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1、双曲线中几个存在性问题的探究在双曲线内容教学中，经常会碰到有关存在性问题，归结起来，有以下几种情形要特别加以关注。一、过定点的双曲线的弦中点恰为该定点，则此弦所在直线之存在性的探究问题1 过定点P(x0,y0)作直线L交双曲线mx2ny2=1(m0、n0)于A、B两点，若存在这样的弦AB，它的中点恰为点P，则点P的坐标应满足什么条件？解： 设A(x1,y1)，B(x2,y2)代入双曲线方程，两式相减，再利用x1+x2=2x0, y1+y2=2y0得直线AB的斜率K=（ y0），直线AB方程：yy0=K(xx0)代入双曲线方程整理得：m（ny02mx02）x2-2mx0（ny02mx02）x n
2、y02+（ ny02mx02）2=0当m（ny02mx02）0时，则ny02+（ ny02mx02）2=0 此时点P（0，0）当m（ny02mx02）0时，判别式= 4 m ny02（ny02mx02）（1+ ny02mx02）0得mx02ny021，且y0若y0=由图形对称性知，当点P满足mx02ny021时，存在直线AB，此时垂直y轴，记，则等价于 点所在区域为两条渐近线所夹且有不含双曲线的上下两部分点所在区域为双曲线内的部分即含焦点的左右两部分所以 点P(x0，y0)的坐标应满足的条件是：或或（0，0）.二、过双曲线焦点且长度为定值的弦之存在性的探究问题2 过双曲线(a0,b0)的焦点F
3、(c,0)的所有直线中，是否存在被双曲线截得弦长为定值L的直线AB，如果存在,有几条?解： 若过F的直线AB交双曲线两支上,则弦长|2a若过F的直线AB交双曲线同一支上,设过F的直线方程 ty = x-c 代入双曲线方程整理得 记A、B两点横坐标分别为x1、 x2 x1+x2=当且仅当直线ABx轴时，上式取到等号.弦长|AF|+|BF|=（ex1-a）+（ex2-a）(e为双曲线离心率)若2a 即e；若=2a即e=；若2a即1e时 若L，则这样的直线AB有且只有四条；若L=，则这样的直线AB有且只有三条；若2aL，则这样的直线AB有且只有二条；若L=2a，则直线AB有且只有一条；若L2a，则这
4、样的直线AB有且只有四条；若L=2a，则这样的直线AB有且只有二条；若L2a，则这样的直线AB不存在.当1e2a，则这样的直线AB有且只有四条；若L=2a，则这样的直线AB有且只有三条；若L2a，则这样的直线AB有且只有二条；若L=，则直线AB有且只有一条；若L1）（）所以当时，点不存在.四、过定点与双曲线有唯一公共点的直线之存在性的探究问题4 过点P(x0,y0)作直线AB与双曲线 (a0、b0)有且只有一个公共点，问这样的直线AB是否存在，如果存在， 则点P的坐标应满足什么条件，并指出此时直线的条数.解： 当点P（0,0）时，此时符合条件的直线不存在；当点P在其中一条渐近线上（除中心外）即（且x02+y020），则可引一条与另一条渐近线平行的直线，此时又只能引一条切线，所以有且只有二条直线满足题设要求；当点P符合或00、b0)恒有公共点，求双曲线的离心率的范围.解： 直线代入双曲线消去y得 当b2=a2k2时，若m=0，则不满足题意 当b2a2k2时，判别式= e2=所以双曲线离心率的范围 .