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1、应用三次函数的图像和性质解题函数是贯穿中学数学中的一条主线，每年高考对函数的考查所占比例都相当大。现行高中数学教材增加了导数内容后，各地高考及其模拟试题中，频频出现了以三次函数为背景，考查导数在三次函数的单调性、极值与最值问题中的应用。下面就对一元三次函数的图象与性质进行研究，并解决这类问题。一元三次函数的图像可分为两类：（一）在整个定义域内是单调的无极值的，其形状与类似；（二）在整个定义域内有3个单调区间（两增一减或两减一增）必有一个极大值和一个极小值。具体分析如下：设方程的判别式为，时方程的两个实数根记为（1） 当函数的单调增区间为；单调减区间为，在处取极大值；在处取极小值。大致图像如下面
2、几种情形：xXyx1x2yxXx2x1yx1x2oXoXoXx（2）当，函数在上单调递增，无极值。图象与相类似， xXyXoX，当即时，图象都有一个对称中心，其中xXyXoXxXyXoXxX（3）当时，函数单调减区间为，单调增区间为，在处极小值，在处取极大值。图为：xXyXoXxXyXoXxXyXoX xXyXoXxXyXoX(4)当时，函数在上单调递减，无极值，图象与相类似，同理也有一个对称中心，其中。xXyXoX例题选讲例1已知其中，试判断a，b，s，t的大小 stabxXyXoX解：由可知它的图象与x轴有3个交点且的系数大于0，又由且，根据结论，可知的简图为由图可知：例2方程的实根的个数
3、（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 yXxXoX解析：，令又的系数大于0 1 3 由结论可知，函数的图象是先增后减的，且在取得极大值为，在处取得极小值为所以，方程实数根的个数只有一个，其中所以实根范围为。例3已知实数满足，则解析：，则，方程，的系数大于0，由结论可知函数在R上都是增函数，而由结论可知（1，3）是函数图象的对称中心。x13yo为图象上两点，即xyo例4已知函数若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2，求a的取值范围yox解：，方程（i）时，函数简图如图：其中（0，b）是图象的对称中心，满足题意（ii）时，函数的简图如图：恒成立，即恒成立，综合（i）（ii），a的取
4、值范围为。例5直线与函数的图象有相异的三个交点，求a的取值范围解：是一条平行于x轴（a=0时x轴重合）的直线，所以只需研究的图象变化即可，因为，由的方程的两根为-1，1，的系数大于0，由结论可以知，在上递增，在-1，1上递减，在上递增。，简图如下：-1-22xy1o 因为要使与函数的图象有相异的三个交点，必须有也容易看出：若无交点，； 若有一个交点或；若有两个交点或。例6若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间内为增函数，试求：实数a的取值范围解：方程的两个根为，若a=2时，在整个定义域的单调增，所以不符合题意，故，又的系数大于0，函数图象应有3个单调区间且先增后减再增，由已知在（1，4）内减函数，在区间内为增函数，可知在x=1时取极大值，在x=a-1处取极小值。从而得到的简图a-1yxO 1由图可知：，所以a的取值范围为5，7。例7已知，在上是增函数，在上是减函数，且的一根是，（1）求c的值（2）求证：还有不同于的实数根，且成等差数列（3）若方程恰有一解，求的取值范围解：（1），由题意，函数在0处取到极大值，即c0（2） 方程的一个根为，故， ，方程的判别式为，且不是此方程的根，所以还有两个根，且，故成等差数列。（3）的解集为，的解集为，由题意，即，故 又方程只有一根，函数的简图如图：xy2bo2bxyo由图可知 或者。记，在时，所以在时为减函数，故，。