000A6200000000A7342000000A804800000A9006800000A10000004800A11000031000A12000002100A13000002100A14000004200A15000000500A1600420000A1700001000A18000001300A19000001900A20000002600A21000001000总计800800100008032000500六、模型的评价与改进优点：（1）确定每个钢厂相对于站点费用最小路径的选择使问题分析更加简便；（2）站点和每单位钢管相对位置的确定就决定了该单位钢管的运费和成本，利于理解
26、；（3）考虑情况充分且具有较强的现实意义；（4）每单位钢管只选择相邻站点物资的假设使计算量大大减少；（5）矩阵知识的运用使计算更具统一性；（6）人为假设较少，结果更具客观性。缺点：（1）当假设条件考虑不太充分时，约束条件相对较多，计算量庞大；（2）某些特定条件只考虑本题所给数据的范围，对一般情况不一定适用。七、模型的推广管道运输在当今运输领域内已经占据一定的地位。管道运输以其自身独特的优势，在未来的交通运输领域中必将有更大的发展空间。该模型对管道路径的设置给出了一般性的解答，对于解决管道运输问题有一定的规范作用。管道的铺设与铁路运输轨道设计具有很相似的原理，所以该模型还可以推广到铁路运输方面。
27、当然，该模型在交通运输领域的应用领域十分广泛，在其他方面也有很好的利用价值。合理有效利用该模型解决问题必定会带来更多的经济利益。八、参考文献1作者1 刘来福 作者2 曾文艺 数学模型与数学建模 北京师范大学出版社 1997年2.作者 科曼 算法导论 机械工业出版社 2006年3.作者1 苏育才 作者2 姜翠波 作者3 张跃辉 矩阵理论 科学出版社 2006年附件1：表9-1 钢厂到达各站点的最小费用（针对图一） 1234567A1170.7215.7230.7260.7250.7265.7275.7A2160.3205.3220.3250.3240.3255.3265.3A3140.2190.
28、2200.2235.2225.2235.2245.2A498.6171.6181.6216.6206.6216.6226.6A538111121156146156166A620.595.5105.5140.5130.5140.5150.5A73.18696131121131141A821.271.286.2116.2111.2121.2131.2A964.2114.248.284.279.284.299.2A10921428262576277A11961468651335166A121061569661514556A13121.2171.2111.276.271.226.238.2A14128
29、17811883731126A151421921329787252 表9-2 钢厂到达各站点的最小费用（针对图二）1234567A1170.7215.7230.7260.7250.7260.7275.7A2160.3205.3220.3250.3240.3250.3265.3A3140.2190.2200.2235.2225.2235.2245.2A498.6171.6181.6216.6206.6216.6226.6A538111121156146156166A620.595.5105.5140.5130.5140.5150.5A73.18696131121128.1141A821.271.286.2116.2111.2116.2131.2A964.2114.248.284.279.284.299.2A10921428262575177A11961468651334866A121061569661513756A13121.2171.2111.276.271.216.238.2A1412817811883731126A151421921329787252A16601104480758095A17951458550324663A181001509055453350A1911416410069503655A2011516510570631032A211251751158073026