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1、关于除雪机除雪模型的数学建模论文 摘要近年来我国遭受着极端天气的影响；冬天常会突降大雪，路上积雪成堆，严重影响了交通秩序和人们的日常生活，因而此时就需要除雪机来清扫积雪。对该问题的分析有，首先是考虑下雪的速度是多少，下雪的快慢影响着雪的厚度。不管怎么样除雪机的功率是有限的，当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，雪的厚度同时也影响着除雪的进度。由此可知除雪的进度是受多方面的因素的影响的，除雪的进度和雪的厚度是变量，通过找出除雪进度和雪积累的厚度的一些关系进行进一步的分析。考虑下雪的速度是否是可变的，如果是可变的进行合理的假设。对于问题一，要得出除雪机是否能完成除雪任务，首先考虑降雪速度是否为
2、可变的，根据假设除雪机开始工作时降雪速度是变量还是常量建立两个模型。模型I：假设降雪速度一直保持以0.1cm每秒的最大速度持续下了一个小时。据降雪速度可由线性方程得出除雪机从雪厚为0.5米工作到雪厚为1.5米时的时间，进而得出除雪机的除雪距离。模型II：假设降雪速度不是常量，降雪速度在前30分钟匀速增加至最大速度，即雪深度增加量为每秒0.1厘米，后30分钟逐渐减速至0，由mathematica分析作图，并结合线性方程与积分方程的得出除雪机工作时间，进而算出除雪机除雪距离。对于问题二，计算当雪下得多大时除雪机就停止工作了，可以假设除雪机停止工作时，即雪厚为1.5米时，恰好完成除雪任务，进而得出结
3、论，以此建立模型III。关键词：积分 降雪速度 雪的厚度 除雪进度。 问题重述近年来我国遭受着极端天气的影响；冬天常会突降大雪，路上积雪成堆，严重影响了交通秩序和人们的日常生活，因而此时就需要除雪机来清扫积雪。有条10公里长的路，每当路面平均积雪0.5米时，就需要除雪机来清扫路面。但问题是往往除雪时天空仍在下雪。这样雪的深度慢慢增加，除雪机工作速度自然慢慢下降，直至无法工作。下雪的大小影响除雪机的工作速度。那么除雪机能否完成这10公里长的路的除雪工作？当雪下得多大时除雪机就无法工作了？ 问题分析对上述该问题的分析有，首先是考虑下雪的速度是多少，下雪的快慢影响着雪的厚度，直接影响着除雪机的工作进
4、度。不管怎么样除雪机的功率是有限的，当雪达到一定的厚度时除雪机将无法正常工作，雪的厚度同时也影响着除雪的进度。由此可知除雪的进度是受多方面的因素的影响的，除雪的进度和雪的厚度是变量，通过找出除雪进度和雪积累的厚度的一些关系来进行进一步的分析。考虑下雪的速度是否是可变的，如果是可变的进行合理的假设。据题目要求路长10公里也可以考虑地域行的影响。在分析给出问题时，我们可以将其理想化，通过建立的模型与理想化的模型进行比较，在除雪时不必考虑雪的自溶，不必考虑其他车辆的通过对除雪进度的影响。不必考虑路面与除雪机的宽度是否相同。进行多方面的建立模型，对其结果进行比较得出合理的结论。 模型的建立与求解 问题
5、假设 总共下了一小时的雪； 下雪的速度是可变的，但下得最大时地面上雪深度的增加量为每秒0.1厘米； 当雪的深度达到1.5米时除雪机将无法工作，且途中除雪机会出现故障意外停止； 在没有雪的路面上，除雪机的行驶速度为10米/秒； 除雪机一次性能将路面上的积雪清除干净，即除雪机的宽度与路面宽度相同； 关键词：积分、速度、时间、距离、除雪厚度。 符号说明t除雪机工作时间恰好完成工作时的降雪时间v除雪机开始清扫时的速度除雪机在无雪路面上的速度降雪速度除雪机被迫停止的速度k比例系数a除雪机加速度d雪的厚度除雪机开始工作时雪的厚度除雪机停止工作时雪的厚度S除雪机扫过的距离4、模型的建立与求解 模型假设下雪的
6、速度保持不变，雪厚一直以每秒0.1厘米的厚度增加，一直持续下了一小时，除雪机在厚度为0.5米时开始工作，到1.5米时除雪机停止工作，则在此期间内除雪机的工作时间为 （1-1）设 (1-2)当除雪机停止工作时,又（米/秒），得k ,故 （1-3）即除雪机开始工作时 10 （1-4）由除雪机雪最开始工作时雪的厚度可以得出除雪机开始工作时的速度v，又已知除雪机被迫停止工作时（雪的厚度为1.5米时）的速度为，此时除雪机扫过的距离为s。则由线性微分方程得 (1-5) (1-6)列出线性方程组最终求得除雪机加速度（米/ 根据该假设降雪速度为常量进行分析并用mathematica做出除雪车除雪速度与时间的线
7、性关系图。如图1V/米每秒t/秒图1 下雪速度不变时除雪机的速度与时间变化关系(2) 模型II假设下雪速度不是常量,在前30分钟速度稳步增加到0.1厘米每秒,在后30分钟速度渐减小到零,用mathematics软件输入（19）和（110）两个式子，做出图2。图2 一小时内时间与降雪速度的关系 （19） （110）对以上两个式子积分，可得到积雪的厚度如式 根据图2可知，当t=2438（秒）时，积雪厚度达到1.5米。由式并结合图2可得，当积雪厚度为0.5时，所用时间为1342秒。此时可除雪机开始工作，所以除雪机的工作时间（秒）根据和可得(米)根据该假设降雪速度不为常量进行分析并用mathemati
8、ca做出除雪车除雪速度与时间的线性关系图。如图3。V/(米/秒)t/秒图3 模型二中除雪车速度与时间的关系故此假设不成立，除雪机不能完成工作。 (3)模型III 据题目要求路长10公里也考虑地域行的影响。在分析给出问题二时，我们可以将其理想化，通过建立的模型与理想化的模型进行比较，假设积雪厚度为1.5米时，除雪机扫雪距离恰好达到10公里，完成除雪任务，完成任务时，除雪机速度为0。则有 （2-1）解得 (米/)又由 （2-2）得(秒)进而可以得出恰好完成除雪工作时的降雪时间 (2-3)解得（厘米/秒）根据降雪厚度为1.5米时，除雪车恰好完成任务为临界点进行分析并用mathematica做出除雪车
9、除雪速度与时间的线性关系图。如图4v/(米/秒)t/秒图4 模型三中除雪车速度与时间关系故根据以上结论可以得出结论当降雪速度大于0.034厘米/秒时，除雪机就无法进行。 模型评价及应用1、模型的优缺点及存在的问题针对问题1，在模型一和模型二中进行了比较合理的讨论，得出了相应的结论。此模型既有优点但也存在者不足。优点：现实问题往往是复杂的，我们可以根据现实生活中的除雪问题来建立数学模型，简化问题，并利用相关的数学知识和软件进行解答。对问题进行分析，并经过情景假设来得出结论，来探讨模型的合理性。对此模型我们用mathematica软件进行编程分析下雪速度、下雪时间对除雪机工作的影响，使结果更贴近实
10、际。当我们得出结论后，再将其应用到实际问题中去，解决问题。这样就达到了简化问题的目的。缺点：但是假设给解题带来了一些绝对化的因素，使模型理想化，致使结论与现实中存在着一定的差距。从而达不到解决问题的理想效果。而且，在建立模型时，如果引入过多的变量容易引起“维数灾”，不利于编程处理。如在模型一中，我们假设下雪量不变，对除雪机与积雪量的关系进行分析，得出除雪机无法完成10公里的工作量。但是现实生活中的雪是无法以固定不变的加速度下降的，这样会使我们得出的结论存在一定的偏差性。2、模型的评论与应用评论：经过对以上几个问题的分析，我们可以看出在下雪速度不同的时候，除雪机完成工作的能力是不一样的，所以在下
11、雪时，对雪速、积雪量等因素的分析对判断除雪机能否完成工作有很重要的作用。因为，如果在较大的降雪速度时，让除雪机工作，到最后除雪机很可能无法完成工作，这样就浪费了一些资源。如果在较小的降雪速度时，让除雪机工作，除雪机则能完成任务，所以，建立数学模型对除雪机问题进行分析很重要。我们可以找到合适的时间段来让除雪机完成任务。应用：冬季降雪比较多，降雪速度的大小影响着降雪量。而降雪量又与积雪厚度有关，在降雪速度很大的情况下，积雪厚度很容易达到汽车不能行驶的临界厚度，造成交通瘫痪，极不利于广大人民群众的出行，对国民经济都会造成极大的损失，而且，道路积雪极易造成交通事故，对人们的人身安全构成了严重威胁。因此
12、，冬季，安排除雪任务，显得极其有必要，它能避免道路交通能力的瘫痪，保障国民的人身安全，满足人民生活出行的需求。所以除雪工作就显得尤为重要。但是由于除雪机自身能力的限制，除雪机会在积雪达到一定高度后无法正常工作，这会影响除雪工作的完成。这就需要我们对降雪速度、降雪量、以及降雪时间等因素的分析，决定在降雪量为何时时开始工作。 参考文献1 大学数学实验 杨爱民 刘春凤 屈静国编著 北京：科学出版社，2012。2 数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003。3数学建模 沈继红等编著 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2006。 4 数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成礼智编著 长沙：国防科技大学出版社，2003 。