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1、学 士 学 位 论 文论 文 题 目： 数学模型在人口预测中的应用 年 级 专 业： 统计学 学 生 姓 名： 学 号： 指 导 教 师： 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 数学模型在人口预测中的应用数学模型在人口预测中的应用学 生: 专 业: 统计学指导教师: 摘要 人口问题是我国发展的关键因素之一。无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。人口规划是城市和土地利用总体规划的一项重要的控制性指标，人口模型是否合理，将对未来的地区经济和社会发展造成影响，影响各方面的协调可持续发展，因此准确的预测未来人口发展的趋势，制定合理的人口规划和人
2、口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。运用马尔萨斯人口模型、Logistic 增长模型和线性回归分析方法 ,利用吉林市统计年鉴人口数据对磐石市20102020 年的人口发展规模做出预测。预测结果显示3种模型均取得了良好的模拟效果，但马尔萨斯模型和Logistic模型的模拟精度比线性回归更理想，在模型验证过程中，前两者的平均先对误差较小。故采用马尔萨斯模型和Logistic模型的平均模型对人口进行预测，结果为2010年达到人口549055人，至2020年磐石市人口人数达到563320人。关键词：人口预测；马尔萨斯模型；Logistic增长模型；拟合检验，- I -数学模型在人口预测中的应用AP
3、PLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN PREDICATION OF THE POPILATION Name: Hongjian Xu Major:StatisticTutor: Yujing DuAbstract Population is one of the key factors of our countrys development. Population studies are of great significance both for our understanding of current economic development situat
4、ion and forecast of future economic development. The population planning is an important controlling indicator for urban and land use planning. Demographic model is important for future regional economy, social development and all-round sustainable development, so accurate prediction the future tren
5、d of population development, making reasonable population planning and population distribution program is of great theoretical and practical significance. The scale of population development of Panshi City of 2010-2020 is predicted with help of Malthusian population model, logistic growth model, lin
6、ear regression analysis and Statistical Yearbook of Jilin City. Prediction shows that three models were achieved good simulation results, but the Malthusian models and the Logistic models simulation accuracy is better than linear regression. During the model verification process, the first two model
7、s average error is smaller. Therefore the average model of the Malthusian model and Logistic model has been used to predict the population, the result for the population of Panshi City is 549,055 by 2010, and 563,320 by 2020Key Words：Population prediction, The Malthusian model, Logistic growth model
8、, Fitting testing- IV -目 录摘要IAbstractII前言11 磐石市理念人口变化趋势分析21.1 总人口及其增长率的变化趋势21.2 人口指标的变化趋势42 模型预测42.1 马尔萨斯人口模型52.2 Logistic 增长模型72.2.1 模型介绍72.2.2 模型参数求解82.2.3 人口预测92.3 线性回归分析112.3.1 回归模型122.3.2 结果预测142.4 模型验证情况143 未来人口规模的预测结果15结论16参考文献17致谢18数学模型在人口预测中的应用前言人口问题是制约我国经济发展的一个重要问题之一。无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未
9、来经济发展的预测，人口问题都具有十分重要的意义。振兴东北老工业基地的建设发展是加快全国经济发展的一项重要措施，磐石市地区位于东北地区的吉林省，正处在经济快速增长的过程中，同时也面临着人口、资源和环境的压力。不论人口问题、资源问题，还是环境与发展问题，最终都是因为人口数量失控而引起的，所以适度的人口规模是经济、社会、资源和环境保护协调发展的强有力保证。人口预测是指以规划区域或单位现有人口现状为基础，并对未来人口发展趋势提出合理的控制要求和嘉定条件即参数条件，来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法。一般对于人口预测，我们需要充分采集资料、确定预测参数，通过建立预测模型来进行，包括数量、性别、年龄
10、等。人口预测方法有很多，比如：马尔萨斯模型、logistic增长模型、GM（1,1）灰色模型法、时间序列法、回归分析预测法、劳动平衡法、带眷系数法等。本文运用马尔萨斯人口模型、logistic增长模型和线性回归分析的方法，对磐石市人口规模在未来10年的发展做预测。1 磐石市理念人口变化趋势分析磐石市幅员面积3960平方公里，耕地9.2万公顷，全市总人口54万，城镇人口20万。该城市在吉林中南部，地理条件优越，交通便捷。随着经济的发展，人口数量在不断增长，这是中国城市的共同特点。选择磐石市作为本文人口预测的对象，具有一定的针对性和代表性。1.1 总人口及其增长率的变化趋势磐石市人口从1949年的
11、22.2977万人增长到2009年的54.1395万人，见下表一。建国50年时间增加了31.8418万人，平均年增长率为1.82%。在这一过程中，人口增长率总体趋势是在下降，但也有些年份增长变动比较大。磐石市1949年至今总人口的变化趋势主要变现为：总人口数逐年增长；隔年之间的人口增长相对平稳。其中，从1952年1980年，年增长幅度比较大，年增长速度也比较迅速，年平均增长率为3.332%。但1990年比1989年相对增长比较大，年增长率为1.5569%，这是由于人口普查造成的数据异常；1991年2009年，年增长速度比较缓慢，且增长速度下降，年平均增长率0.061%。新世纪以来，磐石市总人口
12、在原有基础上，进入了一个更低的增长期，期间还出现了负增长，其中2003年，2005年，2009年的增长率分别为-0.015%，-0.03%和-0.059%，21世纪的年平均增长率0.3018%。下表1是考虑到数据的系列性，本文数据采用吉林市统计年鉴，图1是年增长率的散点图。今年来，磐石是人口增长速度比较缓慢，但是每年出生人口的绝对数还是在增加，未来人口数量庞大和人口持续增长将在相当一段时间内并存。表一 磐石市1949年-2009年的总人口表年份总人口年份总人口年份总人口194922297719704835231991535553195022626019714975381992534164195
13、122260119725019381993533820195223736419735063291994529673195324369719745093141995535007195425251419755158221996530837195525875619765237761997527738195625997919775280711998525217195726143219785313171999526772195826908519795338582000527001195927420919805382122001527011196030330319815342752002527776196
14、1331500198253630820035276981962361481198353575820045385331963375962198453032820055383711964393967198552397220065390311965395058198652238020075407511966411046198752079620085417151967419586198852238320095413951968428126198952746519694568311990535677(详见参考文献1、7、8、10)1.2 人口指标的变化趋势1995年人口自然增长率1.007%，出生率1.
15、34%，死亡率0.44%,比1994年的年增长率提升了1.784个百分点，成为在20世纪90年代后唯一一次人口的快速增长，但是相对与2004年相比，仍然低1.046个百分点。总之，从人口走势图2看，从1990年后，磐石市的人口自然增长率与出生率呈降低趋势，其降低幅度较小，而人口死亡率变化较小，呈稳定状态。这表明磐石市人口指标基本处于稳定的现代人口在生产类型，主要得益于振兴老东北工业基地的经济政策，以及人们在思想观念、经济、生活方式上发生的深刻变化，从而影响到全民婚育观的转变，这更容易地促进了东北经济的可持续性发展。2 模型预测磐石市的人口统计资料比较完整，为人口预测提供了较为充分的依据。本文选
16、择总人口指标，并以建国以来的人口历史数据为依据进行人口预测，因为总人口受外界因素及政策的影响较小。本文选择磐石市19492004年的统计数据来建立模型，选用20052009年的数据来验证模型，采用马尔萨斯人口模型、logistic模型和线性回归分析4种方法来预测磐石市未来规划期内的总人口数。2.1 马尔萨斯人口模型英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1978年提出著名的人口模型，是基于指数增长的模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，即随着时间的增加，人口按指数规律无限增长。模型如下：，其中，为最初年人口数，r为年增长率，k为规划年限，y为规划年限为k的总人口数。磐石市从1
17、949年到2004年的平均人口增长率为1.65%，设定20012020年人口的自然增长率做高、中、低3个方案预测。其中，高方案认为20012020年的磐石市人口自然增长率保持现有水平1.65%；低方案认为20012020年人口的自然增长率为19492004年的正最小值0.002%，中方案取其平均值0.826%，则按照低、中、高方案得到20012020年人口自然增长率的三种方案表二： 磐石市2001年2020年平均人口增长率预测表年份低方案中方案高方案200120200.002%0.83%1.65%对应上述3组年平均人口自然增长率的方案，以2000年为基础年，根据马尔萨斯人口模型，可以得到200
18、12020年磐石市总人口的高、中、低3种不同方案的预测值，见图3，横坐标表示规划年限k，纵坐标表示总人口数k 图3： 20012020年磐石市三种方案预测曲线比较上述的3种方案，低方案比较保守，预测结果比较偏低，趋势基本处于平缓状态，高方案的预测结果偏大，基数过于庞大，对现实以后的人口政策不是很符合，中方案预测介于两种方案之间，预测结果始终，基数基本处于一个平稳状态。综合磐石市人口发展趋势和人口发展目标，研究认为中方案预测是比较符合磐石未来人口发展的动态趋势，经过人口预测能协调可持续发展。所以到2010年，磐石市的总人口规模为，从而可以对磐石市20012020年的人口进行预测，到2020年为止
19、，磐石市人口总数达到585190，见下表三。表三：20012020年磐石市人口预测年份总人口年份总人口年份总人口年份总人口20015322802006545730201155951020165736302002534950200754845020125623002017576500200353762020085512002013565110201857938020045403102009553950201456794020195822802005543010201055672020155707802020585190（详见参考文献1、3、8）2.2 Logistic 增长模型2.2.1 模型介
20、绍人口问题是影响中国发展的重要因素，准确预测出未来人口的发展趋势对区域的整体发展规划有重要的指导意义，考虑到中内对资源的竞争，可以假设人口增长率r是人口x（t）的函数r（x），即不同密度的人口有不同的净增长率。Logistic假设r（x）是x（t）的减函数，且是x的线性函数，这里的r相当于x（t=0）时的增长率，即人口不受环境和资源限制的固有（内禀）增长率，显然实际增长率，为了明确参数s的物理意义，引入最大人口数量。则当x=时，人口的增长率为零，即，在Logistic的线性假设下，有以下的Logistic模型11： （1）Logistic模型是1938年Verhulst2Pearl在修正非密度
21、方程时提出的，他认为实际增长率不是内禀增长率，而是在一定的环境中种群的增长总存在一个上限，当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增长率就要逐渐地减少，因而也称为Verhulst2Pearl方程。用变量分离法求得方程（1）：先由（1）求导得到，若要求此方程，先求其，得到方程组，通过方程组得到下面的解：=， （2）其中。 设初始人口,对（1）求导得，令=0，得到人口增长率的极值点是，即当时人口增长率最大，前一半为快速增长长期，后一半为慢速增长期。解曲线有三个显著特征；一是单调递增性；二是增长有限性；三是形状为S形。(详见参考文献2、11)2.2.2 模型参数求解 从公式（2）可以看出想要预测人口数量，
22、需求参数，r或a，b，对人口增长过程利用曲线拟合，实点到模型的垂直距离的平方和（即残差平方和）是最小值，即达到最佳拟合，采用最小二乘法求的最小值，其实就是通过求并令两者为零，即：利用matlab软件进行处理可以估算，r的值，对解进行倒数处理得到，利用等长度时间所对应的三个人口数量，利用时间的等差性求相关参数，则有： （3）； （4）；取倒数得到 ， 。相减有 （5）。 根据（5）得到 ，从而我们有： （6）。以下用数值微分对函数采用线性拟合化的技术来估计参数 由Logistic模型可知只要对参数进行估计即可，主要方法和步骤如下：第一步，求参数，利用等时间长度的3个人口数量分别对应三个年份的人口
23、总数，其中，则可以通过（5）得到的关系式求得r，通过关系式（6）求得； 第二步：求参数a，b，将的值带入（2）式并变形为，两端取对数得，令，则较为繁琐的指数形式的解就可变换为线性函数，利用MATLAB软件可以拟合出A、B的值，从而求出的值，进而确定出人口模型解的具体形式。得出a=1.428，b=0.1536。(详见参考文献1、3、9)2.2.3 人口预测根据19492009年人口数据，从中抽取3个年份数据进行参数求解，根据3个等年间隔数据取，其中，取t=30，分别以1949年，1979年，2009年数据进行参数估计，其中使用matlab进行求解，得到r=0.1536,；通过r，求出=54146
24、0，把计算得到的带入（2）采用第三部分的线性变换并拟合一步，估算a=1.428；b=-0.1536从而求出人口预测的具体形式为 （7）可以直观地看到数值变化情况，（见图4）3）模型检测：我们用2005年2009年的磐石市人口进行检验，详见表四，表四：20012009年磐石市预测人口和实际人口的比较年份实际人口预测人口误差百分比（%）2001527011541200141892.6922002527766541230134542.5492003527698541270135722.572200453853354129027570.512200553837154132029490.54820065
25、3903154134023090.42820075407515413606090.1132008541715541370-345-0.0642009541395541380-15-0.003从表四看出此模型相比其他的模型有一定的优越性4)预测结果：从模型预测的数据分析看出，磐石市人口在长时间的发展过程后趋于稳定，人口波动幅度没有与建国以后的人口基数那样具有比较大的变化幅度。从此模型预测结果可以看出磐石市人口将在未来10年之内趋于一个稳定的状态5455万人口，能促进磐石市的可持续发展表五：20002020年磐石市人口logistic模型预测表年份预测人口年份预测人口年份预测人口年份预测人口200
26、15412002006541340201154140020165414302002541230200754136020125414102017541440200354127020085413702013541420201854144020045412902009541380201454142020195414402005541320201054139020155414302020541450 2.3 线性回归分析回归分析研究的主要对象是客观事物变量间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的统计方法。回归分析是通过建立统计
27、模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态、模型预测的一种有效工具。回归分析方法在生产实践中的广泛应用是它发展和完善的根本动力。回归分析预测中常用的方法之一，是将已知的统计数据作为变量抽样的观察结果，通过考察这些数据之间存在的数量关系，设想出表达这种关系的方程时，然后通过最小二乘来估计方程中的参数，由此确定变量之间数学模式。由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。随机误差项主要包括下列因素的影响：1.由于人们认识的局限或时间、费用、数据质量等制约未引入回归模型但又对回归被解释变量y
28、有影响的因素；2、样本数据的采集过程中变量观测值的观测误差的影响；3、理论模型设定误差的影响；4、其他随即因素的影响。(详见参考文献1、5、8)2.3.1 回归模型采用线性回归分析模型预测人口变化趋势，首先根据画散点图5，根据散点图知模型为：，其中Y表示总人口数；X表示年份序号，1949年为1，1950年为2，以此类推，2004年为58；a和b为待定系数。19492004年的磐石市总人口数据带入，进行线性拟合，求得模型的参数估计值为： a=5423，b=285870；因此回归方程为：，模型检验：a的置信区间是2.5587,3.1586，b的置信区间是0.0458,0.0626；残差图为：表明模
29、型建立结果相对比较理想。图5：一次线性回归曲线拟合图2.3.2 结果预测将20012020年的序号5574分别带入方程，可以预测出20102020年各年份的总人口数（见表六）。表六：线性回归模型预测20102020年磐石市人口数年份总人口年份总人口年份总人口20106329422014654634201867632620116383652015660057201968174920126437882016665480202068717220136492112017670903(详见参考文献3、4、8、9)2.4 模型验证情况本文利用磐石市19492004年统计数据建立预测模型，预测2000202
30、0年的人口发展规模，通过20002009年的人口预测值与实际统计值之间的比较，得出预测误差的大小。表七：三种模型方案预测结果比较表马尔萨斯模型logistic模型线性回归模型年份实际人口预测人口相对误差预测人口相对误差预测人口相对误差20015270115322801.000%5412002.692%5787129.810%20025277665349501.361%5412302.551%58413510.681%20035276985376201.880%5412702.572%58955811.723%20045385335403100.330%5412900.512%59498110.
31、482%20055383715430100.862%5413200.548%60040411.522%20065390315457301.243%5413400.428%60582712.392%20075407515484501.424%5413600.113%61125013.037%20085417155512001.751%541370-0.064%61667313.837%20095413955539502.319%541380-0.003%62209614.906% 通过误差对比分析，得到线性回归的平均相对误差为12.043%，马尔萨斯人口模型的平均相对误差为1.352%，Logi
32、stic模型的平均相对误差为1.039%，从此看出，马尔萨斯模型和logistic模型比较于线性回归模型还是有一定的优越度的，综合考虑各方面因素，本文采用此两种模型的均值来预测磐石市人口。3 未来人口规模的预测结果本文采用马尔萨斯人口模型和Logistic模型预测值的平均值作为预测结果，预测到在2010年磐石市人口将达到549055人，在2015年人口基数将达到556105，净增长人数为1425人，在随后的年份变化中，净增长人数基本上趋于稳定，人口基数也逐渐稳定，这样的人口更有利于磐石市的经济，生活水平全方位的协调可持续发展。表八：模型对未来人口的预测结果年份马尔萨斯预测人口logistic预
33、测人口预测结果20105567205413905490552011559510541400550455201256230054141055185520135651105414205532652014567940541420554680201557078054143055610520165736305414305575302017576500541440558970201857938054144056041020195822805414405618602020585190541450563320结论总结本文3种模型在研究中的模拟及其预测结果，可以发现：（1） 线性回归模型和马尔萨斯人口模型、lo
34、gistic模型均能满足预测精度要求；（2） 线性回归模型与另外两个模型相比，预测精度略低，但是在实际操作中显得比较直观，简单易行，适用于基层简便要求精度比较低的预测中。（3） 马尔萨斯人口模型和Logistic模型，在本研究中是较高精度的，比较适用于较专业研究中。人口增长和人口预测受多方位因素影响，现实中的人口增长模型都不能由一个具体模型完全的体现和预测出来，具体采用何种模型，应该按照实际的情况选择确定，如能将各种定性和定量模型有机的结合将是比较理想的预测的方法。参考文献1李秋红，何先平. 数学模型在人口增长中的应用J太原师范学报，2008,7（2）2李振福. 长春市城市人口的Logisti
35、c模型预测J.吉林师范大学学报，2003（1）3刘卫国. MATLAB程序设计教程M.中国水利水电出版社2005（1）4王能超. 计算方法算法设计及其MATLAB实现（M）.高等教育出版社2005（1）5何晓群，刘文卿. 应用回归分析（M）中国人民大学出版社200726杨丽霞，杨桂山，苑韶峰.数学模型在人口预测中的应用以江苏省为例J，长江流域资源与环境，2006,15（3）7 王万茂. 土地利用规划学M。北京：中国大地出版社，20008 吉林市统计局.统计年鉴：19492009Z.吉林市：吉林市统计出版社9胡良剑，孙晓君. MATLAB数学实验M.高等教育出版社10李长虹，宋占先. 大学应用文
36、写作教程M.吉林人民出版社2005（1）11李华中.Logistic模型在人口预测中的应用J.江苏石油化工学院学报，1998,10（2）致谢本研究及学位论文是在我的导师杜宇静教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，她严肃的科学态度，严谨的教学精神，精益求精的工作作风，深深地感染激励我，从课题的选定到论文最后的落定，杜老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，从开题报告的撰写到论文初稿上交，以及二稿的修改，一直到定稿，杜老师百忙之中孜孜不倦地帮助我深刻彻底地理解模掌握模型的核心。在她悉心指导下，我从对logistic模型的一知半解到现在的分析理解，这些一切都离不开杜老师的帮助和支持。感谢李光楠、黄京等同学在我撰写论文期间给予的帮助，感谢他们在我遇到困难和问题的时候帮我解决问题或提出一些建设性的建议，这篇论文的成功落稿离不开他们的帮助。感谢和我攻读四年美好大学生活的2007级统计学本科的全体同学，感谢文理学院的所有授课老师，你们使我终身受益。感谢所有关心、鼓励、支持我的家人、亲戚和朋友。19