2019年高考数学理科总复习中档大题四【概率与统计类题】突破练含解析.pdf

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1、2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 1 2019 年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练 1.某学校甲、 乙两个班各派10 名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图. 现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”. (1)记甲班“口语王”人数为m，乙班“口语王”人数为n，比较 m，n 的大小； (2)随机从“口语王”中选取2 人，记 X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望 . 解(1)因为 x甲 60727577808084889193 10 80，所以 m4， x乙 61647072738

2、586889497 10 79，所以 n5，所以 mn. (2)X 取 0，1，2， 所以 P(X0)C 0 4C 2 5 C 2 9 5 18， P(X1) C 1 4C 1 5 C 2 9 5 9， P(X2) C 2 4C 0 5 C 2 9 1 6， 所以 X 的分布列为 X 012 P 5 18 5 9 1 6 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 2 所以 E(X)0 5 181 5 92 1 6 8 9. 2.(2017 届重庆市第一中学月考)为了解我校 2017 级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培 训的情况，对全年级2 000

3、名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表： 校区愿意参加不愿意参加 重庆一中本部校区220980 重庆一中大学城校区80720 (1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15 人，则大学城校区应抽取几人； (2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5 道题，每题20 分，对于这5 道题，考生 “如花姐”完全会答的有3 题，不完全会的有2 道，不完全会的每道题她得分S的概率满足： P(S6k) 4k 6 ，k1，2，3，假设解答各题之间没有影响， 对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E(S)； 试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解(1)大学城校区应

4、抽取15 80 220804(人). (2)由题知：对一道不完全会的题，“如花姐 ”得分的分布列为P(S6k) 4k 6 ，k1，2，3，即 S 61218 P 1 2 1 3 1 6 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 3 所以对于一道不完全会的题，“如花姐 ”得分的期望为 E(S)61 212 1 318 1 610. 记 为“如花姐 ”做 2 道不完全会的题的得分总和， 则 12，18，24，30，36， P( 12)1 2 1 2 1 4； P( 18)1 2 1 32 1 3； P( 24)1 2 1 62 1 3 1 3 5 18； P( 3

5、0)1 3 1 62 1 9； P( 36)1 6 1 6 1 36； E( )121 418 1 324 5 1830 1 936 1 3620. 所以 “如花姐 ”最后得分的期望为203E( )80. 3.(2017 云南大理检测 )某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别 有关，该学校对100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳不喜欢游泳合计 男生10 女生20 合计 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 4 已知在这 100 人中随机抽取1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 3 5. (1)请将上述列联表补

6、充完整： 并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； (2)针对问卷调查的100 名学生， 学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6 人成立游泳 科普知识宣传组，并在这6 人中任选 2 人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求 X 的分布 列和期望 . 下面的临界值表仅供参考： P(K 2k 0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式： K 2 n adbc 2 ab cd ac bd ，其中 nabcd. 解(1)因为从 100 人中随机

7、抽取1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 3 5， 所以喜欢游泳的学生人数为1003 560. 其中女生有20 人，则男生有40 人，列联表补充如下： 喜欢游泳不喜欢游泳合计 男生 401050 女生203050 合计6040100 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 5 因为 K 2100 40302010 2 60405050 16.6710.828. 所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关. (2)喜欢游泳的共60 人，按分层抽样抽取6 人，则每个个体被抽到的概率均为 1 10， 从而需抽取男生4 人，女生 2 人. 故 X 的所有可能取值为0

8、，1，2. P(X0) C 2 2 C 2 6 1 15， P(X1) C 1 4C 1 2 C 2 6 8 15， P(X2) C 2 4 C 2 6 6 15 2 5， 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 6 所以 X 的分布列为 X 012 P 1 15 8 15 2 5 E(X)0 1 151 8 152 2 5 4 3. 4.(2017 全国 )为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个 零件，并测量其尺寸(单位： cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺 寸服从正态分布N( ，

9、2). (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在( 3 ， 3 )之外的零件数， 求 P(X1)及 X 的期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3 ， 3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得 x 1 16i1 16 xi9.97，s 1

10、16i1 16 xi x 2 1 16 i1 16 x 2 i16 x 2 0.212，其中 xi为抽取的第i 个零件的尺寸， i1，2， 16. 用样本平均数x 作为 的估计值 ，用样本标准差s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天 的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到 0.01). 附： 若随机变量 Z服从正态分布 N( ， 2)， 则 P( 3 Z 3 )0.997 4， 0.997 4160.959 2， 0.0080.09. 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 7 解(1)抽取的一个零件的尺寸

11、在( 3 ， 3 )之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外的概率为0.002 6，故 XB(16，0.002 6). 因此 P(X1)1P(X0)10.997 4 160.040 8. X 的期望 E(X)160.002 60.041 6. (2)()如果生产状态正常，一个零件尺寸在( 3 ， 3 )之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16 个零件中，出现尺寸在( 3 ， 3 )之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发 生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过 程进行检查，可见上述监控生产过

12、程的方法是合理的. ()由 x 9.97，s0.212，得 的估计值 9.97，的估计值 0.212，由样本数据可以看出有一个 零件的尺寸在 ( 3 ， 3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 ( 3 ， 3 )之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02. 因此 的估计值为10.02. i1 16 x 2 i160.212 2169.9721 591.134. 剔 除 ( 3 ， 3 ) 之 外 的 数 据9.22 ， 剩 下 数 据 的 样 本 方 差 为 1 15 (1 591.134 9.22 2 1510.02 2)0.008， 因此

13、 的估计值为0.0080.09. 5.(2017 重庆市调研 )为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50 名家用轿车驾驶 员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h的有 10 人.在 20 名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 8 的有 5 人，不超过 100 km/h 的有 15 人. (1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关

14、； 平均车速超过100 km/h 人 数 平均车速不超过100 km/h 人 数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 (2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3 辆，记这 3 辆车中 驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列 和期望 . 参考公式： K 2 n adbc 2 ab cd ac bd ，其中 nabcd. 参考数据： P(K 2k 0) 0.1500.1000.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

15、 解(1) 平均车速超过100 km/h 人 数 平均车速不超过100 km/h 人 数 合计 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 9 男性驾驶员人数 201030 女性驾驶员人数51520 合计 252550 K 250 2015105 2 30202525 25 3 8.3337.879， 有 99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关 . (2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1 辆，驾驶员为女性且车 速不超过 100 km/h 的车辆的概率为 15 50 3 10. 的可能取值为0，1，2，3，且

16、 B 3， 3 10 ， P( 0)C 0 3 3 10 0 7 10 3 343 1 000， P( 1)C 1 3 3 10 1 7 10 2 441 1 000， P( 2)C 2 3 3 10 2 7 10 1 189 1 000， P( 3)C 3 3 3 10 3 7 10 0 27 1 000， 的分布列为 0123 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 10 P 343 1 000 441 1 000 189 1 000 27 1 000 E( )0 343 1 0001 441 1 0002 189 1 0003 27 1 000 9 1

17、00.9 或 E( )np3 3 100.9. 6.(2017 届湖南株州模拟 )某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随 机对 100 辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图： 经计算：样本的平均值 85，标准差 2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被 认为是需矫正速度，现规定车速小于 3或车速大于 2是需矫正速度 . (1)从该快速车道上所有车辆中任取1 个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2 个车辆，求这2 个车辆均是需矫正速度的概率； (3)从该快速车道上所有车辆中任取2 个，记其中是需矫正速度的个数为 ，求 的分布列和

18、期望. 解(1)记事件 A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1 个，该车辆是需矫正速度”. 因为 3 78.4， 2 89.4， 由样本条形图可知，所求的概率为 P(A)P(x 3 )P(x 2 )P(x78.4)P(x89.4) 1 100 4 100 1 20. (2)记事件 B 为“从样本中任取2 个车辆，这2 个车辆均是需矫正速度”. 2019年高考数学理科总复习 中档大题 四【概率与统计 类题】突破练含解析 11 由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P(B) C 2 5 C 2 100 1 495. (3)需矫正速度的个数 服从二项分布，即 B 2， 1 20 ， 所以 P( ) 0 C02 1 20 0 19 20 2361 400， P( ) 1 C 1 2 1 20 1 19 20 119 200， P( ) 2 C 2 2 1 20 2 19 20 0 1 400 ， 因此 的分布列为 012 P 361 400 19 200 1 400 由 B 2， 1 20 知，期望 E( )2 1 20 1 10.