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1、1 品味椭圆中的数学美品味椭圆中的数学美 内容摘要：内容摘要：普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当 反映数学的美学价值,帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观.本文从 新课改的需要出发, 并结合教学实践,对椭圆中所蕴含的数学美做初步的探讨. 关键词：关键词：椭圆 数学美 数学是一门充满美的科学.正如华罗庚教授所说：“就数学本身来说,也是壮丽多彩、千姿百态、 引人入胜的.” 1.椭圆的数学美 数学是美的,人的爱美天性在青少年时期表现尤为突出.数学教师理应抓住这个最佳时期,不失 时机地向学生揭示数学之美,进行审美教育. 1.1 简洁美 数学
2、知识之所以强烈地吸引人们去研究,去探索,去追求,其中的原因之一便是它能对纷乱繁杂 的数学现象进行高度的概括,使学习者能从中感受它概括的简洁美.在数学语言的研究中,通常按数 学语言所使用的主要词汇,将数学语言分为三种：文字语言、符号语言、图形语言.实际上,表示椭 圆的三种语言都体现简洁美. 椭圆的定义简练、严谨,内涵丰富.若无“在平面内”则形成一个椭球面;若无“大于|F1F2|”则 形成线段或无轨迹.每个词、每句话相互作用、相互联系,构成了椭圆定义的完美描述,从而体现了 数学的简单美,这也是数学语言形式美与内在美的表现. 椭圆中的符号语言简洁、明了.如椭圆概念的符号表示 P=M|MF1|MF2|
3、=2a,2a|F1F2|, 关系紧凑,言简意赅;椭圆的两个标准方程具有简单整齐之美;离心率易记,充分体现了数学语 c e a 言干练,简洁的特有美感. 椭圆的图形简明、对称.可以用实物操作得到,也可以演示相关的课件,形象、直观,妙趣横生. 1.2 对称美 对称是美学的基本法则之一.椭圆有两条互相垂直的对称轴及一个对称中心,被赋予了平衡,协 调的对称美. 1.3 比例美 中国古代画论中所说的“丈山尺树,寸马分人”, 正是体现事物的本质特征和美的规律.众所周 知,著名的“黄金分割法”揭示了一种最优美的线段比例关系.如果把“黄金分割法”引入图形,那 么就会产生最优美的视觉效果.椭圆也是如此,离心率为
4、的椭圆被称作“黄金椭圆”,给人以 2 15 美的享受. 1.4 方法美 方法美是指在解答（或证明）复杂的数学问题中体现出来的美妙.二次曲线的定义揭示了二次 2 曲线的本质属性,恰当地利用定义解题许多时候的确能以简驭繁.直线与椭圆的位置关系有一般方法,但 涉及中点弦问题还可以用点差法. 1.5 奇异美 数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异 美.我们都知道：用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,得到的截口曲线是椭圆（如图 1）.如果 我们沿圆柱的某一条母线剪开,将侧面展平,可以看到截口曲线就是一条三角函数曲线. 数学的研究对象是数、形、式.数的美,形的美
5、,式的美,随处可见.椭圆的数学美还不仅于此,它 贯穿于椭圆的方方面面. 2.品味椭圆的数学美 数学美是抽象的、精炼的,不像艺术美那样外显,对于学生来说,由于受年龄、知识水平、审美 能力的限制,很难把数学美的真正意蕴充分体会出来.因此教师必须改革数学课堂模式,让学生的眼、 耳、手、大脑综合运用,让数学的学习过程变为发现数学美的过程. 2.1 品味椭圆定义的数学美 2.1.1 品味椭圆定义的简洁美 通过对一些工具、模型的动手操作,创设问题情景,引导学生自主探索数学知识,检验数学结论 的教学活动 课前准备：两位学生为一组,准备两枚图钉、一条不能形变的细线、一张白纸、一支铅笔 具体操作： 请一组学生上
6、讲台来操作,其他学生在下面操作,由学生们从操作中得出一般的结论 1）把绳子固定在黑板上,要求绳子不绷紧,然后拿粉笔把绳子拉紧并在黑板上画图,观察一下得 到的图形是什么？你能找到在操作过程中的不变性吗？ 2）若刚才固定绳子时,把绳子绷紧了,又会得到怎样的图形呢？ 3）钉在黑板上的两个钉子的距离能比绳子长度大吗？ 通过课堂活动让学生感悟到图形的几何性质,并运用图形运动去发现问题、分析问题,“自然” 的产生出新的方法来应对实物操作中所产生的问题,从而体会椭圆定义的简洁美. 2.1.2 品味椭圆定义的应用美 火腿截面、篮球影子是椭圆的形象在生活中的写照.设计一堂“火腿截面、篮球影子与椭圆” 的研究课.
7、 课前准备： (1)圆柱形火腿一根,小刀和剪刀各一把; (2)观察篮球在阳光下的影子的形状. 图 1 3 具体操作： (1)用小刀把火腿切成两段,观察火腿截面形状; (2)讨论火腿截面与篮球影子两者之间的联系; (3)阅读探究与发现：为什么截口曲线是椭圆,证明腿截面与篮球影子的形状是椭圆. (4)请大家吃掉火腿,并且不要弄破火腿皮.然后把火腿皮压扁,用小刀裁开,再把它展平,观察原来 的截口曲线的形状. 通过研究活动培养学生的数学建摸思想和转化思想,会根据实际问题抽象出几何模型并概括出 相应的数学问题;掌握在实际问题中获取、收集、处理信息的能力;使学生获得参与研究探索的情感 体验和主动求知、乐于
8、探究的心理品质.从中体会椭圆的简洁美、奇异美. 2.2 品味椭圆方程的数学美 到平面内两个定点 F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.要根据已知 条件,求出椭圆的方程.可建立适当的坐标系. 2.2.1 通过坐标系的选择,感悟椭圆的对称美 坐标系是构造数与形的桥梁,它选择的合适不合适直接影响曲线方程的构造.让学生通过讨论交 流类比圆及其标准方程推导的过程,建立合适的坐标系.通过活动让学生感悟椭圆对称美的应用. 2.2.2 通过要素的选择,感悟数学符号的简洁美 建系后,将条件转化成关系式,用到椭圆定义中“到平面内 两个定点 F1、F2的距离之和”这个常数;而将关系式转
9、化成数 学代数式用到两个定点 F1、F2的坐标.这就需要将“到平面内 两个定点 F1、F2的距离之和”和| F1F2|用字母表示. 以经过焦点 F1、F2的直线为 x 轴,线段 F1F2的垂直平分线 为 y 轴建立直角坐标系(如图 2),设 M(x,y)是椭圆上的任意一 点,焦距是 2c(c0),与 F1,F2两点距离之差绝对值等于常数 2a. 在教学过程中 ,可以提出为什么要取“2c”与“2a”,而不取“c”与“a”呢？让学生思考.在 反思中感悟数学符号的简洁美. 2.2.3 通过方程的推导,感悟椭圆的数学美 数学的发现和创造,除了反映客观世界的数量关系和空间形式,还来源于对美的追求.衡量一
10、个 结论是否成立,不仅有实践标准,逻辑标准,还有美的标准.当一个结论尚未达到美的境界时,就必须 继续改进发展,“按照美的规律来制造”. 按椭圆的定义可得： 1212 | 2 ,2|PMMFMFaaFF 将坐标代入得方程,aycxycx2)()( 2222 生活实例几何模型数学问题 火腿截面 篮球影子 M F2F1ox y 图 2 4 此方程可作为椭圆方程,但它不符合简单性原则.因此可以通过去根式并整理将方程化为 .此时的方程简单多了.但是,椭圆具有对称性,它所表示方程也该有对称性.于是,1 22 2 2 2 ca y a x 由于,故令,即得,此方程是如此简洁优美. 22 0ac 22 bac
11、1 2 2 2 2 b y a x 至此,学生明白：一开始选择“2c” 、 “2a”正是为了追求简单美,而产生 b 是人为制造的,但实 践证明,b 正好是椭圆短半轴,又具有鲜明几何意义.如此教学,通过深入挖教材中数学美之因素,既 能阐明问题的本质,又能提高学生的完美能力,增强创造意识. 通过椭圆的对称美,建立合适的平面直角坐标系,推导出来的方程具有对称美只有x、y的 二次项和常数项,为利用方程研究椭圆的对称性奠定了基础,使学生从对称性的本质上得到研究对称 性的方法：代后方程不变,说明椭圆关于轴对称;代后方程不变,说明椭圆曲线关于xxyyy 轴对称;、分别代,后方程不变,说明椭圆曲线关于原点对称
12、.从而数与形的结合得到xxyxy 深化,使学生感受到对称图形的内在美,在美的体验中享受审美的快乐. 2.3 品味椭圆性质的数学美 通过方程的讨论,研究方程所表示的曲线性质.可创设问题情景,学生自主探究：方程 表示什么样的曲线,你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？ 22 1625400xy 学生活动： (1)列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题; (2)求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形; (3)方程变形,求出,联想椭圆画法,利用绳子作图;cba, (4)只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,对称得到其它象限内的图形; 通过实物投影展示学生的画图过
13、程,挖掘学生的原有认知,体现同学的思维差异,培养学生的思 维习惯.从而达到数与形的统一,体现了数学的和谐美. 3.在生活中应用椭圆的美 数学美起源于人们的生产与生活之中,也应用于生活.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发 出的光线在经过椭圆周上反射后,反射光都经过椭圆的另一个焦点.如：电影放映机的聚光灯有一反 射镜,它的形状是旋转椭圆面,正是应用椭圆的光学性质.“黄金椭圆”具有优美的视觉效果,将某些 金银首饰等做成“黄金椭圆”形,更能给人以美的享受,如：幸运草 LSL-236 幸运草手环椭圆之 美. 椭圆是圆锥曲线的一种.通过对椭圆美的探讨和研究,不仅有助于提高学生对圆锥曲线的进一步 认识,为双曲线和抛物线的研究奠定基础,还可以启迪学生的思维,开阔学生的视野,激发学生的热情,以 至于热爱数学. 参考文献： 1：张嘉谨 解析几何方法技巧优美解长春出版社 2004.7 2：刘连璞 平面解析几何方法与研究 北京大学出版社 1999.9 3：人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著数学选修 21 人民教育出版社 2007.11 1 4：中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准人民教育出版社 2003.3