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1、高中数学论文新课程理念下对数学实验的认识、实践与思考摘要：数学教学是“数学活动”的教学。在教学过程中应经历“再发现”，“再创造”的过程，而“数学实验”正是发现和创造的一个重要途经。在数学教学中引入“数学实验”已成为新的课题，笔者经过几年的实践研究表明：创设“数学实验”，不仅能深刻理解数学概念牢固掌握数学知识，而且能激发学生学习兴趣，培养他们探索精神和创新能力。关键词：数学实验 作用 思考新课程标准的一个突出特点：就是通过情景材料感悟知识的生成过程，数学实验就是其中的常用方法。数学家欧拉曾说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。数学实验是数学学习的一种方法。在数学实验中，可以通过实验的手段、产
2、生的现象、出现的结果，进行判断、推理、归纳、总结，能更好地感悟数学知识产生的背景、发展的动机、解决的问题。本文就以几个实验为例来体会，感悟新课标的内涵。一、 通过数学实验，培养学生思维的严密性和逻辑性思维的严密性和逻辑推理能力是一个高中学生必须具备的能力,也是平时提高学习效率,考试时答好试题的重要一环。但是现在的高中学生在这一方面很缺乏。针对学生的这种情况，我在学生进入高中的第一堂数学课就和他们一起做了以下实验。把一个边长为8cm的正方形剪成如图（1）所示的四块，记为1、2、3和4。然后把这四块重新组合成一个如图（2）所示的长方形。然后请他们计算两个图形的面积。同学们很快得到图（1）的面积为6
3、4cm2，图（2）的面积为65cm2，于是就出现面积增加了1cm2的结论。 1234图（2）图（1）14 23 在学生的惊奇中又做了第二个实验。再把另一个边长为13cm的正方形照样也剪成如图（3）所示标号为1、2、3和4的四块。这四块也正好拼成一个边长为21cm和8cm的长方形如图（4）所示。同样经过计算面积可得现在面积减少了1cm2。4图（3）1123图（4）4 32为什么正方形通过重新组合面积会发生变化呢？这不可能呀？学生在不断地重复以上问题。这时向学生指出其实面积既没有增加也没有减少，我们不要被表面现象所迷惑。ACB3412图（5）上述拼图引起面积增加或减少的原因是这样的：在图（1）中1
4、、2、3和4这四快图形没有填满整个长方形。如图（5）所示，中间还留着一条狭缝。这条狭缝的面积正好是1cm2，它与整个长方形的面积的比的比值很小（1：65），拼图时不容易察觉到，因此我们才错误地认为面积增加了1cm2。同样在在图（3）中1、2、3和4这四快图形3412图（6）发生了重叠现象。如图（6）所示，重叠部分的面积正好是1cm2，它与整个长方形的面积的比的比值更小小（1：168），拼图时更不容易察觉到，因此我们才错误地认为面积增加了1cm2。学生就要问：怎么知道图（5）中间留有一条缝而图（6）中间重叠呢？证明如下（上课时只证明第一个结论，第二个由学生自己完成）证明：实际上只需证明A、B、C
5、三点不在同一条直线上即可。因为，所以。 通过本次实验，使学生明白要想得到正确无误的数学结论，不能依靠简单的观察和实验，还要依靠严密的逻辑推理。开展数学实验教学活动，可以培养学生理论联系实际的作风和一丝不苟的态度，而这种品质正是将来走上社会做好任何工作所必须的。二、 通过数学实验，探索概念的形成通常数学概念教学是教师给出概念，学生加以记忆,但学生往往对其本质属性理解不够，一知半解，更别提运用了。正如列夫托尔斯泰所说：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”新理念就要求教师在概念教学中注重知识的生成，引导学生从已有的知识背景和活动经验出发，提供大量操作、思考与交
6、流的机会，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程，进而在增加感性认识的基础上，帮助学生形成数学概念。例如在圆锥曲线中学习椭圆、双曲线、抛物线等有关概念时，笔者就是通过以下实验而进行的，学生反映良好。1， 椭圆概念的教学课本上的引入是这样的：取一条一定长的细绳，把它的两个端点固定在小黑板上的和两点，当绳长大于和的距离时，用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢地移动，画出一条曲线。（请两位同学帮忙，将图形画在黑板的中间位置）（实物演示椭圆生成过程）这样做很直观也很容易接受，但是学生可能会有这样的疑问：图（8）图（7）“这个定义记是比较好记，但是这个概念是怎样来的。”为了打消学生的疑问，在教
7、学中我先做了以下实验。实验内容：准备一张纸片（如图7）（O为圆心， F表示圆内除 O点以外的任意一点。）将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过F点（图8），将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。图（9）观察看到了什么？直线围成了椭圆（图9）想一想为什么？设折痕为l，那么 F点关于直线l的对称点 N一定在圆弧上连接 ON，交l与 P点，连结 PF，则|OP|+|PF|=|OP|+|PN|= 半径长（定值），然后再做书本上的引入的实验，从而得出椭圆的定义。这样得出的椭圆定义，我相信学生的记忆会更深刻。2.双曲线实验内容：准备一张纸片(图10)（O为圆心，F为圆外一点）将圆纸片翻折，使翻折上去的
8、圆弧通过F点如图11，将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。观察看到了什么？想一想为什么？图（11）图（10）图（12）直线围成了双曲线如图（12）设折痕为l，那么 F点关于直线l的对称点 N一定在圆弧上延长 ON，交l与 P点，连结 PF，则|PF|-|OP|=|PN|-|OP|= 半径长（定值），于是得到了双曲线的定义。3.抛物线。1）活动：在一纸上画一条直线及线外一点（焦点），将点与直线上任意点对折，如图13示方法，将纸折20到30次，形成一系列折痕。2）观察、猜想：众多折痕围出一条抛物线。 3）发现:抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离。4）形成定义：（学生概括，教师补充）
9、平面内与一个定点图（13）F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。由于将这个实验折纸引入“圆锥曲线”一章的教学中，学生学得轻松并能深刻理解概念、牢固掌握知识，同时培养了学习数学的兴趣和科学探索的精神。学生动手（或动脑）做实验，不仅能加快对知识的理解和记忆，而且更能激发学生的学习兴趣，培养科学探索精神，使数学教学迈进崭新的天地。三、 通过数学实验，创设数学情景心理学研究表明：经过精心设计的好的问题情境，有利于启发推动学生的思维。问题解决之时，就是新知识获取之时，更是思维得到训练，能力得到提高之时。通过数学实验可以创设有趣的情景为课堂教学服务。
10、例如在讲用二分法求方程的近似解这一课内容时，因为本校学生大多来自农村，对二分法较难理解。因此我在上课前先让他们做一个实验：猜一只篮球的价格（仿照中央电视台幸运52），谁猜中所用的次数最小篮球就归谁。在学生猜的同时我在黑板上记录每一次的猜价，实验结束后，引导同学们对竞猜的价格进行总结归类：引导怎样猜次数最少？学生也很容易得出猜两次价格的中间这样总次数会更少。到此二分法的具体应用已经完成，接下去学生学习二分法的概念和求法和步骤就显得很容易“上手”。 又例如在讲必修（1）中3.2.1几类不同增长的函数模型课题时，为了让学生明白指数模型是“爆炸式”增长的。在上课时做了以下实验。 准备一张白纸，让一位同
11、学上来。把白纸对折一次，再对折一次，学生感觉很轻松。这时乘机问他能否对折10次。学生当然回答能。这时就让学生动手实验，但是一般来说只能折8次左右，就失败了。 此时学生对指数的增加速度有了一个初步的认识。接着笔者在黑板上写下这样一句话“给我一张白纸，我就可以登上月球”。（学生大笑），这时我说，如果一张白纸的厚度是0.1mm。我只要对折50次，它的高度就超过月球，不信试试。列式请他们计算：0.00000001*250 km112589999km。超过地球和月球之间的距离。 通过这样的实验，使学生在惊奇中体会指数模型的“爆炸式”增长。此，通过数学实验创设情景能非常有效的激发学生的学习兴趣，从而提高学
12、习效率。四、通过实验，发现数学定理、公式传统数学课堂教学忽略教学原理的来龙去脉,压缩了学习知识的思维过程,往往造成感知与概括之间的思维断层,既无法保证教学质量,更不可能发展学生的学习策略。新理念提倡重视过程教学，在揭示知识生成规律上，让学生自己动手实验，自己去发现数学原理，从而理解更深刻。RR “球的体积公式”这一课时我的教学实验如下。RRRR提出V球=？（让学生进行猜想） 教师出示模型让学生观察、对比。问：V圆柱 、V半球、V圆锥、这三者之间的大小关系如何？学生易看出：V圆柱 V半球V圆锥 即 R3 V半球R3 即R3 V半球R3有一些学生会大胆提出他们的猜测：V半球=R3 实验验证和学生做
13、一次实验：取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器，将圆锥容器内用细砂装满，并倒入半球内，再用细砂装满，再倒入半球容器内，恰好半球容器被装满。这一实验还表明：2V圆锥=V半球，即V半球=R3，即为R的圆柱挖去一个等底等高的圆锥所剩下的部分的体积，这也为球体积公式推导过程中的参照体构造了基础。直观易懂的实验能激发学生的学习兴趣，培养学生的探索能力。五、 借助数学实验，降低学生学习中抽象性的难度，突破课堂中的教学难点许多数学规则具有严谨性和抽象性，不容易理解和掌握。对于教学中的一些疑难点，如不借助于一定的实验手段，就不能调动学生思维的积极性，也很难达到预定的教学目标。比如在教学“抽
14、签有先有后，对各人公平吗？”这一阅读材料的教学。学生对书本上的结果“公平”很不理解。这时我就让同学们每三个人一组进行抽签实验，重复20次以上。把结果记入。并填在下面表格上（其中某组的数据如下）甲先抽的情况乙先抽的情况丙先抽的情况实 验 次 数383838甲抽中的次数101312乙抽中的次数151412丙抽中的次数131114最后累计全班同学的试验结果，基本得到相似的结论。这样就顺利的突破课堂中的教学难点，提高学生学习兴趣，从而提高学习效率。再比如在学习反函数这节课时，在上课时我和学生做了以下实验，我发给他们每人一张卡片，每张卡片上写有不同的数字（从1-50）。让他们把自己分到的卡片上的数字乘以
15、2加3，再乘以5减去25，只要他们把计算结果告诉我，我就能马上猜出是写有什么数字的卡片。通过这样的实验就引发了学生学习这堂课的好奇心，老师是怎样算出来的。从而培养谈们强烈探索新知识的愿望。在学生强烈的求知欲望下，学习反函数的难点就很容易突破。AB又比如许多同学对“球面上任意两点，经过该两点的大圆劣弧和长最短”产生疑问。如果仅仅用初等数学知识也很难使学生明白，若用微积分的知识去严格论证，那太费劲了。我就用一个“地球模型”做实验（如图14），在球面上选取上海和悉尼两点，然后把这两点用一根细绳连接让学生去探索、分析，当绳子处于什么样的位置时，两点间的距离最近。学生借助于实验，很快明白：通过经线时距离
16、最近。从而得出“大圆劣弧的长最短”，学生就觉图（14）得很自然，从而达到了良好的教学效果。六、 借助数学实验，培养学生探索精神和求知欲望普通高中数学课程标准指出：提供积极主动，勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这些方式有助于发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过数学实验正好可以满足新课程的这些要求。比如在讲“二面角的平面角”这一课时，在学习了二面角的定义后。我和学生做了以下实验：拿出我拿出事先准备好的长方形硬纸板，沿中间线折成如下的图形（图15）：让学生
17、指出那只角是二面角的平面角。学生一般都能指出是。并得出直观的结论：边所围成的平面角就是。CAOBAOBOA图（16）图（15）这时我拿出剪刀把刚才硬纸板的二面角剪成如下的图形（图16）这时再问平面角是什么？A有些同学也说是。但是也有疑问的声音。因为随着我剪的方向不同得出的角显然不等，但是如果二面角一定的话其平面角也一定相等。因此二面角绝不是边所围成的平面角。通过实验使学生明白二面角的本质。CDB又比如针对直线与平面垂直的判定定理时，笔者在教学中做了以下实验：ABCD图（19图（18）准备一张三角形的纸片，过三角形的顶点A翻折纸片，得到这痕AD如图（18）,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、
18、DC与桌面接触如（图19）然后问学生，如何翻折才能使折痕AD与所在的桌面垂直？通过学生实验学生一般来说很容易得出只要折痕垂直于DB、DC即可。从而直线与平面垂直的判定定理在学生的不断实验中迎刃而解。让实验走进数学课堂，充分发挥其作用。我们坚信：每当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出发，运用自然器材、数学模型、CAI等多种工具和载体，通过数学实验这种教与学的方式，去致力于影响学生数学认知结构的意义建构，去帮助学生本质地理解数学，培养数学精神和发现、创造的能力时，我们就把握住了数学教育的时代性、科学性，我们就深入到了数学素质教育的核心。我们的数学实验教学，尚在起步阶段，无论从理论和实践上都还在探索过程之中。希望得到同行指导和帮助。参考文献：1 任勇 数学学习指导与教学艺术 人民教育出版社 20042 孙国良 应开展对数学实验的课题研究 中学数学教学参考 2004.33 孔令军、赵红革 浅谈数学实验教学 数学通报 2004.84 韦辉梁 数学实验的学习环境和教学方法 2005.15 袁永超 借助数学实验，突破函数难点，感悟新课标 2007.36 徐江培 创设“数学实验”，培养科学探索精神 2006.57 谢圣英、沈文选 再谈数学中的折纸 2005.38 王小红 高中数学实验教学创设的几种途 径 中学数学参考 2008.16