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1、2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 1 苏北三市 2019 届高三数学模拟试卷 (满分 160 分；考时 120 分钟 )2019.1 参考公式： 样本数据 x1，x2， xn的方差 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分. 1. 已知集合 A0，1，2，3，Bx|00)的焦点与双曲线 x2 y 2 3 1 的右焦点重合，则实数p 的值为. 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 2 7. 在等差数列 an中，若 a5 1 2 ，8a62a4a2，则 an的前 6 项和 S6的值为 . 8. 已知正四棱锥的底面边长为2 3
2、，高为 1，则该正四棱锥的侧面积为. 9.已知 a，bR，函数 f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在 (0， )上是减函数，则关于x 的不 等式 f(2x)0 的解集为. 10. 已知 a0，b0，且 a3b1 b 1 a ，则 b的最大值为 . 11. 将函数 f(x)sin 2x 的图象向右平移 6 个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与 g(x) 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为. 12. 在ABC 中，AB2，AC3，BAC60，P 为ABC 所在平面内一点，满足CP 3 2PB 2PA ，则 CP AB 的值为. 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
3、C1：x 2y22mx(4m6)y40(mR)与以 C2(2，3) 为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足 x 2 1x22y22y21，则实数 m 的值为 . 14. 已知 x0，y0，z0，且 x3yz6，则 x 3y23z的最小值为 . 二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ABC 中，sin A 2 3 ，A( 2 ， ). (1) 求 sin 2A 的值； (2) 若 sin B 1 3，求 cosC 的值 . 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟
4、试卷及解析 3 16. (本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F 分别是 B1C1，AB，AA1的中点 . (1) 求证： EF平面 A1BD； (2) 若 A1B1A1C1，求证：平面A1BD平面 BB1C1C. 17. (本小题满分 14 分) 如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP 上选择一点C，新建道路BC，并把 ABC 所 在的区域改造成绿化区域.已知 BAC 6 ，AB2 km. (1)若绿化区域 ABC 的面积为 1 km 2，求道路 BC 的长度； (2) 若绿化区域 ABC 改造成本为10 万元 /km2， 新建道路 BC 成本为
5、10 万元/km.设ABC (0b0)的离心率为 2 2 ，且右焦点到右 准线 l 的距离为 1.过 x 轴上一点 M(m，0)(m 为常数，且m(0，2)的直线与椭圆C 交于 A，B 两点， 与 l 交于点 P，D 是弦 AB 的中点，直线OD 与 l 交于点 Q. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)(xa)ln x(aR). (1) 若 a1，求曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线的方程； (2) 若对于任意的正数x，f(x)0 恒成立，求实
6、数a 的值； (3) 若函数 f(x)存在两个极值点，求实数a 的取值范围 . 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 5 20. (本小题满分 16 分) 已知数列 an 满足对任意的 nN *，都有 a n(qnan1)2qnanan1an1(1qnan1)，且 an1an0， 其中 a12，q0.记 Tna1qa2q2a3 qn 1a n. (1) 若 q1，求 T2 019的值； (2) 设数列 bn 满足 bn(1q)Tnqnan. 求数列 bn 的通项公式； 若数列 cn 满足 c11，且当 n2 时， cn2bn11，是否存在正整数 k，t，使 c1，ck
7、c1，ct ck 成等比数列？若存在，求出所有k，t 的值；若不存在，请说明理由. 2019 届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分钟 ) 21. 【选做题】在 A，B，C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共 20 分.若多做，则按作答 的前两题计分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 42：矩阵与变换 ) 已知矩阵 A 01 23 ，B 20 18 ，求 A 1B. 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 6 B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，曲线C： 2cos.以极点为坐标原点，极
8、轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标 系 xOy，设过点 A(3，0)的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率 . C. (选修 45：不等式选讲 ) 已知函数 f(x)|x1|. (1) 解不等式 f(x1)f(x3)6； (2) 若|a|a|f(b a). 【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 . 22. 如图，在三棱锥 DABC 中， DA平面 ABC， CAB90，且 ACAD1，AB2，E 为 BD 的中点 . (1) 求异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角 ACEB 的
9、余弦值 . 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 7 23. 已知数列 an 满足 a1 1 3，a n1 2a 2 n2an，nN * . (1) 用数学归纳法证明：an(0， 1 2)； (2) 令 bn 1 2 an，求证： 2019 届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市 ) 数学参考答案及评分标准 1. 1，22. 53.24.215. 1 3 6.47. 15 2 8. 8 39. (0，4)10. 1 3 11. 3 2 12. 113. 614. 37 4 15. 解：(1) 由 sin A2 3 ，A( 2 ，)，则 cosA1sin 2A 1（ 2 3
10、 ） 25 3 ，(2 分) 所以 sin 2A2sin AcosA2 2 3 ( 5 3 ) 4 5 9 .(6 分) (2) 由 A( 2 ，)，则 B 为锐角 . 又 sin B1 3 ，所以 cosB1sin 2B 1（ 1 3 ）22 2 3 ，(8 分) 所以 cosC cos(AB)(cos AcosBsin Asin B)(12 分) ( 5 3 2 2 3 2 3 1 3) 2 102 9 .(14 分) 16. 证明： (1) 因为 E，F 分别是 AB，AA1的中点，所以EFA1B.(3 分) 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 8 因为 EF
11、?平面 A1BD，A1B? 平面 A1BD， 所以 EF平面 A1BD.(6 分) (2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面 A1B1C1. 因为 A1D? 平面 A1B1C1，所以 BB1A1D. (8 分) 因为 A1B1A1C1，且 D 是 B1C1的中点， 所以 A1DB1C1.(10 分) 因为 BB1B1C1B1，B1C1，BB1? 平面 BB1C1C， 所以 A1D平面 BB1C1C.(12 分) 因为 A1D? 平面 A1BD， 所以平面 A1BD平面 BB1C1C. (14 分) 17. 解：(1) 在 ABC 中，已知 BAC 6 ，AB2 km， 所以 ABC
12、的面积 S 1 2 ABACsin 6 1，解得 AC2.(2 分) 在 ABC 中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 6 2222222cos 6 84 3，(4 分) 所以 BC84 362(km).(5 分) (2) 由ABC ，则 ACB ( 6 )， 00，f( )单调递增 .(12 分) 所以当 6 时，该计划所需费用最小. 答：当 6 时，该计划所需总费用最小.(14 分) 18. 解：(1) 设椭圆的右焦点为(c，0)，由题意，得 c a 2 2 ， a 2 c c1， 解得 a2， c1， 所以 a22，b21，所以椭圆C 的标准方程为 x 2 2 y21.(4
13、 分) (2) 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意. 设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(xm). 又准线方程为x2， 所以点 P 的坐标为 P(2，k(2m).(6 分) 由 yk（xm） ， x 22y22， 得 x22k2(xm) 22， 即(12k2)x24k2mx2k2m220， 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 10 所以 xD1 2 4k 2m 2k 21 2k 2m 2k 21，yDk( 2k 2 m 2k 21m) km 2k 21，(8 分) 所以 kOD 1 2k ，从而直线 OD 的方程为 y 1 2k
14、x， 所以点 Q 的坐标为 Q(2， 1 k)，(10 分) 所以以 PQ 为直径的圆的方程为(x2)2yk(2m)(y 1 k)0， 即 x24x2my2k(2m) 1 ky0.(14 分) 因为该式对 ? k0 恒成立，所以 y0， x 24x2my20， 解得 x2 2m， y0. 所以以 PQ 为直径的圆经过定点(2 2m，0).(16 分) 19. 解：(1) 因为 f(x)(xa)ln x(aR)，所以当 a1 时，f(x)(x1)ln x， 则 f(x)ln x11 x.(1 分) 当 x1 时，f(1)0，f(1)0， 所以曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线的方程为y0.
15、(3 分) (2) 因为对于任意的正数x，f(x)0 恒成立， 所以当 lnx0，即 x1 时， f(x)0，aR；(5 分) 当 ln x0，即 x1 时， xa 恒成立，所以a1；(6 分) 当 ln x0，所以 g(x)单调递增，至多一个零点.(9 分) 当 a0，g(x)单调递增， 所以 xa 时， g(x)ming(a)ln( a)2.(11 分) 因为 g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(a)2e 2a. 因为 g( 1 a)ln( 1 a)a 210，所以 g(x)在(a， )上存在一个零点 .(13 分) 因为 e 22ln 1 e 2e 21e230， 所以 g(a2)l
16、n a2 1 a 10，所以在 (0，a)上存在一个零点. 综上可知， e 2|a|f( b a)，只要证 |ab1|ba|，只需证 (ab1) 2(ba)2. 而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0， 从而原不等式成立. (10 分) 22. 解： 因为 DA平面 ABC，CAB90 ，所以以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为 ACAD1，AB2， 所以 A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1). 因为点 E 为线段 BD 的中点，所以E(0，1，1 2). (1) AE (0，1， 1 2)，BC (1， 2
17、，0)， 所以 cosAE ， BC AE BC |AE |BC | 2 5 4 5 4 5 ， 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 14 所以异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为 4 5.(5 分) (2) 设平面 ACE 的法向量为n1(x，y，z)，因为 AC (1，0，0)，AE (0，1，1 2 )， 所以 n1AC 0，n1AE 0，即 x0 且 y 1 2z0，取 y1，得 x0，z2， 所以 n1(0，1，2)是平面 ACE 的一个法向量 . 设平面 BCE 的法向量为n2(x，y，z)，因为 BC (1，2，0)，BE (0，1，1 2)， 所
18、以 n2BC 0，n2BE 0，即 x2y0且 y 1 2z0，取 y1，得 x2，z2， 所以 n2(2，1，2)是平面 BCE 的一个法向量 . 所以 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 3 59 5 5 . (8 分) 所以二面角ACEB 的余弦值为 5 5 .(10 分) 23. 证明： (1) 当 n1 时，a11 3 (0，1 2)，结论显然成立； 假设当 nk(k1，kN*)时， ak(0，1 2 )， 则当 nk1 时，ak1 2a2 k2ak2(ak 1 2) 21 2 (0，1 2). 综上， an(0，1 2).(4 分) (2) 由(1)知， an(0， 1 2
19、)，所以 b n1 2 an(0， 1 2). 因为 an1 2a2 n2an， 所以 1 2a n1 1 2(2a 2 n2an)2a 2 n2an1 2 2(an 1 2) 2，即 bn12b2 n. 于是 log2bn12log2bn1， 所以 (log2bn11)2(log2bn1)， 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 15 故log2bn1构成以 2 为公比的等比数列，其首项为 log2b11log21 6 1log21 3. 于是 log2bn1(log21 3) 2 n1，从而 log2(2bn)(log 21 3) 2 n1log2(1 3 )2n
20、 1， 所以 2bn(1 3)2 n 1，即 b n （ 1 3 ）2n 1 2 ，于是 1 bn 232 n 1.(8 分) 因为当 i1，2 时，2i 1i， 当 i3 时，2i 1(11)i1C0 i1C 1 i1 Ci 1 i1C 0 i1C 1 i1i， 所以对 ? iN*，有 2i 1 i，所以 32i 13i ，所以 1 bi 232 i 1 23i， 从而 1 b1 1 b2 1 bn 2(3132 3n)23（13 n） 13 3n 13.(10 分) 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 16 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 17 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 18 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 19 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 20 2019.1 江苏省苏北三市 2019届高三数学模拟试卷及解析 21