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1、一道不等式例题的推广及应用高中数学必修第二册（上）第12页例3： （1）文1对（1）式进行指数推广，笔者认为可以进一步推广为:引理 当且仅当时取到等号。证明：因为 所以 证毕。下面我们考虑对其项数推广。注意到引理的结构，两边同时加上，则可得+即，所以有：定理 证明：因为所以 （2）由引理及所以 （3）结合（2）（3）可得定理成立。证毕。推论1 推论2 证明：由定理， 证毕。根据推论2，容易得到：这就是n个正数的算术平均数不大于它们的平方平均数。下面我们结合例题，介绍一下定理及推论的应用。 例1已知求证：（文2的推广结果）证明：根据推论1，有 同理，所以 证毕。注：该题的次数可以推广到的情况。例
2、2（第31届IMO预选题）设求证：证明：令=由定理可知： ，所以原不等式左边=注：该题可以推广为： 证明 例3（第三届澳门数学奥林匹克第二轮试题第3题）设A,B,C为锐角三角形之内角，n为正整数，求证： 证明：因为A,B,C为锐角三角形三内角，所以为正数且有 又因为所以 （4）由推论2 （5）结合（4）（5）可得结论成立。证毕。例4（02年加拿大数学奥林匹克试题）解：由定理可知： 所以原不等式得证。注：上题也可以推广为：例5（第24届全苏中学生数学竞赛题）求函数最小值。解：由推论2等号取到条件是所以当， y取到最小值一般地，函数的最小值为。例6（1980年列宁格勒数学竞赛题）设 求证： 解：由推论2：所以= 证毕。注：（1）从上面的证明过程可知，原不等式可加强为： （2）考虑到上题的项数，可以推广为：则 （3）考虑到次数问题，进一步可推广为： 总之，利用定理及推论，不仅可以解决高次齐次和不等式的证明和最值问题，而且容易得到这类问题的推广形式，应用非常广泛，限于篇幅，这里不再赘述。参考文献1 黄寿珏“提出问题数学创新的基础中学数学，2000，92 李建国一道不等式试题背景研究及推广数学通讯，2004（19）