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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参
2、赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要针对问题一我们建立了两个模型：曲线拟合模型和灰色预测模型。对曲线拟合模型，我们采用了分区间分类讨论的思想，使预测精度有了很大提高；在建立灰色预测模型的的过程中，我们对经典的GM（1，1
3、）模型进行了拓展，建立了不等时距的拓GM（1，1）模型，并对其算法进行了简化。最终得出结果：在未来一段时间内CD4浓度将持续增长，HIV指标将缓慢低速下降，应继续服药。问题二可以分解为两个子问题：对四种疗法的评价和对最优疗法的预测。我们的总体思想是：先将年龄分段，再对每个年龄段进行评价和预测。在评价中，我们将疗效定义为：期望与方差的加权组合。最终结果为：适合青、中、老年的最优疗法分别为：疗法四、二、一。在预测中，我们又引进了指数平滑模型，对不同年龄段对应的最优疗法作出了合理的预测，并进确定出个疗法的最佳治疗终止时间为：青年试验结束后135.68周；中年试验开始后816周；老年试验结束后0.47
4、2周。问题三是对问题二的进一步延伸，我们在问题二的评价基础上，引入花费效应，利用双指标评价模型，得到了不同权重下各疗法的优劣。通过对数据的趋势分析，结合实际情况，引入了比较可靠的权重作为评价参数，得出了各年龄段的最优疗法。另外我们在确定最佳治疗终止时间时，通对过金钱与疗效之间相关系数k的引入，将问题简化为单目标优化问题。在对数据的处理上，我们采用了化区间为点的思想，提高了计算效率；在模型的进一步讨论中，我们对模型的遗留问题与拓展方向进行了研究，使之更具有普遍性。 关键字 曲线拟合 灰色预测 不等时距的GM（1，1）模型 权变理论 指数平滑 双指标评价 问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之
5、一，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每
6、毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。问题：（1
7、）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终
8、止）有什么改变。条件假设与符号说明（一） 条件假设（1） 附件中的数据都是真实、可靠的；（2） 在测试期间，患者接受治疗是连续的；（3） 只考虑药物的正面影响，不考虑副作用；（4） CD4与HIV是相对独立的，作为两个指标；（5） 在测试时刻间隙，患者的病情无急剧变化现象；（6） 参与试验的患者相对于所有艾滋病患者是随机的。（二） 符号说明 Pi: 第i种疗法 yi: 第i个年龄区间 Ti: 第i个测试时间段 Ci: 第i个测试时间段CD4 的累加值 Hi: 第i个测试段的HIVRi: 第i种疗法的综合效应Ti: 第i种疗法的最佳停止时间ci: 第i个测试段的CD4 hi: 第i个测试时间段H
9、IV si: 第i个年龄段的药效的方差 li: 第i个疗法的加权效应（不考虑花费）pi: 第i种疗法的平均治疗费用 ni 第i周检测者的个数问题分析问题一是一个典型的预测问题，我们应在对已知数据进行充分分析的基础上，建立疗效与时间的关系，进行预测。首先，由于疗效的评价标准有两个方面：CD4及HIV。由前面的假设，这两者是相互独立的，这就从总体上讲该问题分解为两个子问题。题目给出的数据量庞大的且看起来似乎无严格的规律，因此必须对数据进行预处理，可以采用加权平均或累积求和的方法进行数据的重生成。问题二也可以分解为两个子问题，即对不同的疗法的综合评价和对较优疗法的预测。对于疗法的评价，需要建立一套完
10、整的评价理论体系，我们考虑用累积效应（期望）稳定性（方差）两个指标作为评价标准，最后需要重新定义一个统一的标准即为这两者的合成。在具体建模中，年龄与时间都是要考虑的因素，我们应对目标分层分析，固定一个来考虑另一个的变化。 问题三是对问题二的扩充，在问题二的基础上又增加了费用这一指标。该问题也是两个子问题，首先对于疗法的重新评价，可以转化为双目标评价问题，通过权重的引入将问题简化为单目标。对于最佳治疗终止时间的确定，我们考虑找出花费的金钱与取得的疗效的相关关系，并用简单的函数表示出来进而对疗效预测与优化。模型的建立与求解问题一该问题是一个典型的预测问题，根据需要，我们用以下两种方法建立模型并将得
11、到的结果进行比较：模型一：曲线拟合模型根据对数据的观察，CD4及HIV随时间有比较明显的变化关系，我们首先考虑运用比较简单的曲线拟合模型进行预测。首先对数据进行预处理：我们使题目所给的离散数据有序化，通过对题目所给数据的特点以及355名患者服药后状况的综合考虑，我们对数据进行以下处理：Step1：对不同周次检测的所有患者的CD4和HIV取平均值；将第i周患者CD4和HIV的平均值分别记为和。Step2：记患者服药后药效在第i周前对患者CD4的积累效应为；则： Step3：将时间（周）分为：、和三段。这样我们就得到了患者服药后不同时刻（周）的HIV平均值和药效对CD4的积累效应。如下表所示：表1
12、1 积累效应随时刻变化表t34567891011Ci1.60541.55621.5211.44281.69861.76892.01911.83171.0924HIV2.95663.22642.99183.15453.08032.88562.46562.653.5ni5323161116120864104t212223242526272829Ci1.65461.96122.36652.09421.97571.88941.43321.6081.4612HIV2.28333.06252.72652 .76812.4443.03082.53754.23.94ni616641385926835t3637
13、38394041424344Ci0.64094.55891.82942.48952.28372.03711.0371.51671.5614HIV03.442.76672.51152.42232.56772.28752.93331.6875ni16155294341665根据以上表格中的数据用Matlab可以绘出与的折线图：图一 a b c a b c（） （）上面的折线图规律性较差，对此我们采用以下两种方案：方案一：剔除异常点近似曲线拟合 由表11可知：第11，28，29，36，44周的检测者较少，这几周的数据没有普遍性，不能真正反映药物的药效。因此我们剔除这几组数据，然后再用Matlab得到
14、下面的折线图：图二 a b c a b c（） （）图二（）-a近似的是一条三次曲线；设其方程为：用Matlab求得该方程为： 如图三（）-a所示。用同样的方法可以得出其他五组数据对应的方程： (图三（）-b) (图三（）-c) (图三（）-a) (图三（）-b) (图三（）-c)图三 a b c a b c（） （）方案二：变量累加后曲线拟合虽然方案一剔除了异常数据，但有的拟合曲线依然很粗糙。在此我们考虑：将CD4和HIV累加几次后再拟合曲线,得到其累加值与时间的函数关系。累加即令：； （1）其中i表示某区间内的第i周。结果累加一次后得到表12的数据。表12t34567891011Ci1.6
15、0543.16164.68266.12547.8249.592911.61213.44414.536HIV2.95666.1839.174812.32915.4118.29520.76123.41126.911t212223242526272829Ci1.65463.61585.98238.076510.05211.94213.37514.98316.444HIV2.28335.34588.072310.8413.28416.31518.85323.05326.993t363738394041424344Ci0.64095.19987.02929.518711.80213.8414.87716
16、.39317.955HIV03.446.20678.718211.14113.70815.99618.92920.617由表12易得出CD4和HIV的累加值与时间近似的是线性关系。用Matlab拟合出各时间段CD4和HIV的累加值与时间的图像如图四所示：图四 a b c a b c 由图四容易看出CD4和HIV的累加值与时间是较为严格的线性关系。用Matlab得到函数关系为： 由（1）式可知： 因此，由（2）式和（3）可得： （4） （5）（4）式和（5）式反映的是各个区间内CD4和HIV的平均水平。由方案一中图三可以看出CD4和HIV随时间上下波动。也就是说该药的药效不稳定。记CD4的第一个
17、极小值点的函数值为：；HIV的第一个极大值点的函数值为：。由图三可以看出在大部分时间段都有：；。由此可见：患者同时服用zidovudine，lamivudine和indinavir总体上效果是比较明显的。由（1）式可知：按我们的累加规则得到的。故由（4）式可知：服药后总体上患者的CD4在大幅度持续增长。这说明zidovudine，lamivudine和indinavir在提高患者免疫力方面有较好的效果。 由（5）式可知总体上患者的HIV浓度先上升后下降，这与方案一中得到的药效的不稳定性恰好吻合。同时也反映出其药效慢的特点。尽管由（5）式我们可以得知在后一段时间内总体上患者的HIV浓度在下降，但
18、是图三中最后一段HIV浓度呈上升趋势。即患者在服药四十几周HIV浓度会在一段时期内呈上升趋势。这说明该种药物组合在总体上可以控制HIV浓度但在短时间内波动性较强，稳定性较差。综上所述：同时服用zidovudine，lamivudine和indinavir3种药物在总体上可以提高患者免疫力（即提高患者的CD4值）可以控制HIV的浓度。但在短时期内病情会出现反弹现象；而且HIV浓度降低的速度较慢。但总体上有一定的效果，应继续服用该种药物组合。模型二：不等时距的GM（1,1）模型由上面的分析可以知道，这是一个只有部分数据的预测问题。从个体的角度来考虑，每个人的数据是较少的，因而我们考虑运用灰色预测系
19、统进行建模求解。我们对问题的重新讨论及简化处理如下：1、对时间的简化。在该问题中，每个病人的测试时间是不相同的，这给我们对个体进行统计、综合处理带来了麻烦。但经过对数据的研究，我们找出了测试时间的几个集中点，即0、4、8、24、40、56，我们分别记为t1、t2、t3、t4、t5、t6。我们把符合（其中的值根据不同的时间集中点适度取值，一般不超过，i=1，2，3，4，5，6，j=j|0j60,jZ的时间tj对应的数据均视为ti对应的数据。由于我们是运用加权平均的思想和化区间为点的方法，这种简化对预测趋势和精度影响不大。因此我们将问题转化为通过加权平均后的ti对应的数据，可以进行一定区间内的灰度
20、预测。2、对数据的处理。在上面的模型中我们采用了加权平均的方法，在本题中，由于灰度预测适合较少数据的情况，我们仍然采用加权平均，我们设tj时刻第k个人CD4及HIV分别为Cj，k、Hj，k，则有j= j= (n为所有试验的人数) 3、对时距的处理。在GM（1,1）基本模型中，要求做一次累加生成。当k只是一个不等时距的时间序列时，这种累加无法实现。我们考虑对原有的等时距GM（1,1）模型进行拓展。我们不妨假设等时距的原始数据是客观存在的，只是由于某些原因是其中的一些数据缺失，因而出现了不等时距的原始数列。进一步假设，我们已得到了与这些原始数据较为符合的GM（1,1）模型曲线，曲线的离散形式为：式
21、中，c=。则上式改为还原后原始数据估计值：（k=1,2,n）不等时间序列时，设初始时间序列值为0，时间序列T（0）（i）=0,t2,t3,tn，则 式中，ti=t2,t3,tm(m为原始数据的序列个数）。我们最终要确定c和a的值，就可以建立灰色系统模型。我们期望得到比较理想的预测模型，要求估计值与原始之越接近越好，对于所有的原始数据，有近似方程组：我们可以根据这m-1个方程确定出较为理想的c、a值。简化起见，我们依靠方程组解得我们可以得到个的值，取其平均值进而得到c的值最后，我们可得到不等时距时灰色预测模型按照上述理论，我们可以分别建立CD4及HIV关于时间t的不等时距的GM（1，1）灰色预测
22、模型。 设CD4和HIV的不等距灰色预测模型分别为经过对数据的处理，得到下列参数值：= -4.582910-4 =6.3592104= 6.580510-3 =-5.1062于是我们可以对未来的几周内进行预测，结果见下表：表13 时间指标55565760708090CD4149.4024149.4708149.5394149.7451150.4329151.1239151.8181HIV2.34752.33212.31682.27152.12681.99141.8646从表中可以看出，我们对未来的预测结果是比较稳定的，即随着服药时间的推移，CD4的数量缓慢上升，疗效是比较稳定的，且我们对结果作
23、处理，可知CD4上升的速度是逐渐加快的，即该疗法的疗效越来越明显。从HIV的变化趋势看，与CD4分析是很吻合的。随着时间的推移，HIV稳步下降，因此应继续服药但从总体上来说，这种药物组合的疗效不是很强，作用效果较缓慢。问题二评价模型的准备与预处理我们首先对每个疗法的分析与讨论如下：1、对疗效的重新定义。在上题中，我们仅仅考虑了CD4或HIV的数量或速度的变化，并作为衡量疗效的标准，在本题中，我们扩大了疗效的定义。它应包含两个方面：1、在一定时期内该疗法的积累效应。我们取一个较为广且较为集中的区间0，N，定义该区间内疗法的积累效应为： =c(N)-c(0)。即为疗法的积累效应。2、在一定时期内的
24、稳定性。我们用方差来表示，记为：2、对影响疗效相关因素的讨论。通过对附件中的数据分析可以看出，疗效随时间的推移有变化的趋势，即时间对疗效有一定的影响；除此之外，我们还发现不同年龄段的人其对同一疗法的疗效也有不同，比较明显的是随年龄的增长有明显的降低趋势，因而我们在讨论疗效的时候，应充分考虑这两方面的因素，作出综合评价。为了模型分析及求解的简便性，我们首先对附件中庞大的数据进行处理，得到简单的数据进行研究。简化如下：1、时刻的等距化。根据附件中测试时刻基本相差8周的前提，经过对数据的粗略估计，我们将治疗时间划分为0、1，9、9，17、17，25、25，33几个区间，并分别压缩为t0、t1、t2、
25、t3、t4几个点，我们给ti的意义是与实际生活中的第i个疗程相似的，它反映了不同的病情阶段或不同的治疗阶段，这样在理论上和实际上都是可行的。2、年龄的区间化。经过对数据的研究发现，采集的样本年龄比较集中于14，62区间内，根据CD4的增长率在不同年龄段的差异，我们将其大致分为三个年龄段，即14，30、30，46、46，62，我们分别记为y1、y2、y3分别代表青年、中年、中老年，分段研究疗效对不同年龄段的影响。3、数据的有效化。由于许多数据的测试时刻不同，且有部分个体的数据量少，我们采取直接剔除的方案，保证数据的有效性。对于有冗余数据的个体，我们只取公共部分的数据，冗余部分也舍弃。对于统计大量
26、的数据来说，这是必要的。有了以上的准备工作，我们具体进行模型的建立，主要思想是分层次逐步求解的方法。分法：步骤一：以疗法为基准，按照疗法序号的大小进行第一次升序排序，得到层次一；步骤二：在每个疗法中，以年龄为基准，按照年龄的大小进行第二次升序排列，并根据讨论进行年龄区间的划分，得到层次二；步骤三：在每个疗法的每个年龄段，进行测试时间的划分和压缩，得到第三个层次，这是我们解决问题的基础层次。年龄1根据该层次，我们得到我们建立评价模型的总体思想：我们以疗法为第一层次，这是比较层次，是我们最终要评价的元素；我们以年龄段为第二层次，即我们分年龄段分别进行各疗法的疗效评价，它包括药效的积累效应和稳定性，
27、是我们进行综合评价的标准；基础层是时间层，它提供的数据为药效的积累效应和方差提供数据来源。这样分层的解释简单如下：我们评价药物的药效应当是以人群个体为基准。通过同一人群中药效的稳定性及不同人群的药效强度的综合研究确定疗法的优劣。当然，一种疗法在不同的时期可能有不同的效果。我们的原则是，对不同疗法药效的评价应当是一个统计规律，在一定时期内的药效是稳定的，所以可以把时间因素分离出来。而在后面的预测问题中，对某一种疗法的药效则主要考虑时间因素的影响，这是我们以后要解决的问题。具体的累积效应与方差求解如下：一、累积效应1、区间的选定。区间应同时满足集中性高和跨度广两个条件。经过观察，我们选择0，32区
28、间，对于满足的数据，我们也视为有效数据。2.计算公式。针对某一特定的年龄段yi的某个个体，有，对于满足的，我们采取以下方式进行处理： 。于是我们得到了个体的累积效应。对于某个特定年龄段的累积效应，我们采用加权平均的方法，得到第yi年龄段的累积效应： 其中，n为该年龄段对应的有效试验人数。二、方差1、方差的说明。我们指的方差是在一定的年龄段区间内，个体的疗效距离平均效应的量度，反应的是疗法在一定的群体范围内药效的波动性，对于评价药效的稳定性是有重要意义的。2、方差的计算。设年龄段为yi，则在该年龄段内的方差为：对数据用matlab进行处理，得到以下结果：表21PcP1P2P3P4累积方差累积方差
29、累积方差累积方差y1-0.21540.6642-0.40510.5790-0.06381.90670.41600.6893y2-0.47240.85880.17141.7748-0.21771.14590.05680.8547y30.08070.53740.06021.3765-0.28200.9543-0.09081.1439结果的讨论：由于结果包含两个方面，即有两个评价标准，我们在讨论时，选取累积效应为第一标准，方差为第二标准。因为一般情况下，患者更多地考虑的是该疗法对自己病情的作用程度，这是首要追求的目标；其次，在作用程度接近的几种疗法中，药效的稳定性就显得尤其重要，对疗效的评价就转化为
30、追求最小的波动方差。于是我们的评价体系基本建立，即首先比较各种疗法在不同年龄段的累积效应，其次在累积效应相近的疗法里选择方差最小的疗法，即为较优疗法。1、我们首先运用观察法直接比较：对于y1，我们先将累积排序：，且只有是大于零的，即是有总体累积效果的，其余累积效果反而越来越差；再考虑方差，有关系，即疗法四的方差最小，稳定性最好。经过综合考虑，显然疗法四对于青少年阶段的疗效是最优的，疗法一、二、三各有千秋，综合考虑，疗法三优于疗法一，最差是疗法二。对于y2,累积排序为：，方差排序为，根据我们给出的体系，疗法二是最优的，其次是疗法四，因为至少这两个疗法的累积效应为正。疗法三比疗法一累积效应大，两者
31、方差基本相当，故疗法三优于疗法一。得到四疗法的优劣为疗法二优于疗法四优于疗法三优于疗法一。对于y3，累积排序为：，方差排序为，很明显，最优的是疗效一，拥有最明显的累积效应和最稳定的疗效；其次为疗法二，其累积效应为正，对于疗法四和疗法三，疗法四累积效应明显优于疗法三，而两者的方差相当，于是得到了四种疗法的疗效优劣关系：疗法一最优，疗法二优于疗法四，疗法三最差。经过以上分析，我们可以总结出各年龄段的各疗法的优劣比较表格：表22y优劣最优次优次差最差y1P4P3P1P2y2P2P4P1P3y3P1P2P4P3结果的进一步分析：以上结果说明，不同疗法对于不同年龄段的疗效是有很大差异的，这与我们前面的分
32、析是非常吻合的。从直观上看，我们可以得出四种疗法的用药量的表格：表23P1P2P3P4平均日用药量（mg）500602.2510001400疗法一的用药量较轻，因而对机体的副作用小（设每种药的副作用基本相同），因而对机体老化的老年人来说比较适合，而对中青年人，显然药物的用量达不到要求，效果较差；疗法二用药量比疗法一稍重，对老年人还是比较适合的。并且由于少量药物的添加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨），是对中青年人的疗效达到峰值，我们推断该种药物具有较强的副作用，这也是对青少年疗效最差的一种解释；疗法三药物剂量较重，对老年人非常不适应，治疗效果最差，同时中年人也出现了这种情况，而
33、青少年最微弱，我们推断这三种药物与年龄有很大关系；疗法四的剂量最重，但对青少年达到了最佳治疗效果，对中老年的影响也不是很大，说明这几种药物对机体的刺激强度比较微弱。2、引入权重法在本题中，我们将疗效分解为累积效应和稳定程度两个方面进行了考虑。通过直接观察法得出的结论有一定的主观性，我们考虑将两个方面结合起来，重新定义新的疗效指标进行评价。首先，疗效应与累积效应是正相关的，即不考虑方差的情况下，累积效应越大，其疗效越显著；其次，我们不考虑累积效应，只考虑方差，也容易知道，疗法的稳定性越好，疗效越显著。用一个指标代表这两个指标的综合效应，不妨表示如下：其中，a、b为比例系数。由于疗效的评价受这两方
34、面的因素影响大小是有差异的，而反映到表达式上就是对应系数的变化。我们不妨设a、b分别为、对应的权重（我们设不同的人群对应的权重是相同的），该问题就转化为不同的疗法的对应的的大小关系的比较。评价模型如下：评价函数： 约束条件： s.t. 令u= ，则=1-u，原模型可以简化为：s.t. 一般情况下，且对于该题来说，u应当取较为大的值，因为毕竟疗效还是以积累效应为主的，其疗效的波动性只是反映疗法的局限性，这显然是次要因素，为此，我们在进行权重的取值时，依据上述原则得不同疗法对不同u值的综合效应： 表24 (y1)uP0.60.70.80.91.0P1-0.3949-0.3500-0.3052-0.
35、2603-0.2154P2-0.4747-0.4543-0.4399-0.4225-0.4051P3-0.8009-0.6067-0.4324-0.2481-0.0638P4-0.02610.08440.19490.30550.4160表25 （y2）uP0.60.70.80.91.0P1-0.6270-0.5883-0.5497-0.5110-0.4724P2-0.6071-0.4125-0.2178-0.02320.1714P3-0.5890-0.4962-0.4033-0.3105-0.2177P4-0.3078-0.2166-0.1255-0.03430.0568表26 (y3)uP0
36、.60.70.80.91.0P1-0.1665-0.1047-0.04290.01890.0807P2-0.5145-0.3708-0.2271-0.08350.0602P3-0.5509-0.4837-0.4165-0.3492-0.2820P4-0.5120-0.4067-0.3014-0.1961-0.0908由上表可以看出，对于取不同的权重，各个疗法对对应的疗效是有差异的，随着u制的增大，累积效应因素的影响越来越强，相反，方差的效应越来越弱，直到u为0时影响降到零。根据我们的原则，在主要考虑累积效应的前提下运用方差进行适度微调，我们取u=0.9，对应的权重为。此时得到的结果如下表：表2
37、7优劣y最优次优次差最差y1P40.3055P3-0.2481P1-0.2603P2-0.4225y2P2-0.0232P4-0.0343P1-0.3105P3-0.5110y3P10.0189P2-0.0835P4-0.1961P3-0.3492可以看出，该处理方法与前面所用的直接观察法十分常吻合的，这说明了疗法的优劣还是比较明显的。预测模型：二次指数平滑预测考虑到疾病治疗的过程性和药效的积累效应，我们用二次指数平滑法预测各年龄段对应的最优疗法及未来的治疗效果。首先对数据进行处理；Step1：将各年段对应的最优疗法在测试时期分为四个疗程。即0-8周，9-16周，17-24周，25-32周。S
38、tep2：Step1中的四个疗程对应着五个时间点，即：第0、8、16、24、32周；记第i周CD4的指标为：。然后令Step3；求出在各个区间的平均值。得到表表2-8yi ti08162432青年2.64662.92413.10322.86763.0093中年2.94232.98252.89922.58082.6166老年2.94593.02083.18962.82722.7674以青年为例用二次指数平滑法预测继续用600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine治疗的效果。以第0、8、16、24、32周作为检测时间，记为：t ；由
39、于时间间隔相同。故令：t=1、2、3、4、5；并记为t=i时检测得到的数据的平均指标.。则为时间检测值的一次指数平滑值；为时间序列的平滑指数，且。下面用指数平滑法对药物的疗效进行预测。Step1: 选择，确定初始值和。分别选择=0.3和=0.7；由于n=510，故取时间序列中前3个数据的平均数为初始值，即：。Step2：计算一、二次指数平滑值。以=0.3（结果见表2-9）为例，一次指数平滑值按公式计算；如：二次指数平滑值按公式 计算；如： 当=0.7时照此法计算（结果见表2-10）Step3: 计算a,b值.计算值，依据公式进行，以=0.3为例（结果见表2-9） 如：2.7665计算值，依据公
40、式 进行，以=0.3为例（结果见表2-9） 如：时值得求法与相同，计算结果见表2-9。Step4:计算的理论预测值并作预测误差比较。.理论预测值按公式计算 ：以为例（结果见表29） 若，当t=1时，和不存在，所以，无法计算；当t=2时，；所以，2.7445 时，理论预测值计算原理与是完全相同。（计算结果见表210）。表2-9t/8周CiS(1)tS(2)tatbtYt+T12.64662.89132.89132.891322.92412.81792.86932.7665-0.022033.10322.84982.2752.87210.00962.788542.86762.95282.88073.02490.03092.881753.00932.90832.93942.8722-0.01333.055862.8639表2-10t/8周CiS(1)tS(2)t