专题研究球与几何体的切接问题.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 专题研究球与几何体的切接问题 1(2017 唐山模拟 )正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为() A64B32 C 16D8 答案A 解析如图，作PM平面 ABC 于点 M，则球心O 在 PM 上， PM6，连接 AM ，AO， 则 OPOAR(R 为外接球半径 )，在 RtOAM 中， OM6R，OAR，又 AB6，且 ABC 为等边三角形，故AM 2 3 6 232 2 3，则 R2(6R)2(2 3)2，则 R 4，所以 球的表面积S4R264. 2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是() A16B20 C 24D3

2、2 答案C 解析由 V Sh，得 S4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直 径，所以球的半径为R 1 2 2 22242 6.所以球的表面积为S4R224.故选 C. 3若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是() A8B6 C 4D 答案C 解析设正方体的棱长为a，则 a 38.因此内切球直径为 2， S表4r 24. 4(2017 课标全国 )已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2 的同一个球的球面上，则该圆柱 的体积为 () AB. 3 4 C. 2 D. 4 答案B 解析根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的

3、底面半径r 2 212 2 3 2 ，所 以圆柱的体积V r 2h (3 2 ) 2 13 4.故选 B. 5(2018 安徽合肥模拟)已知球的直径SC 6，A，B 是该球球面上的两点，且AB SASB3，则三棱锥S ABC 的体积为 () A. 3 2 4 B. 92 4 C.3 2 2 D. 92 2 专业文档 珍贵文档 答案D 解析设该球球心为O，因为球的直径SC6，A，B 是该球球面上的两点，且AB SASB3，所以三棱 锥 SOAB 是棱长为3 的正四面体，其体积VSOAB 1 3 1 23 33 2 6 92 4 ，同理 VOABC9 2 4 ，故三棱 锥 SABC 的体积 VSA

4、BCVSOAB VOABC 92 2 ，故选 D. 6已知直三棱柱ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB 3，AC 4，AB AC ，AA 112，则 球 O 的半径为 () A. 3 17 2 B210 C.13 2 D310 答案C 解析如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点 M. 又 AM 1 2BC 5 2，OM 1 2AA 16， 所以球 O 的半径 ROA （5 2） 26213 2 . 7(2018 广东惠州一模 )已知一个水平放置的各棱长均为4 的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现 从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，

5、当注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 8 时，小球与该三棱 锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于() A. 7 6 B. 4 3 C.2 3 D. 1 2 答案C 解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的 1 8，三棱锥形容器的体积为 1 3 3 4 4 26 3 4 162 3 ，所以没有水的部分的体积为 22 3 .设其棱长为a，则其体积为 1 3 3 4 a 26 3 a 2 2 3 ， a2，设小球的 半径为 r，则 41 3 3r 2 2 3 ，解得 r 6 6 ，球的表面积为4 1 6 2 3，故选 C. 8.如图， ABCD A1B1C1D1是棱长为 1

6、 的正方体， S ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点S， A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为 () A. 25 16 B. 49 16 C.81 16 D. 243 128 答案C 解析如图所示， O 为球心，设 OG1 x， 则 OB1SO2x， 同时由正方体的性质可知B1G1 专业文档 珍贵文档 2 2 ，则在RtOB1G1中， OB12G1B12 OG12，即 (2x) 2x2(2 2 ) 2，解得 x7 8，所以球的半径 ROB1 9 8，所以球的表面积 S4R281 16 ，故选 C. 9(2018 郑州质检 )四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四

7、棱锥的三视图如图所示，E，F 分别是 棱 AB，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为() A9B3 C 22D12 答案D 解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径 即为 PC.由直线 EF被球面所截得的线段长为22， 可知正方形ABCD 对角线 AC 的长为 2 2， 可得正方形ABCD 的边长 a 2， 在PAC 中， PC22（ 2 2） 2 2 3， 球的半径 R3， S表4R 2 4( 3)212. 10(2014 湖南 )一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大 球的半径等

8、于() A1 B2 C 3 D4 答案B 解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10 的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面 直角三角形内切圆的半径，故其半径为r 1 2(68 10)2，故选 B. 11(2017 天津 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 _ 答案 9 2 专业文档 珍贵文档 解析设正方体的棱长为a，则 6a 218，得 a 3，设该正方体外接球的半径为R，则 2R3a3，得 R 3 2，所以该球的体积为 4 3R 34 3( 3 2) 39 2. 12若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为 S2，

9、则 S1 S2_ 答案 63 解析设正四面体的棱长为a， 则正四面体的表面积为S1 4 3 4 a23a2， 其内切球半径为正四面体高的 1 4， 即 r 1 4 6 3 a 6 12 a， 因此内切球表面积为S24 r 2 a 2 6 ， 则 S1 S2 3a 2 6 a 2 6 3 . 13已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球 O 的表面积为 _ 答案8 解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为2 2 22 822，即球半径为2，所以球的 表面积为4(2)28. 14(2017 衡水中学调研卷)已知正三棱锥PABC ，点 P，A，B，C 都在半径为3的

10、球面上，若PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _ 答案 3 3 解析方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解 题如图，满足题意的正三棱锥P ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方 体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平 面 ABC 的距离等于体对角线长的 1 6，故球心到截面 ABC 的距离为 1 62 3 3 3 . 方法二：用等体积法：VPABCVAPBC求解 ) 15(2018 四川成都诊断 )已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1 的等腰直 角三角形

11、，俯视图是边长为1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_ 答案3 解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于 1， 其底面是边长为1 的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球， 外接球的直径为3， 外接球的表面积S4 ( 3 2 ) 2 专业文档 珍贵文档 3. 16(2018 河北唐山模拟 )已知矩形ABEF 所在的平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AD 2，AB 3，AF 3 3 2 ，M 为 EF 的中点，则多面体MABCD 的外接球的表面积为_ 答案16 解析记多面体MABCD 的外接球的球心为O，如图，过点O 分别作

12、平面ABCD 和 平面 ABEF 的垂线，垂足分别为Q，H，连接 MH 并延长，交AB 于点 N，连接 OM， NQ，AQ ，设球 O 的半径为 R，球心到平面ABCD 的距离为 d，即 OQd，矩形 ABEF 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AF 3 3 2 ，M 为 EF 的中点， MN 3 3 2 ， AN NB 3 2，NQ1， R2( 49 2 ) 2d212(3 3 2 d)2， d 3 2 ，R 24， 多面体MABCD 的外接球的表面积为4 R 216. 1(2017 课标全国 ，文 )长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积

13、 为_ 答案14 解析依题意得， 长方体的体对角线长为32221214，记长方体的外接球的半径为R，则有 2R14， R 14 2 ，因此球 O 的表面积等于4 R214. 2(2018 湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视 图，则该多面体外接球的表面积为() A8B. 25 2 C 12D. 41 4 答案D 解析根据三视图得出， 几何体是正方体中的一个四棱锥OABCD ， 正方体的棱长为2， A，D 为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过A， D 的平行于正方体底面 的中截面上， 设球心到平面BCO 的距离为 x， 则到 AD 的

14、距离为 2x， 所以 R2x 2( 2)2， 专业文档 珍贵文档 R 212(2x)2，解得 x3 4，R 41 4 ，该多面体外接球的表面积为4 R241 4 ，故选D. 3(2014 陕西，理 )已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 () A. 32 3 B4 C 2D. 4 3 答案D 解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1 2 1 212（ 2） 21，所以 V 球 4 3 13 4 3 .故选 D. 4(2018 洛阳统一考试 )如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为() A200B150 C 1

15、00D50 答案D 解析由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3， 所以其外接球半径R 满足 2R42325252， 所以该几何体的外接球的表面积为S4R24(5 2 2 ) 2 50，故选 D. 5(2018 广东清远三中月考)某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是() A13B16 C 25D27 答案C 解析由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为 3，设外接球半径为r，则 2r 专业文档 珍贵文档 （22） 2（ 2 2）2 32 5， r5 2，长方体外接球的表面积 S4r 225. 6

16、(2018 福建厦门模拟)已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心O 到平面 ABC 的距离为 3 2 R，AB AC BC23，则球 O 的表面积为 () A. 16 3 B16 C.64 3 D64 答案D 解析因为 ABAC BC2 3，所以 ABC 为正三角形，其外接圆的半径r 2 3 2sin602，设 ABC 外接 圆的圆心为O1，则 OO1平面 ABC ，所以 OA 2OO 1 2r2，所以 R2( 3 2 R) 222，解得 R216，所以球 O 的 表面积为4R 2 64，故选 D. 7(2018 四川广元模拟)如图，边长为2 的正方形ABCD 中，

17、点 E，F 分别是 AB ，BC 的中点，将 ADE ， EBF，FCD 分别沿 DE，EF，FD 折起，使得A，B，C 三点重合于点A，若四面体AEFD 的四个顶点在 同一个球面上，则该球的半径为_ 答案 6 2 解析由题意可知 AEF 是等腰直角三角形，且AD平面 AEF. 由于 AEF 可以补全为边长为1 的正方形， 则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2 的正四棱柱， 三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为1212226.故球的半 径为 6 2 . 8(2017 德州模拟 )一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三 角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_ 答案 1 3 3 解析由三视图知该几何体是底面为1 的正方形，高为1 的四棱锥，故体积V 1 3111 1 3，该几何体与 专业文档 珍贵文档 棱长为 1 的正方体具有相同的外接球，外接球直径为3，该球表面积S4 ( 3 2 ) 23，正方体、长方体 的体对角线即为外接球的直径