分解质因数(一).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1.能够利用短除法分解 2.整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“ 任何一个数字都可以表示为. 的结构， 而且 表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （ 1） .质因数： 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （ 2） .互质数： 公约数只有1 的两个自然数，叫做互质数. （ 3） .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如： 30235 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数 .又如 2 1222323 ，2、3 都叫做 12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时

2、候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （ 4） .分解质因数的方法：短除法 例如： 212 2 6 3 ， （是短除法的符号）所以 12223 ； 二、唯一分解定理 任何一个大于1 的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312 123 k aaaa k npppp其中为质数， 12k aaa 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析： 210=2 3 5 7， 可知这三个数是5、 6 和 7. 三、部分特殊数的分解 111337；1001711 13 ；1

3、111141271；1000173137； 199535719 ； 1998233337 ； 200733223； 2008222251； 101013713 37 . 模块一、分解质因数 【例1】分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第2 题， 10 分 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-3-4. 分解质因数（一） 专业文档 珍贵文档 【解析】 原式 3 23753 【答案】 3 23753 【例2】三个连续自然数的乘积是210 ，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 1 星【题型】填空 【解析】 210

4、 分解质因数：2102357 ，可知这三个数是5 、 6 和 7 。 【答案】 5 、 6和 7 【例3】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 111555分解质因数： 1115553353767( 3337 )( 567 )333335，所以和为 668.本讲 不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337 。 【答案】 668 【巩固】已知两个自然数的积是35，差是 2，则这两个自然数的和是_. 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8 题

5、 【解析】 35=1 35=5 7，5、7 差 2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元 【例4】今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】而思杯，6 年级， 1 试，第 3 题 【解析】 11 12131716 ， 1213 14 2184 ，所以是2184 【答案】 2184 【例5】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题 【解析】 2 126237 ，因为两个数互质且都是合数，所

6、以这两个数只能为 9 和 14，它们的和为23 【答案】 23 【例6】4 个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4 个数字所组成的四位数中，最大 的一个是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 将 360 分解质因数得360222335 ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个 是合数，所有该合数必至少为633 个质因数的积，又只有3 个 2 相乘才能是一位数，所以这4 个乘数分别为3，3，5， 8，所组成的最大四位数是8533. 【答案】 8533 【例7】已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

7、 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到 5892251 13253749 ，五个人的年龄和为125 岁。 【答案】 125 岁 【例8】如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是23， 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是 _。 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛， 4 题 专业文档 珍贵文档 【解析】 根据题意列式子如下：23abab，因为 23分解质因数是 1与 23，所以23,1abab ， 根据

8、和差关系算出12a，11b，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23， 【答案】 23 【例9】2004720 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】首先分解质因数，20047202222357167，其中最大的质因数是167，所以所要求 的三个连续自然数中必定有167 本身或者其倍数. 16535 1，166283 ，16822237 ， 1691313，所以 165166 167， 166167 168 ，167168 169都没有4 个 2，不满足题意.说明 167不可行.尝试3341

9、，335567，336222237， 3343353362222235767167 ，包括了2004720 中的所有质因数，所以这组 符合题意，以此三数之和最小为1005. 【答案】 1005 【例10】 A 是乘积为2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为2007 的 4 个自然数之和。那么A、B 两数之差的 最大值是。 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8 题， 10 分 【解析】 2007=11 3 3 223=11 1 9 223=11 1 3 669=1 1 1 1 2007，所以 A 的可能值是231 或 235 或 675 或

10、2011，又 2007=1 3 3 223=1 1 9 223=1 1 3 669=1 1 1 2007，所以 B 的可能值是230 或 234 或 674 或 2010，A、 B两数之差的最大值为2011230=1781。 【答案】 1781 【例11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？） 大毛、 二毛、 三毛、 小明四个人， 他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384 。 问他们四个人的年龄各是几岁？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 题中告诉我们，48384 是四个人年龄的乘积，只要我们把483

11、84 分解质因数，再按照每组相差2 来 分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 4838428337(223)(27)24(232)12141618 ，由此得出这四个人的年龄分别 是 12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。由题意可知，这四个数是相差2 的四个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384 的个位数字不是0，显然这四个数中，没有 个位数字是0 的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为 4 1048384 ，而 4 48 38 42 0， 所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12

12、岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。答：这四个人的年龄分别是12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。 【答案】 12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁 【例12】 甲数比乙数大5 ，乙数比丙数大5 ，三个数的乘积是6384 ，求这三个数？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】将 6384 分解质因数，638422223719 ，则其中必有一个数是19或 19 的倍数；经试算， 1951427 ，195242223 ， 恰好 1419246384 ，所以这三个数即为14，19，24. 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求

13、， 下一个该考虑 38 ，再下一个该考虑57 ，依此类推 【答案】14， 19，24 【例13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】填空 专业文档 珍贵文档 【解析】分解质因数 43 3024237，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7 的倍 数.若为 7，因 3024 不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9 或 7、8、9、 10(10 仍含 有 5，不行 )，经检验6、7、8、9 恰符合 . 【答案】 9 【例14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430 人参加植树，要把人

14、数分成相等的若干队，且每 队人数在100 至 200 之间，则有分法（） 。 A、3 种B、7 种C、 11种D、13 种 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4 题 【解析】 只要找到 100 到 200 之间可以整除1430 的数即可。 1430 可分解成2，5，11，13 的乘积，所以可以 按每组 110 人， 130 人， 143 人分组，共有3 个方案。所以答案为A 【答案】A 【例15】 a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3， 6，15，18， 20，50， 60，100，120， 300.那

15、么，这五个数中从小大大排列第2 个数的平方是_。 A1 B. 3 C. 5 D. 10 【考点】分解质因数【难度】 5 星【题型】选择 【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题 【解析】D ， 解：设abcde 。由3,6abac推知2cb ；由120,300cede推知 5 5 2 dcb 。 2 22bcbbb ， 2 55bdbbb ， 2 2510cdbbb 。在 15,18, 20, 50, 60,100中，满足2 :5:10 的 三个数是 20,50,100, 所以 2 1001010b。 【答案】 D 【例16】 a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依

16、次为：0.3、0.6、1.5、1.8、 2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2 个数是 _。 （A）0.3 （B） 0.5 （C）1 （D）1.5 【考点】分解质因数【难度】 5 星【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，2 题 【解析】 C ， 设 abcde。由题意知，0.3ab，0.6ac，推知2cb ；由12ce，30de，推知 305 5 122 dccb， 2 22bcbbb ， 2 55bdbbb ， 2 2510cdbbb ，在 1.5,1.8,2,5,6,10 中， 满足 2:5:10 的三个数是2,5,10 ，所以 2 1010b，

17、2 1b，1b。 【答案】1 【例17】 将 19 九个自然数分成三组，每组三个数 .第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45， 第三组三个数字之和最大是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 分解质因数 45335， 4822223 ，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积，而48 可能是 2，4， 6 或 2， 3， 8 或 1， 6， 8(舍去 )， 则第三组的三个数可能是3， 7， 8 或 4， 6， 7， 其中和最大的是378 18 . 【答案】 18 【例18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998 立方厘米，那么它的长、宽、高

18、的和的 最小可能值是多少厘米? 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如3 个数的积为18，则 三个数为2、3、 3 时和最小，为81998=23 3 3 37， 37 是质数，不能再分解，所以2 3 3 3 对 应的两个数应越接近越好有2 3 3 3=69 时，即 1998=69 37 时，这三个自然数最接近它们的 专业文档 珍贵文档 和为 6+9+37=52( 厘米 ) 【答案】 52 【例19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3 个自然数， 它的体积是39270 立方厘米， 那么这个长方体的表 面积是多少

19、平方厘米? 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 39270=23 5 7 11 17，为三个连续自然数的乘积，而34 34 34 最接近 39270，39270 的约数中接 近或等于34 的有 35、34、33，有 33 34 35=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则 长方体的表面积为： 2 (长 宽+宽 高+高 长)=2 (33 34+34 35+35 33)=6934(平方厘米 ) 方法二： 39270=23 5 7 11 17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果 17 作为长、宽或 高显然不满足当17 与 2 结合即 34 作为长方

20、体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与 34 接近的数3236 中，只有35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而39270 的 质 因 数 中 只 剩 下 了3 和1l ， 所 以 这 个 长 方 体 的 大 小 为33 34 35 长 方 体 的 表 面 积 为 2 ( 39270 33 + 39270 34 + 39270 35 )=2 (1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米 ) 【答案】 6934 【例20】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？ 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答

21、 【解析】4875=35 5 5 13，有 a b 为 4875 的约数，且这两个数的和为64发现 39=3 13、25=5 5 这两个 数的和为64，所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为39-25=14。 【答案】 14 【例21】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数. 求这两个整数分别是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617 ，共有

22、 16 种形式， 如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可 以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每 个数都是111 的倍数，而 111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位 数相乘时，必有一个因数是37 或 37 的倍数，但只能是37 的 2 倍(想想为什么？ )3 倍就不是两位数 了. 把 九 个 三 位 数 分 解 ： 111373 、 222376743 、 333379 、 4443712746 、 5553715 、 6663718749

23、、 7773721 、 88837247412 、 99937 27 . 把两个因数相加， 只有 ( 743)77 和( 3718)55 的两位数字相同.所以满足题意的答案是74 和 3， 37 和 18. 【答案】 74 和 3，37 和 18 【例22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991， 具有如下两个性质：1991 是一个回文数1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质 数回文数的积在1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了1991 外，具有性质和的年份数， 有哪些？ 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答 【解

24、析】这一千年间回文数年份共有10 个，除去 1991 外，还有 1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661， 1771，1881符合条件 的两位质数只能是11，所以符合条件的只有三个，即 111011111， 111311441，1115l1661 专业文档 珍贵文档 【答案】 111011111， 111311441，1115l1661 【例23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样的分数从小到大排列，那 么第三个分数是多少？ 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】有 140=2 2 5 7，要保证分数最简即要让分子与

25、分母是互质的，那么两个质因数2 必须同时位于分 子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是 112245577 , 2257140 5735 22728 22520 ，倒数第三小的是 5 28 。 【答案】 5 28 【例24】 纯循环小数 0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是58 ,则三位数_abc 【考点】分解质因数【难度】 3 星【题型】填空 【解析】如果直接把 0.abc 转化为分数 ,应该是 999 abc ,因此 ,化成最简分数后的分母应该是999 的约数 ,我们 将 999 分 解 质 因 数 得 : 3 999337 ,这 个 最 简 分 数 的 分 母

26、应 小 于 58 ,而 且 大 于 29 ,否 则 该 分 数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37 了 ,因此 ,分母应当为37,分子就是 583721,也就是说 21 0. 999372737 abcabc abc ,因此2127567abc. 【答案】 567 模块二、分解质因式 【例25】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数. 【考点】分解质因式【难度】 2 星【题型】解答 【解析】设这三个质数分别是a、 b 、c，满足11abcabc() ，则可知a、 b 、c中必有一个为11，不妨 记为 a， 那么11bcbc， 整理得 (1b )(1c) 12，

27、 又 1 2 1 1 2 2 6 3 4 ， 对应的2b、13c 或3b、7c或4b、5c(舍去 )，所以这三个质数可能是2，11，13 或 3， 7，11. 【答案】 2、11、13 或 3、7、 11 【例26】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数 【考点】分解质因式【难度】 2 星【题型】解答 【解析】设这三个质数分别是a、 b 、c，满足7()abcabc ，则可知a、 b 、c中必有一个为7，不妨记 为a， 那么7bcbc， 整理得 (1)(1)8bc， 又 8 1 8 2 4， 对应的 b2、c9(舍去 )或 b3、 c5，所以这三个质数可能是3， 5，7 【答案

28、】 3、5、7 【例27】 如图，长方形周长为20 ，面积为 24。另一个长方形，面积为 20，周长为 24。它的长是 ， 宽是。 6 4 【考点】分解质因式【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第7 题， 10 分 【解析】 周长为24则，长和宽的和为24212，因为 2012021045，因为 10212 ，所以它的 长是 10，宽是2。 专业文档 珍贵文档 【答案】长是10，宽是2 【例28】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这 个长方体的体积是多少? 【考点】分解质因式【难度】 3 星【题型】解答 【解析】

29、如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209 ac+ab=a (c+b)=209，而 209=11 19 当 a=11 时， c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则 c+b=2+17; 当 a=19 时， c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意 所以它们的乘积为11 2 17=374 【答案】 374 【例29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由 17，19 可得到一个四位数1719,由 19，17 也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所

30、有这 样的四位数。 【考点】分解质因式【难度】 3 星【题型】解答 【解析】设 这 2 个两位质数分别是a和 b ，则这个四位数是100ab ，根据条件可知：(100) 2 ab ab ,即 ( a b)|( 2002ab)，设 2002ab k ab ，则 2002abk （ ab ） ，化简得 ( 200k )a(2k) b ， 因此 200 2 bk ak ,其中 k 是整数，a和 b 均为两位质数，设200kbm , 2kam ，则两式相加得 ( a b) 198m，注意到a和 b 都是质数即也是奇数，所以 ab 是 198的约数 . 2 1982311 ，由于 a、 b都是两位不同的质数，因为11138997ab中的偶数，所以66ab 【答案】 1353、5313、1947、 4719、2343、4323、2937、3729